[PDF] Informatique en CPGE (2018-2019) TD 13 : équations différentielles

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Informatique en CPGE (2018-2019)

TD 13 : équations différentiellesDes méthodes

Méthode de Heun

Schéma :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h u=yk+hf(xk;yk) y k+1=yk+12 hf(xk;yk) +12 hf(xk+1;u)

Méthode du point milieu

Schéma :

Pourk= 1àk=n1

x k+1=xk+h y k+1=yk1+ 2hf(xk;yk)

Il faut ajouter une étape pour le calcul dey1.

Méthode de Runge-Kutta d"ordre 2

Schéma :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h K

1=hf(xk;yk)

K

2=hf(xk+h=2;yk+K1=2)

y k+1=yk+K2

Méthode de Runge-Kutta d"ordre 4

Schéma :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h K

1=hf(xk;yk)

K

2=hf(xk+h=2;yk+K1=2)

K

3=hf(xk+h=2;yk+K2=2)

K

4=hf(xk+h;yk+K3)

y k+1=yk+ (K1+ 2K2+ 2K3+K4)=6

Méthode d"Euler implicite

Nous utilisons ici un schéma rétrograde :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h y k+1=yk+hf(xk+1;yk+1) La programmation est différente sifn"est pas linéaire eny. SoitFdéfinie parF(yk+1) =yk+1hf(xk+1;yk+1)yk. Le calcul deyk+1revient à résoudre

l"équationF(u) = 0par exemple avec la méthode de Newton qui nécessite le calcul deF0(u)ou la

méthode par dichotomie.

Exercice1

1. Ecrire une fonction qui ren voieune v aleurapprochée de l"intégrale d"une fonction fentreaetb

aveca < b. La fonction prend en paramètres la fonction, les bornes de l"intervalle et le pas utilisé.

La méthode utilisée est la méthode des rectangles.Serge Bays1Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.fr

Donner la valeur approchée deI=Z

2 11t dtobtenue avec un pash= 0:01. 2.

Ecrire une fonction eulerqui calcule une solution approchée de la fonctionysolution de l"équation

différentielley0= 1=xsur l"intervalle[1;2], avec la condition initialey(1) = 0. Le pas utilisé est

h= 0:01

Donner la valeur approchée dey(2)et comparer avec la valeur exacte et la valeur approchée de la

question précédente. 3.

T racerla courbe représentant la solution approchée et la courbe représentant la solution e xactesur

un même graphique.

Exercice2

1. Ecrire une fonction qui calcule et ren voieune v aleurapprochée de l"intégrale Z x 0 et2dten utilisant la méthode des trapèzes avec un pash= 0:01.

Donner une valeur approchéeIdeZ

8 0 et2dt. 2.

Ecrire une fonction eulerqui calcule une solution approchée de la fonctionysolution de l"équation

différentielley0=ex2sur l"intervalle[0;8], avec la condition initialey(0) = 0. Utiliser pour approximation de la dérivée :f0(x)'f(x+h)f(xh)2hsoit le schéma :yk+1= y k+hf(x+h=2). Donner une valeur approchée dey(8). Comparer avecIetp=2. 3.

T racerla courbe obtenue.

Exercice3

Nous allons appliquer la méthode de Taylor pour résoudre numériquement l"équation différentielle

y

0= 1=x. Cette équation a été résolue à l"exercice 1 avec la méthode d"Euler.

Le principe de cette méthode consiste à remplacer sur[xk;xk+1]la courbe par une parabole, et pour

cela, nous utilisons la dérivée seconde.

Si l"équation s"écrity0(x) =f(x), alors nous obtenonsy00(x) =f0(x). Et plus généralement, si

y

0(x) =f(y;x), alorsy00(x) =y0(x)f0y(y;x) +f0x(y;x).

C"est-à-dire :y00(x) =f(x)f0y(y;x) +f0x(y;x).

Cette méthode est donc utilisable si le calcul de la dérivée seconde est "simple", ce qui est le cas ici.

Algorithme :

Initialisation :x0=a,y0=y0,h=ban

Traitement :

Pourk= 1àk=n1

x k+1=xk+h y k+1=yk+hf(yk;xk) +h22 (fdfy+dfx)(yk;xk) Ecrire une fonctiontaylorprenant les mêmes paramètres que la fonctioneulerde l"exercice 1 aux-

quels il faut ajouter un paramètre pour la fonction f". Ecrire les définitions des fonctionsfetf0. Comparer

la solution obtenue avec celle de l"exercice 1 et avec la solution exacte, pour un pash= 0:1.

Exercice4

Il existe de nombreux modèles pour simuler et étudier les variations dans le temps d"une popula-

tion donnée. Siy(t)est la taille de la population au tempst, l"équation différentielley0(t) =ay(t)(1

y(t)=k(t)), correspond au modèle deVerhulst. Le coefficienta >0est le taux d"accroissement et

k(t)>0, la "capacité d"accueil" ou la limite supérieure de la taille.Serge Bays2Lycée Les Eucalyptus

http://mathematice.fr 1.

Résoudre numériquement l"équation dif férentielleci-dessus à l"aide de la méthode d"Euler .La po-

pulation initiale estp0= 20, l"intervalle de temps est[0;200]et le pas de temps esth= 0:1. Prendre a= 0:15etk(t) = 1000, fonction constante.

Tester différentes valeurs pouraetk.

Tester la fonctionkdéfinie park(t) = 700sit2[0;60]etk(t) = 300sit >60. Tester la fonctionkdéfinie par :k(t) = 200pourt2[40q;40q+ 10[etk(t) = 100pourt2 [40q+ 10;40(q+ 1)[avecqentier naturel. 2.

Remplacer la méthode d"Euler par la méthode de Heun dont le schéma est donné dans le cours.

Exercice5Longueur d"un arc

Notonssla fonction donnant la longueur d"un arc de courbe dont les extrémités sont les pointsAet

B. Sous certaines conditions, si la courbe représente une fonctiony=f(x), alorsA(a;f(a)),B(b;f(b),

ets(b) =Z b ap1 + (f0(x))2dx.

Si la courbe est donnée par un système d"équations paramétriques (x(t); y(t)), alorsA(x(a);y(a)),

B(x(b);y(b)), ets(b) =Z

b apx

0(t))2+ (y0(t))2dx.

La fonctionsvérifie donc une équation différentielle du premier ordre : dans le premier cass0(x) =p1 + (f0(x))2avec la condition initiales(a) = 0et dans le deuxième cass0(t) =p(x0(t))2+ (y0(t))2

avec la même condition initiale. 1. Ecrire un programme qui calcule une v aleura pprochéede la longueur de l"arc de parabole y=x2, pourx2[0;1]. 2.

Calculer une v aleurapprochée du périmètre de l"ellipse, soit l"ensemble des points de coordonnées

(2cos(t);3sin(t)), pourt2[0;2]. 3.

Calculer une v aleurapprochée de la longueur d"une c ycloïde,ensemble des points de coordonnées

(4(tsin(t));4(1cos(t))), avect2[0;2].

Exercice6

8sin(y(x)) =c(x)sur l"intervalle[0;10]en utilisant la méthode d"Euler implicite (ou rétrograde).

L"équation s"écritY0= (y0;c(x)0;5y0(x)8sin(y(x))) =f(y;x)où nous avons poséY= (y;y0).

Nous prenonsc(x) = 1=(1 +x2).

Rappelons le schéma d"Euler rétrograde :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h y k+1=yk+hf(xk+1;yk+1) SoitFdéfinie parF(yk+1) =yk+1hf(xk+1;yk+1)yk. Le calcul deyk+1revient à résoudre l"équationF(u) = 0. Cette équation est résolue ici avec la méthode de Newton. 1.

Ecrire la définition de la fonction c.

2.

Ecrire la définition de la fonction f(y;x).

Le paramètreyest un tableau (un couple) de typenumpy.ndarray.

La fonction renvoie un couple du même type.

3.

Ecrire une fonction newton(h, dh, a)qui renvoie une valeur approchée de la solution de l"équation

h(x) = 0calculée par la méthode de Newton et obtenue après dix itérations.

Le paramètre dh est la dérivée de la fonctionh, le paramètreaest la valeur d"initialisation.

4. Ecrire une fonction backEuler(a, b, y0, n, f)qui renvoie deux tableaux x et y du type numpy.ndarray (les abscissesxket les valeurs approchées dey(xk)). Le paramètrenest le nombre d"intervalles utilisés.Serge Bays3Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.fr

C"est la méthode de Newton qui est utilisée pour calculeryk+1à chaque itération. Il est donc né-

cessaire de définir à chaque itération, dans le corps de la fonctionbackEuler, la fonctionFet sa

dérivéedF. Pour cela, nous calculons une valeur approchée dedF(t)avec la formule dF(t)'(F(t+e)F(te))=2e avec par exemplee= 105. 5. Les conditions initiales sont y(0) = 1ety0(0) = 2.

Pour le nombre d"intervalles, prendren= 1000.

Tracer la courbe représentant la solution approchée et comparer avec la courbe obtenue en utilisant

la fonctionodeintdescipy.integrate.

Exercice7

Nous étudions la trajectoire d"une balle en fonction du temps(x(t);y(t)). Si nous ne tenons pas

compte de la résistance de l"air, les équations sont :x00(t) = 0ety00(t) =goù nous prenonsg= 9;81,

(la gravité). Si nous tenons compte de la résistance de l"air, les équations sont :x00(t) =kx0(t)et

y

00(t) =ku0(t)goùkest une constante. Nous prenonsk= 0;2.

La vitesse initiale est donnée par son modulev0 = 6et l"angle formé avec l"axe des abscisses, a0 ==4. Doncx0(0) =v0cos(a0)ety0(0) =v0sin(a0).

Les équations différentielles sont résolues numériquement avec la méthode d"Euler en utilisant des

tableaux du type numpy.ndarray.

Ecrire un programme permettant de tracer dans les deux cas les trajectoires de la balle. Les trajectoires

s"arrêtent dès quey(t)0. Effectuer des tests avec des valeurs initialesv0eta0différentes.

Exercice8

Considérons une massemsuspendue à un fil de longueurLdont la masse est négligeable et soumis

à l"accélération de la gravité!g. La position de la masse est repérée par l"angleentre la direction du fil et

la verticale.

La masse est lâchée à l"instantt= 0avec une vitesse initiale nulle,00= 0, le fil faisant un angle

0==3avec la verticale. Nous supposons que l"équation différentielle satisfaite parest :00(t) =

asin((t))aveca=g=L. Soitv(t) =0(t)alors, l"équation différentielle est équivalente au système :

0(t) =v(t)

v

0(t) =asin((t))

avec les conditions initiales(0) =0etv(0) =0(0). L"équation à résoudre est donc de la formeu0=f(u;t)avecu= (;0), soitf(;0;t) = (0;asin())

Résoudre numériquement l"équation différentielle sur l"intervallet2[0;10]en utilisant la méthode

de Runge-Kutta d"ordre 2. Le pas utilisé esth= 0;01. PrendreL= 0:5etg= 9:81. Tracer la courbe représentative de la solution approchée. Comparer avec le résultat obtenu avec celui donné par la fonctionodeintdescipy.integrate. Tracer la courbe représentant0en fonction de(diagramme de phase).

Exercice9

L"équation différentielle00=k10k2sinest l"équation du mouvement d"un pendule amorti par une force de frottement. L"exercice précédent correspond àk1= 0. Nous posonsy=etz=0. Les conditions sont :0==3,00= 0,k1= 0;5,k2= 10, t2[0;20]. 1.

Programmer la méthode de Runge-K uttad"ordre 4 a vecun pas h= 0;04Serge Bays4Lycée Les Eucalyptus

http://mathematice.fr 2. T racerles courbes représentations des solutions approchées de en fonction detpuis de0en fonction de(diagramme de phase). 3.

T raduirel"équation dif férentielled"ordre 2 par deux équations dif férentiellesd"ordre 1 de la forme :

y

0=f1(y;z)etz0=f2(y;z)

Posery=etz=0.

4. Ecrire le code qui définit les deux fonctions f1etg1. 5.

Résoudre numériquement l"équation dif férentiellea vecla méthode d"Euler .Le schéma est le sui-

vant :

Pourk= 0àk=n1

x k+1=xk+h y k+1=yk+hf1(yk;yk) z k+1=zk+hf2(yk;yk)

Tracer le diagramme de phase.

Exercice10

Pour étudier la propagation dans le temps d"une épidémie, nous considérons le modèle suivant oùS

S0(t) =rS(t)I(t)

I

0(t) =rS(t)I(t)aI(t)

avecS(0) =S0etI(0) =I0;aetrsont des constantes qui caractérisent l"épidémie,test la variable

représentant le temps en jours.

Schéma :

t k+1=tk+h S k+1=SkhrSkIk I k+1=Ik+hrSkIkaIk Résoudre numériquement le problème avecr= 2;5:103,a= 0;32S0= 500,I0= 1,n= 30, le nombre de pas. Tracer les courbes représentant l"évolution deSet deI.

Exercice11

Les équations de Lotka-Volterra sont utilisées pour modéliser l"évolution d"un système appelé "proie-

prédateur". Six(t)est l"effectif des proies en fonction du temps ety(t)l"effectif des prédateurs en fonction

du temps, le système s"écrit : x0(t) =ax(t)bx(t)y(t) y

0(t) =cy(t) +dx(t)y(t)

Les coefficientsaetdsont les taux de reproduction respectifs des proies et des prédateurs,betc

sont les taux de mortalité respectifs des proies et des prédateurs. Nous choisissons les constantesa= 0:5,

b= 0:6,c= 0:5,d= 0:4définies au début du programme. 1. Ecrire une fonction LV(x0, y0, n, dt)qui renvoie trois listes contenant les valeurstk,xk,ykobtenues avec le schéma d"Euler.

Pourkvariant de 0 àn1:

t k+1=tk+dt x k+1=xk+dt(axkbxkyk) y k+1=yk+dt(cyk+dxkyk) 2.

Les conditions initiales sont x0 = 0.85 et y0 = 1.25. T racerles courbes paramétrées, ensembles des

points(x(t);y(t)), avecn= 500etdt= 0:1puis avec avecn= 5000etdt= 0:01et enfin avec n= 50000etdt= 0:001.

La courbe est fermée dans le dernier cas qui nécessite de nombreux calculs.Serge Bays5Lycée Les Eucalyptus

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Si nous posons u= (x;y), alors le système d"équations s"écrit :u0=f(u). Ecrire la définition

de la fonctionfet reprendre la question 1 en utilisant le schéma de Runge-Kutta RK4. Utiliser les tableaux numpy.ndarray. Vérifier que la courbe obtenue est fermée avec les paramètresn= 500etdt= 0:1. 4.

T raceralors les courbes paramétrées (x(t);y(t), avec les différentes conditions initialesx0 = 0:85+

0:1u,y0 = 1:25 + 0:1uavec0u21. Prendren= 200etdt= 0:1.

5. T racerles deux courbes représentant respecti vementxetyen fonction det.

Prendren= 500,dt= 0:1,x0 = 0:85ety0 = 1:25.

6.

Nous écri vonsl"équation dif férentiellesous la forme y0(x) =f(x;y). Soit :y0(x) =y(c+dx)x(aby).

Ici,yest considérée comme fonction dex. Résoudre numériquement cette équation avec le schéma

de Runge-Kutta RK4. Tracer alors la courbe représentantyen fonction dex.Serge Bays6Lycée Les Eucalyptus

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