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2. Le théorème de Pythagore

et sa réciproque

1.ThéorèmedePythagore

Activité d"introduction n°1 :Dans le tableau ci-contre sont notées les longueurs des côtés de six triangles. A partir

de ces mesures, peut-on déterminer la nature des triangles?TriangleCôté 1Côté 2Côté 3Nature

15,3 cm6 cm5,3 cm

23,9 cm3,9 cm8,3 cm

34,9 cm5,5 cm7,3 cm

47,1 cm7,1 cm7,1 cm

53,9 cm5,2 cm6,5 cm

63 cm4 cm5 cm

Solution:

TriangleCôté 1Côté 2Côté 3Nature

15,3 cm6 cm5,3 cmIsocèle

23,9 cm3,9 cm8,3 cmIsocèle

34,9 cm5,5 cm7,3 cmQuelconque

47,1 cm7,1 cm7,1 cmÉquilatéral

53,9 cm5,2 cm6,5 cmRectangle

63 cm4 cm5 cmRectangle

Activité d"introduction n°2 :

1. T raceun triangle ABCayant pour longueurs de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. 2. A l"aide de ton matériel de géo métrie,v érifieque le t riangleABCest rectangle. 3. Constr uisles carrés appuy éssur c haquecôté du triangle ABC. 4.

Calc ulel"aire de ces trois carrés.

5.

Que p eux-tuconjecturer ?

1

Solution:

On a la figure suivante :AB4 cmC

3 cm5 cm25 cm

29 cm

216 cm

2On a alors 25 cm

2= 9 cm2+ 16 cm2.Théorème de PythagoreSi un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l"hypoténuse est égal à la

somme des carrés des longueurs des côtés de l"angle droit.Définition Dans un triangle rectangle, l"hypoténuseest le côté opposé à l"angle droit.2 Exemple : Dans les triangles rectangles ci-dessous, colorie l"hypoténuse.

Solution:

Définition

Lecarréd"un nombre est ce nombre multiplié par lui-même.Exemple : Complète le tableau suivant.

Nombre123456789101112

Carré

Solution:

Nombre123456789101112

Carré149162536496481100121144

Exercices

3

2.Démonstrationduthéorème

On considère les deux carrés suivantsABCDetIJKLde côtés(b+c).ABbc Cb cD bcbcIJbc Kb cLEF a Ga HaaM NOPQ EFGHest un carré car ses côtés sont de même longueur (de longueura) et a quatre angles droits (par exemple,\HEF= 90°car[AEF+\HEF+\DEH= 180°,\DEH=[AFE, donc\DEH+[AEF= 90°et\HEF= 90°). IMQOest un carré de côtébetQPKNest un carré de côtéc. Aire

ABCD=AireIJKL= (b+c)2.

Aire

ABCD=AireEFGH+ 4×AireAEF

=a2+ 4×(b×c÷2) =a2+ 2×b×c Aire

IJKL=AireIMQO+AireMJPQ+AireQPKN+AireOQNL

=b2+b×c+c2+b×c =b2+c2+ 2×b×c Donc a +2×b×c=b2+c2+ 2×b×c et a

2=b2+c2

4

3.Calculerunelongueur

Activité d"introduction :Quatre carrés ont pour aires respectives 25 cm2; 81 cm2; 36 cm2et 17 cm2. Peut-on

déterminer la longueur exacte des côtés de ces carrés?

Solution:

Le carré d"aire 25 cm

2a un côté de 5 cm car5×5 = 25.

Le carré d"aire 81 cm

2a un côté de 9 cm car9×9 = 81.

Le carré d"aire 36 cm

2a un côté de 6 cm car6×6 = 36.

Pour le carré d"aire 17 cm2, il faut trouver un nombrextel quex×x= 17. Ce n"est pas un nombre entier.Définition Laracine carréed"un nombre est le nombre positif dont le carré est le nombre de départ.

Exemple : Détermine les racines carrées

de... 1. 16 2. 10 0 3.

2 Solution:

1.⎷16 = 4car4×4 = 16

2.⎷100 = 10car10×10 = 100

3.⎷2≈

(sur la calculatrice, on utilise la touche⎷).

Exercices

5

3.1.Calculerlalongueurdel"hypoténuseExemple : On considère le triangleABCrectangle enBtel queAB= 6cm et

BC= 8cm. Quelle est la longueur du côté[AC]?

Solution:

Le triangleABCest rectangle enB, donc d"après le théorème de Pythagore, on a AC

2=AB2+BC2

AC

2= 62+ 82

AC

2= 36 + 64

AC

2= 100

AC= 10cmExercices

Exemple : On considère le triangleDEFrectangle enFtel queDE= 9cm et DF= 3cm. Quelle est la longueur du côté[FE]?

Solution:

Le triangleDEFest rectangle enF, donc d"après le théorème de Pythagore, on a DE

2=DF2+FE2

9

2= 32+FE2

81 = 9 +FE2

FE

2= 81-9

FE 2= 72

FE=⎷72

FE≈8,5cm (arrondi au dixième)Exercices

6

Propriété (admise) - Réciproque du théorème de PythagoreDans un triangle, si le carré du plus long côté du triangle est égal à la somme des

carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.Propriété - Contraposée du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré du plus long côté du triangle n"est pas égal à la somme

des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n"est pas rectangle.Remarque :Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore.

Exemple : Parmi les triangles cités à la première activité d"introduction, quels sont ceux qui sont rectangles?

Solution:

Les triangles n°5 et n°6 sont rectangles.

Le triangle n°1 n"est pas rectangle car62= 36et5,32+ 5,32= 56,18. Vu la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n"est pas rectangle. Le triangle n°2 n"est pas rectangle car8,32= 68,89et3,92+ 3,92= 30,42. Vu la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n"est pas rectangle. Le triangle n°3 n"est pas rectangle car7,32= 53,29et4,92+ 5,52= 54,26. Vu la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n"est pas rectangle. Le triangle n°5 est rectangle car6,52= 42,25et3,92+ 5,22= 42,25. Vu la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Le triangle n°6 est rectangle car52= 25et32+ 42= 25. Vu la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.Exercices 7quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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