[PDF] À propos du carré magique dAlbrecht Dürer (1514)

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1

¬ SURSRV

par René Descombes musée Condé, Chantilly, WikiCommons) 2 magique en cause : les pages qui suivent restent donc exclusivement centrées sur le carré magique de Dürer.

Figure 1bis : détail figure 1.

tempérament mélancolique1. Durant ses séjours en Italie, en 1494, puis un peu plus tard en 1505, Albrecht Dürer a vraisemblablement rendu visite à Fra Luca Pacioli (1445-1517) à Venise, qui publiera quelques années plus tard son ouvrage principal, De divina proportione (Venise, 1509). Albrecht Dürer a pu avoir connaissance du manuscrit de Pacioli, et ce dernier a pu lui faire bénéficier de son savoir mathématique, et en particulier de ses connaissances en matière de carrés magiques. Albrecht Dürer a pu avoir aussi connaissance des recherches de Henricus Cornelius Agrippa, né à Cologne en 1486 Ż1D3D), contemporain et compatriote Cologne en 1533) : le manuscrit de Cornelius avait cependant circulé au moins entre 1509 et 1514 ± on sait que Rabelais en a connaissance à cette époque ± et permutation des colonnes centrales) : 3 À moins que Henricus Cornelius se soit lui-même référé à la Melencolia La célèbre gravure, souvent reproduite, a été exécutée en 1514 : la date figure dans les deux cases centrales de la dernière ligne du carré magique placé en haut et à droite de la gravure, au-dessous de la cloche. aux mathématiques, entre autres, notamment à la géométrie. Il a publié en 1525 un manuel de géométrie pratique, sous le titre Underweysung der Messung (Instructions pour la mesure), dans lequel il donne de nombreuses constructions pratiques de certaines figures, dont les

Figure 2 : Autoportrait à la fourrure, 1500

(Munich, Alte Pinakothek | WikiCommons) 4 critiques. Le personnage principal ailé, méditatif, assis nonchalant et triste, devant son travail en cours, les outils dispersés, la balance, la cloche, le sablier, le carré magique normal de 16 cases, le polyèdre On regroupe souvent Melencolia avec deux autres gravures de Dürer de même format et de même facture : Le Chevalier, la Mort et le Diable (1513) et Saint Jérôme dans son étude (1514) ŃHV PURLV °XYUHV IRUPMQP une sorte de trilogie, comportant chacune un sablier, symbole de

UNE CONSTRUCTION SIMPLE DU CARRÉ DE DÜRER

1 2 3 4 16 2 3 13 16 3 2 13

5 6 7 8 5 11 10 8 5 10 11 8

9 10 11 12 9 7 6 12 9 6 7 12

13 14 15 16 4 14 15 1 4 15 14 1

1 2 3

2. On permute ou échange, les nombres situés sur les deux diagonales

principales, et symétriques par rapport au centre de la grille ;

3. On permute les deux colonnes centrales.

UNE AUTRE MÉTHODE

1 2 3 4 16 2 3 13 16 3 2 13

8 7 6 5 8 10 11 5 5 10 11 8

9 10 11 12 9 7 6 12 9 6 7 12

16 15 14 13 1 15 14 4 4 15 14 1

1 2 3

Voici une autre de construction du carré magique de Dürer, moins simple, mais néanmoins structurée : 5 extrémités des colonnes latérales (13 avec 4, 1 avec 16 ; 6 avec 11, 7 avec 10)

3. Dans les lignes de la grille auxiliaire 2 : on permute les nombres situés aux

extrémités des lignes 2 et 4, ainsi que les deux nombres situés au centre des lignes

1 et 3.

des inversions"

LES HUIT FORMES DU CARRÉ MAGIQUE DE DÜRER

16 3 2 13 13 2 3 16 4 15 14 1 16 5 9 4

5 10 11 8 8 11 10 5 9 6 7 12 3 10 6 15

9 6 7 12 12 7 6 9 5 10 11 8 2 11 7 14

4 15 14 1 1 14 15 4 16 3 2 13 13 8 12 1

Original Sym. 1ère méd. Sym. 2ème méd. Sym. 1ère diag..

1 12 8 13 4 9 5 16 1 14 15 4 13 8 12 1

14 7 11 2 15 6 10 3 12 7 6 9 2 11 7 14

15 6 10 3 14 7 11 2 8 11 10 5 3 10 6 15

4 9 5 16 1 12 8 13 13 2 3 16 16 5 9 4

Sym. 2ème diag. Rot. 1/4 Rot.1/2 Rot. 3/4 LE CARRÉ MAGIQUE DE DÜRER EST DE TYPE ASSOCIÉ P des nombres complémentaires (en symétrie par rapport au centre) est le cas du carré magique de Dürer, avec la constante de polarisation P = 17 Ainsi le carré magique de Dürer fait-il partie des 48 carrés magiques de type associé de la classification de Bernard de Frénicle (1605 ?-1675), Des Quarrez Rappelons que les carrés magiques de type associé sont auto- complémentaires.

2. In Divers ouvrages de mathématiques et de physique, Imprimerie royale, Paris, 1693, article de Frénicle P.

423-508 (Gallica).

6 recherches de Bernard Gervais. La mosaïque du carré magique de Dürer ne

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

LA GÉOMÉTRIE DU CARRÉ DE DÜRER

MSSMUMvPUH GH P\VPpULHX[ OH[MJRQHV HQPUHOMŃpV"

Ainsi, à gauche : 1, 2, 3, 4 ; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12 ; 13, 14, 15, 16. alors dans chaque quartier, que les couples de nombres pairs et les couples de nombres impairs, sont toujours opposés diagonalement.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

7

LA POLYMAGIE DU CARRÉ DE DÜRER

La notion générale de polymagie est relativement récente. normale, intéressant des alignements de 4 nombres, sur les 4 lignes, les 4 colonnes et les deux diagonales principales, on dénombre dans le carré de Dürer pris pour exemple, 76 combinaisons de quatre nombres non alignés dont la somme est magique, soit M4 = 34 : ainsi au total, la polymagie du carré de Dürer compte

86 combinaisons magiques de quatre nombres.

Rappelons que le nombre total de combinaisons de m termes pris p à p est donné par la relation suivante : Ainsi, dans le carré magique de Dürer, le nombre total de combinaisons de m = n2 = 16 termes, pris p à p, avec p = 4, est ܥ La planche ci-après permet de visualiser ces 86 combinaisons magiques dans le carré magique de Dürer. Parmi celles-ci, on remarque huit permutations figurées magiques (cadres renforcés). Planche 1 : Une visualisation sur le " Carré de Dürer » des 86 combinaisons des 16 premiers entiers pris 4 à 4, dont la somme des 4 termes est égale à M4 = 34.

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

1 2 3 4 5 6 7 8

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

9 10 11 12 13 14 15 16

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

17 18 19 20 21 22 23 24

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

25 26 27 28 29 30 31 32

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

33 34 35 36 37 38 39 40

8

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

41 42 43 44 45 46 47 48

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

49 50 51 52 53 54 55 56

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

57 58 59 60 61 62 63 64

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

65 66 67 68 69 70 71 72

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

73 74 75 76 77 78 79 80

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

81 82 83 84 85 86

Soit la série des n2 = 16 premiers entiers ; on se propose de trouver toutes les combinaisons de ces 16 nombres pris n à n avec n = 4, dont la somme est

à un logiciel ad hoc.

Voici quelques résultats dont la dernière ligne est calculée par informatique : n 3 4 5 6 C n n2

84 1820 53 130 1 947 792

9 = Mn 15 34 65 111

Conditions de la magie

normale3 8 10 12 14

Conditions de polymagie

8 86 1 394 32 134

UNE GÉNÉRALISATION

Cette " polymagie du carré de Dürer » peut être observée dans toute grille permutations figurées, qui figurent parmi les 86 combinaisons magiques, sont avec les 24 permutations figurées magiques en cadres renforcés. des 16 premiers entiers pris 4 à 4, dont la somme des 4 termes est égale à M4 = 34.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

25 26 27 28 29 30 31 32

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

33 34 35 36 37 38 39 40

3. Soit 2n+2 : n lignes, n colonnes, et 2 diagonales (dont la somme constante constitue la magie " normale »).

10

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

41 42 43 44 45 46 47 48

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

49 50 51 52 53 54 55 56

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

57 58 59 60 61 62 63 64

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

65 66 67 68 69 70 71 72

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

73 74 75 76 77 78 79 80

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8

9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11 12

13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

81 82 83 84 85 86

MULTIMAGIE

On ne confondra pas la polymagie avec la multimagie, cette dernière trimagie ; 2, 3 et 4, la tétramagie ; 2, 3, 4 et 5, la pentamagie4" Dans le cadre de la polymagie générale dans le carré magique et le carré naturel, on considère le cas particulier de la polymagie des formations de n termes qui présentent deux axes de symétrie orthogonaux. Cette forme de polymagie a été mise en lumière par Arsène Durupt. compte dix formations bi-axiales (ayant deux axes de symétrie orthogonaux), que

4. cf. Christian Boyer, " Les premiers carrés tétra et pentamagiques », Pour la Science, n°286, Août 2001, pp.

98-102 ; et le site Internet de Christian Boyer : www.multimagie.com

11

9 10 11 12 13

14 23 24 45 46

quartiers : dans ce cas, les axes de symétrie sont décalés par rapport à la grille de

16 cases.

25 26 27 28

associé retiennent notre attention ± poursuivons avec eux. Parmi les formations de n = 5 termes présentant deux axes de symétrie (un cruciforme, A, et un " bâton », B), auxquels on peut ajouter deux autres formations cruciformes :

A B C D

Le pentamino B correspond à la magie des lignes et des colonnes. 12 On peut " promener » les formations (A) et (C) dans le grille du carré de somme M5 = 65 (celle du carré lui-même). On dénombre neuf implantations magiques pour chacune de ces formations. Exemples pour la formation (A) :

10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22

11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3

17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9

23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15

4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16

1 2 3 4 5

10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22

11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3

17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9

23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15

4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16

6 7 8 9

Quant à la dernière formation (D), on compte quatre implantations magiques :

10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22 10 18 1 14 22

11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3 11 24 7 20 3

17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9 17 5 13 21 9

23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15 23 6 19 2 15

4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16 4 12 25 8 16

1 2 3 4

On constate que les formations qui sont centrées dans la grille, sont toujours magiques ; on les reconnait facilement. Les formations de 7 termes, présentant deux axes de symétrie orthogonaux six formations principales essentielles, qui constituent la majeure partie des implantations dans la collection ci-dessous, soit 74 implantations.

A B C D E F

13 On peut dresser le tableau récapitulant ces 74 implantations :

Case centrale de

la forme

A B C D E F

d̓après Arsène Durupt

2 ; 21 ; 33 ; 45 x x

8 ; 32 ; 7 ; 24 x x

48 ; 29 ; 17 ; 5 x x

42 ; 18 ; 43 ; 26 x x

1 ; 13 ; 37 ; 49 x x x x x x

25 x x x x x x

20 ; 30 x x x

38 ; 12 x x x

Totaux ( 74 ) 25 21 5 9 7 7

Dans le carré magique normal de type associé pris pour exemple, voici les diverses implantations magiques de ces formations bi-axiales : on en compte centrées dans la grille, et qui sont toujours magiques (de somme 175, elle-même somme du carré magique).

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

1 2 3 4

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

5 6 7 8

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

9 10 11 12

14

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

13 14 15 16

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

17 18 19 20

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

21 22 23 24

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36 6 18 30 49 12 24 36

23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11 23 42 5 17 29 48 11

47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35 47 10 22 41 4 16 35

25 26 27 28

15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3 15 34 46 9 28 40 3

39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27 39 2 21 33 45 8 27

14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44 14 26 38 1 20 32 44

31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19 31 43 13 25 37 7 19

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