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Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020 8 EXERCICES ET PROBLÈMES Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur IR par: xf x si xxf x x si x38( ) ,22( ) 2 10 2, 1) Calculer xf et f x2(2) lim ( ) 2) Est-ce que la fonction f est continue en 2 ? 3) Etudier la continuité de f sur IR. 4) Etudier la dérivabilité de f en 2, et interpréter géométriquement les résultats. Exercice 2 : :Soit f la fonction définie parf x x x3( ) 3 2 1) fx( ) 0 a une seule solution sur 0; et que 0;1. 2) Donner un encadrement 0,125 de . 3) En déduire que :0; ; ( ) 0 ; ; ( ) 0x f x et x f x 4) Montrer que f admet une fonction réciproque f1 définie sur un intervalle J puis calculerf f et f11(0) ; ( 2) '( 2). Exercice3 : Soit f la fonction définie sur IR par: 32( ) 3 3 ,1( ) 1 1 1,f x x x si xf x x si x et ()fCsa courbe dans un repère orthonormé O i j( ; ; ) 1) Etudier la continuité de f à droite et à gauche en 1. 2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1. Puis Interpréter graphiquement les résultats. 3) calculer fx'( ) pour x,1 . 4) Montrer que le point 03();I est un point dinflexion de ()fC. 5) Donner le tableau de variation de f sur IR. 6) Etudier les branches infinies de ()fC. 7) Ecrire une équation de la tangente à ()fCau point I 8) Montrer que l'équation fx( ) 0admet une unique solution ,1dans et que 0;1. 9) Tracer la courbe ()fC dans le repère O i j( ; ; ). 10) Soitg la restriction def ,1 , montrer que g admet une fonction réciproque 1g définie sur un intervalle J tracer sa courbe dans le repère précédant.

Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020

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Exercice4 :

2 x

1) Déterminer

fD , puis étudier les variations de f.

2) Soitg la restriction def

;2 montrer que g admet une fonction réciproque 1g définie sur un intervalle J que .

3) Calculer

19 g , puis déterminer 1()gx

Exercice 5 :

On considère la fonction f définie par :

1 x

1) Déterminer

fD , calculer les limites de la fonction f aux bornes ouvertes de fD

2) a - Vérifier que

1 x b - En déduire que f est strictement croissante sur 0;I

3) Soit g la restriction de f

I

a) Montrer que g admet une fonction réciproque 1g définie sur un intervalle J à déterminer.

b) Déterminer 1()gx pour xJ

Exercice 6 :

Soit fune fonction définie par :

21f x x x

1) Déterminer

fD , puis calculer lim xfx et lim xfx

2) Soit g la restriction de f sur

1;I a) Montrer que g admet une fonction réciproque 1g définie sur un intervalle J précisera. b) Donner le tableau de variation de g . c) Déterminer 1()gx pour xJ

Exercice 7 :

On considère la fonction f définie sur

0; par :

43f x x x

1) Calculer

lim xfx 2)

2f x x

admet une solution unique 0;1

3) Soit g la restriction de f

4;I

a) Montrer que g admet une fonction réciproque 1g et préciser son domaine de définition J .

b) Déterminer 1()gx pour xJ

Exercice 8 :

Calculer les limites suivantes.

3 3 5 2 x - x x

3 3 3 3

: R

Exercice 9 :

f définie sur ;3

1) Déterminer

'(2)f , (justifier)

2) Donner

'(1)df , justifier.

3) fest elle dérivable à gauche en 1, justifier ?

4) Déterminer

1limx fx

5) Dresser le tableau de variation defsur

;3

Exercice10 :

Soit la fonction :

xx 2 1 et ()fC sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan O i j( ; ; ).

1) Déterminer

fD , puis étudier la continuité et la dérivabilité de f sur fD . Justifier les réponses !

2) Etudier la parité de f et en déduire un élément de

symétrie de ()fC.

3) Etudier les limites de f aux bornes du domaine

fD et en déduire les asymptotes éventuelles à ()fC.

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4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de

variations.

5) Etudier la concavité de ()fC et résumer cette étude

dans un tableau.

6) Déterminer une équation cartésienne de la

tangente T()

à ()fC 0.

7) Etudier la position de ()fC par rapport à

T()

8) Tracer ()fC et

T() dans le repère O i j( ; ; ).

Exercice 11 :

(C) fdans un repère orthonormé.

La droite

1 Dy est une asymptote horizontale à la courbe (C) au voisinage de

La droite

1 yx est une asymptote oblique

à la courbe (C) au voisinage de

Par une lecture graphique.

1) Déterminer le signe de

( ).fx

2) Déterminer le sens de variations de f.

3) Déterminer

lim xfx lim xfx Et 1 lim 2 xf x x

Exercice 12 :

Soitf une fonction tel que :

32

1x x x

Et ()fCsa courbe dans un repère orthonorméO i j( ; ; ).

1) Montrer que

00;;fD

2) Calculer

0lim xfx ,puis interpréter géométriquement le résultat.

3) Calculer

lim xfx et lim xfx

4) a)- Montrer que :

21;fx
b)- Montrer que la droite ( ): 1yx est une asymptote oblique à ()fC au voisinage de .et

5) a)- Montrer que :

2 12 f x x x x ; b)- Etudier le signe de '( )fx , puis dresser le T.V.

6) Montrer que :

4 23
f x ; et étudier la concavité de()fC puis en déduire que()fC admI .

7) Etudier la position relative de ()fCet de

8) Déterminer une équation de la tangente

T()

à la

courbe()fC 1.

9) Tracer la courbe()fC et la droite

T()

Exercice 13 :

Partie 1 :Soitgla fonction définie sur IR par : x( ) 1

1) Calculer

lim xfx

2) Vérifier que :

gx 1

3) En déduire que :

x IR g x( ): 0 Partie 2 : Soit f la fonction définie sur IR par :

11f x x x²

1) Vérifier que pour tout réel x on a :

f

2) Dresser le tableau de variation de f.

3) Montrer que

xfxlim ( ) 1 . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

4) Montrer que la droite

D y x

est une asymptote oblique à ()fC au voisinage de

5) Tracer, ()fC et

D() dans un repère orthonormé .

Exercice 14:

Partie1 :Soit la fonction g définie sur IR par : x 2

1) Montrer que g est strictement croissante sur IR.

2) Calculer

g1 et en déduire le signe de gx() Partie2 : Soit la fonction f définie sur IR par :

23f x x x²

1) Etudier les branches infinies de ()fC.

2) Vérifier que pour tout réel x on a :

f puis dresser le tableau de variation de f.

3) Donner une équation cartésienne de la tangente

T()

à la courbe de f en son point d'abscisse -1.

4) Tracer la courbe ()fC.

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