[PDF] Unité denseignement LC 202 Atomistique et Liaison Chimique

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Unit´e d'enseignement LC 202

Atomistique et Liaison Chimique

Ann

´ee 2013 - 2014

Peter REINHARDT, en utilisant un polycopi

´e de Bernard SILVI

Laboratoire de Chimie Th

´eorique (UMR7616)

Universit

´e Pierre et Marie Curie,

4, Place Jussieu, 75252 Paris CEDEX 05 (FRANCE)

Avant-proposCe manuscrit refl`ete le cours du LC202, tel qu'il a´et´e donn´e au 2e semestre de

l'ann ´ee scolaire 2009/2010`a l'universit´e Pierre et Marie Curie, avec des correc- tions mineures pour la version actuelle. Ce cours est bas

´e sur les notes de mon

pr ´edecesseur, le professeur B. SILVI,`a qui j'adresse mes remerciements pour le travail de pr ´eparation, et de m'avoir laiss´e ce document. L'utilisation en deuxi`eme ann ´ee de licence de Chimie`a l'UPMC n´ecessitait quelques r´evisions et explica- tions suppl ´ementaires. En gardant la structure originale j'esp`ere avoir pu rendre ce document accessible, sans n ´eanmoins enlever les ouvertures vers des´etudes plus avanc

´ees.

Dans ce fascicule diff

´erentiation et int´egration en plusieurs variables seront uti- lis

´ees,´el´ements math´ematiques n´ecessaires et g´en´eralement enseign´es en mˆeme

temps dans un parcours de chimie. Bien que th

´eorique, le cours est pars´em´e

d'exercices et d'applications simples, compl

´etant ainsi l'ensemble des exercices

de travaux encadr ´es et travaux pratiques propos´ees dans cet enseignement.

Je remercie mes coll

`egues K. Le Guen et L. Journel pour leurs contributions et la relecture.

P. Reinhardt,

´et´e 2010

Avant-propos, II

Ce cours s'adresse aux

´etudiants de deuxi`eme et de troisi`eme ann´ees de licence de Chimie. Il propose une introduction `a la Chimie Quantique qui correspond au programme de l'unit ´e d'enseignement LC202. Je me suis efforc´e d'introduire les concepts issus de l'application de la M

´ecanique Quantique de fac¸on rigoureuse et

d

´etaill´ee.

Les pas partie du programme sont susceptibles d'en faciliter lacompr´ehension. (B.

Silvi, 2008)

Conseils pratiques

Le cours est divis

´e en parties plus faciles`a assimiler que d'autres. Les parties en italiquecorrespondent`a des compl´ements qui permettent au lecteur d'approfondir ses connaissances et de lui apporter une meilleure compr

´ehension du cours. Dans

latable desmati `ereslesparagraphes correspondants sont indiqu´eesparunou deux ast ´erisques. Quelques exercices ont´et´e int´egr´es au texte afin d'amener le lecteur aux r

´esultats.

(P. Reinhardt, 2008) Pr ´eparation pour le CNED : P. Reinhardt et L. Journel

Table des mati`eres

1 Gen `ese de la M´ecanique Quantique 9

1.1 Le d

´eveloppement de la spectroscopie . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Ondes et

´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3?Le rayonnement du corps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 L'effet photo

´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Mod

´eles d'un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Le mod

`ele de Bohr de l'atome d'hydrog`ene . . . . . . . . . . . . 16

1.7 La relation de de Broglie et la dualit

´e onde-corpuscule . . . . . . 19

1.8?L'effet Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Interpr

´etation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 L'

´equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Aspects math

´ematiques et postulats 25

2.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Op

´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Op

´erateur lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3 Op

´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4 Equations aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.5 Fonction de carr

´e sommable . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.6 Fonctions orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.7 Op

´erateurs hermitiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.8 Ensemble complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Th

´eor`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1?D´emonstration du th´eor`eme 2. . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Espace des

´etats et notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1?Le 3e th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Le principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Repr

´esentation des observables . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Interpr

´etation statistique de la fonction d'onde . . . . . . . . . . . 31

2.6 Commutateurs et relations d'Heisenberg . . . . . . . . . . . . . .31

2.6.1 Relations d'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.2?D´emonstration de la relation d'incertitude. . . . . . . 33

2.6.3?Relation d'Heisenberg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.4?Relations d'Ehrenfest (≂1928). . . . . . . . . . . . . . 36

3 Exemples de r

´esolution analytique de l'´equation de Schr¨odinger 37

3.1 Particule dans une bo

ˆıte`a une dimension (cas particulier U =∞) . 37

3.1.1 Application : indicateur color

´e acido-basique . . . . . . . 38

3.2 L'oscillateur harmonique

`a une dimension . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Traitement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Solution de l'´equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . 42

3.2.3?D´erivation alternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.4 Application aux syst

`emes diatomiques . . . . . . . . . . . 46

3.3 Le rotateur rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.2 Application

`a des atomes et le mod`ele de Bohr . . . . . . 52

3.3.3L2etLz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.4 Interpr

´etation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Comparaison des syst

`emes trait´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4?Op´erateur moment cin´etique57

4.1?Expression des composantes de l'op´erateurL. . . . . . . . . . 57

4.2?Relations de commutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3?Hermiticit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4?G´en´eralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1?Commutateurs deJ+etJ-. . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.2?Autres relations utiles faisant intervenirJ+etJ-. . . . 60

4.5?Valeurs propres des op´erateursJzetJ2. . . . . . . . . . . . . 60

5 L'atome d'hydrog

`ene et les ions hydrog´eno¨ıdes 63

5.1 Expression de l'op

´erateur laplacien en coordonn´ees sph´eriques . . 63 5.2 R ´esolution de l'´equation de Schr¨odinger´electronique . . . . . . . 64

6 Atomes poly

´electroniques70

6.1 G ´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Approche quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.1 Syst

`emes`a deux´electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.2 Au del

`a de 2´electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2.3 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Simplification : le mod

´ele de Slater (1930) . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Que peut-on calculer avec le mod

`ele de Slater? . . . . . . 77

6.3.2 Syst

`emes poly´electroniques et op´erateurs de spin total . . 83

6.4?Action des op´erateursˆS2etˆSzsur les d´eterminants de Slater. . 84

6.4.1?Syst`eme`a trois couches ouvertes. . . . . . . . . . . . . 85

6.5 Etats spectroscopiques des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Mol

´ecules91

7.1 Existence d'une mol

´ecule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 L'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3 La mol

´ecule la plus simple : H+2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3.1 Hamiltonien´electronique du syst`eme . . . . . . . . . . . 94

7.3.2 Solution approch

´ee avec orbitales hydrog´eno¨ıdes . . . . . 94

7.3.3 Solution quasi-exacte et approximations . . . . . . . . . .96

7.3.4 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3.5 Le th

´eor`eme de Kato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4 La mol

´ecule H2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4.1 Approximation de Heitler et London . . . . . . . . . . . . 101

7.4.2 Am

´eliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.3 G

´en´eralisation : la m´ethode CLOA . . . . . . . . . . . . . 104

7.5 Des mol

´ecules diatomiques homonucl´eaires . . . . . . . . . . . . 106

7.5.1 Ordre de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.6 Des mol

´ecules diatomiques h´et´eronucl´eaires . . . . . . . . . . . . 110

7.6.1 Populations et moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . 110

7.6.2 * Forces sur les atomes : le th

´eor`eme de Hellmann et

Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1 Gen`ese de la M´ecanique Quantique

Le d

´ebut du du XXesi`ecle a´et´e le th´eˆatre de plusieurs r´evolutions scientifiques au

cours desquelles le paradigme de la m ´ecanique classique a´et´e remis en question avec la th ´eorie de la relativit´e et la m´ecanique quantique. Les lois de la m´ecanique classique, ´enonc´ees par Isaac Newton dans son ouvragePhilosophiae Naturalis Principia Mathematicapubli´e en 1686, ont´et´e utilis´ees avec succ`es pendant plus de 200 ans pour interpr ´eter tous les ph´enom`enes connus en physique et en as- tronomie. Cependant, `a la fin du XIXesi`ecle, de nouveaux faits exp´erimentaux concernant la nature de la lumi `ere, son interaction avec la mati`ere ainsi que la structure ´electronique des atomes et des mol´ecules ne pouvaientˆetre expliqu´es par la m ´ecanique classique, ce qui amena les physiciens`a d´evelopper une nou- velle th

´eorie, la m´ecanique quantique.

Deux conceptions apparemment antagonistes de la lumi `ere se sont succ´ed´ees au cours de l'histoire. L'optique g ´eom´etrique explique les ph´enom`enes de r´eflexion et de r ´efraction`a l'aide d'un mod`ele o`u la lumi`ere est constitu´ee de corpuscules, emis par les corps lumineux, se propageant en ligne droite dans l'espace, l'air, les corps transparents et homog `enes. La d´ecouverte des ph´enom`enes de diffraction et d'interf ´erences a amen´e les physiciens`a adopter une description ondulatoire de la lumi `ere qui trouve son apog´ee avec les´equations de Maxwell. Au cours du XIXe si `ecle, le d´eveloppement de la spectroscopie, puis le probl`eme du rayonnement du corps noir initi ´e par Kirchhoff ont montr´e les limites de la description purement ondulatoire.

La chimie, parlant de la mati

`ere et ses transformations, se trouvait alors etroitement li´ee`a ces d´eveloppements spectroscopiques.

1.1 Le d

´eveloppement de la spectroscopie

Au d ´ebut du 19e si`ecle, John Dalton formule l'hypoth`ese d'atomes et d'´el´ements, constituants de la mati `ere et dirigeant leurs transformations en proportions stoe- chiom ´etriques. En 1802, William Hyde Wollaston est le premier`a observer la pr ´esence de lignes sombres dans le spectre de la lumi`ere solaire mais sans les etudier syst´ematiquement ni´emettre d'hypoth`eses sur leurs origines. En 1815 Jo- seph von Fraunhofer observe des centaines de lignes dans le spectre (continu) du soleil et en donne les fr ´equences avec une pr´ecision jusqu'alors inconnue.

Ceci a permis le d

´eveloppement de deux chemins de la chimie : d'un cˆot´e l'isolation des ´el´ements chimiques vers le tableau de Mendeleiev (1869),1la d ´etermination des masses atomiques et des r´eseaux cristallins; et de l'autre l'iden-

1notons que J. W. v. Goethe´ecrit en 1809 "Les affinit´es´electives", comparant des passions

humaines `a des propri´et´es atomiques 9 tification des´el´ements chimiques par leurs spectres d'´emission (Herschel 1822).

Les progr

`es technologiques permettent au physicien su´edois Anders Jonas °Angstr¨om de mesurer en 1868 les longueurs d'onde du spectre de la lumi`ere so- laire dans le domaine visible avec une grande pr

´ecision. Cette pr´ecision des me-

sures fut encore augment ´ee grˆace`a l'enregistrement photographique mis au point par Rowland vers 1882. A cette ´epoque les spectres de la plupart des´el´ements sont connus, sans pouvoir cependant trouver une syst

´ematique. Kirchhoff et Bunsen

remarquent d ´ej`a en 1859 que certains spectres correspondent aux raies observ´ees par Fraunhofer dans le spectre solaire.

En 1885, Balmer proposa

2une loi de distribution des longueurs d'onde du spectre

de l'hydrog `ene´etablie`a partir des 14 raies connues. Dans la limite des erreurs exp ´erimentales, chaque longueur d'onde est donn´ee par la relation :

λ=Cm2

m2-4(1)

Cette formule reste n

´eanmoins inapplicable pour d'autres spectres connus. Jo- hannes Rydberg propose de l'

´ecrire de la fac¸on suivante

1

λ=A-R(n-α)2(2)

avecR= (109677.759±0.005)cm-1(constante de Rydberg), puis Walter Ritz en 1908 donne une formule plus g ´en´erale (anticip´ee d´ej`a par Balmer dans sa pu- blication de 1885, mais sans preuve exp

´erimentale)

1

λ=R?1n2-1m2?

(3) avecn= 2etm > npour reproduire les positions des raies que Balmer a utilis ´e, sans´etablir pour autant un lien physique entre la longueur d'onde et les nombres/constantes dans les formules. Nous savons aujourd'hui que ce lien est donn ´e par la relation entre la longueur d'onde et l'´energie transport´ee par la lumi `ere.

1.2 Ondes et

´energie

Pour y voir plus clair il faut faire une petite excursion versla nature de la lumi`ere.

Ce sont des ondes

´electromagn´etiques, qui se propagent dans l'espace avec une vi- tesse limit ´ee, la c´el´erit´e mise en´evidence par Ole R¨omer en 1675 par observation des lunes du Jupiter, puis en 1849 sur terre par A. H. Fizeau. La th´eorie des ondes a ´et´e bien´etudi´e par Newton, Huygens, Fresnel et Maxwell. Ce dernier donnait 10

0 1 2 3 4 5

phase en une th´eorie compl`ete de l'´electrodynamique, et H. Hertz montrait qu'en effet des ondes ´electromagn´etiques pouvaient transporter de l'´energie`a travers l'espace.

Uneonde(

λse d´eplace avec une vitessec. Elle est d´ecrite par une fonction du tempstet de l'espace selon

A(x,t+ Δt) =A(x-cΔt,t)(4)

Si la fonction a la formeA(x,t0) =A0sin2πx/λpour un temps initialt0, nous avons au tempst0+ Δtla fonction

A(x,t0+ Δt) =A0sin?2π

λ(x-cΔt)?

=A0sin2π?xλ-cλΔt? (5)

Pour retrouver exactement la m

ˆeme situation qu'au tempst0nous pouvons

- attendre `a un endroitxfixe un tempsτ=λ/c, donc nous retrouvons la fr

´equence

ν= 1/τ=c/λ

- se d ´eplacer deλpour un tempstfixe, ce qui donne la longueur d'onde La fonctionA(x,t)est en fait la solution d'une´equation diff´erentielle partielle ∂2 ∂x2A(x,t) =1c2∂

2∂t2A(x,t)(6)

o `u la d´eriv´ee par rapport`atne concerne pas la variablexet vice versa. Exercice :v´erifier que la fonctionA(x,t) =A0sin2π?x

λ-cλt?ob´eit`a

l' ´equation diff´erentielle, en´etablissant la d´eriv´ee seconde par rapport`ax, puis par rapport `at.

2Johann Jakob Balmer (1825-1898), Annalen der Physik,261(1885) 80

11 Pour l'instant rien n'est dit sur le transport d'´energie par onde´electromagn´etique. Nous pouvons constater qu'en augmentant l'intensit

´e d'une source lumineuse,

nous pouvons transporter davantage d'

´energie, qui peut par exemple chauffer un

objet. Un pas important a ´et´e´etabli par l'observation que la fr´equence du rayonne- ment change avec la temp ´erature de la source (braises, boulets rouges, chauffage a blanc, ...). Wilhelm Wien donne en 1894 la relation entre lalongueur d'onde du maximum de la distribution de l'intensit

´e et la temp´erature

max·T=const .(7)

Cette loi peut

ˆetre combin´ee avec la loi de Stefan et Boltzmann (1880), qui donne la quantit ´e d'´energie´emise par unit´e de surface d'un corps chaud

E=σ T4(8)

ce qui permet par exemple de d ´eduire de la distribution des intensit´es en fonction de la fr ´equence du spectre continu du soleil sa temp´erature de la surface (5400K), ou prendre par un bolom `etre la temp´erature d'un objet difficilement accessible, voire m ˆeme la temp´erature du corps humain sans contact mat´eriel direct. Cependant, nous n'avons toujours pas une relation directe entre la fr´equence et l' ´energie. Deux approches ind´ependantes pouvaient y amener via l'hypoth`ese de quantification, et ainsi `a la m´ecanique quantique : - la d

´erivation de la formule de Planck en 1900

- l'explication de l'effet photo

´electrique par Einstein 1905

Historiquement, il a fallu attendre la deuxi

`eme approche pour donner naissance de la m

´ecanique quantique.

1.3?Le rayonnement du corps noir

En physique, un corps noir d

´esigne un objet id´eal dont le spectre´electromagn´etique ne d ´epend que de sa temp´erature. En pratique, un tel objet mat´eriel n'existe pas, mais il repr

´esente un cas id´ealis´e servant de r´ef´erence pour les physiciens. L'adjectif"noir»

signifie ici que l'objet absorbe tout le rayonnement qu'il rec¸oit sansen r´efl´echir ni en transmettre. L'objet r ´eel se rapprochant le plus du corps noir est l'int´erieur d'un four dont l'une des faces est perc ´ee d'un petit trou laissant passer un infime partie du rayonnement afin de permettre l'observation. Les courbes `a diff´erentes temp´eratures de l'intensit´e en fonction de la longueur d'onde observ ´ees avec un mod`ele exp´erimental sont reproduites figure 1.

L'interpr

´etation de ces r´esultats exp´erimentaux donna lieu`a une controverse parce qu'une loi propos

´ee par Wilhelm Wien

λ=C

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