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Math 12A : Fondements de l'Analyse 1

http ://math.univ-lille1.fr/mimp/Math12.htmlSeptembre 2013

Table des matieres

Chapitre I. Les nombres reels et les suites numeriques 1

1 Proprietes des reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Rappels sur les nombres reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Partie entiere d'un nombre reel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Suites numeriques | limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Denitions de suites, de limite de suite . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Quelques exemples de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Theoremes de base sur la convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Suite croissante et majoree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Borne superieure - Borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Maximum, Minimum { Majorant, Minorant . . . . . . . . . . 12

4.2 Borne superieure - Borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chapitre II. Fonctions reelles - Limites et continuite 15

1 Generalites sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Denitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Prolongement par continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Image d'un intervalle par une fonction continue . . . . . . . . 22

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapitre III. Fonctions reelles - Derivees 25

1 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1 Derivee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Derivees d'ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Fonctions reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Derivees des fonctions reciproques . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Fonctions reciproques des fonctions usuelles . . . . . . . . . . 31

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Extrema locaux et theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Points critiques et extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Theoreme de Rolle et regle de L'H^opital . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Theoreme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Theoreme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

On rappelle qu'en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellement donner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices. 1 Chapitre I. Les nombres reels et les suites numeriques

1. Proprietes des reels

1.1. Rappels sur les nombres reels

Il existe des nombres (reels), qui ne sont pas rationnels. Par exemple un nombre dont le carre est 2; le perimetre d'un cercle de rayon 1. Rrepresente l'ensemble des nombres reels; intuitivement, on peut identierRa une droite \sans trou".

Exemple 1.1.

(i) Montrer quep2 est un irrationnel. (ii) Montrer que siaest un irrationnel,paest aussi un irrationnel. Exemple 1.2.Soientaetbdeux rationnels positifs tels quepaoupbsoit irra- tionnel. Montrer quepa+pbest irrationnel. Remarque 1.1.La constructionmathematiquedeRn'est pas au programme de cette unite.

On sait que

(i) L'ensemble des reelsRest muni des operations usuelles d'addition et de mul- tiplication. (ii) Il y a une relation d'ordre dansR. Il est clair que (R;) est totalement ordonne, c'est-a-dire que :xx(re exive); On a les proprietes suivantes : Soitx;y;zettdes reels.

Sixyetzt, alorsx+zy+t.

Sixyetz0, alorsxzyzetxz yz.

1.2. Partie entiere d'un nombre reel

Proposition 1.1.(admis)

(i)Rest Archimedien,c'est-a-dire que8x2R;9n2N; tel quen > x. (ii) Soitx2R, alors il existe un uniquek2Ztel quekx < k+ 1. Denition 1.1.L'unique entierkde la proposition precedente est appele lapartie entieredex, qu'on noteE(x) ou [x].E(x) est donc le plus grand entierx.

Pour toutx2R, on aE(x)x < E(x) + 1:

Exemple 1.3.CalculerE(1x

) pourx1.

Pourx >0, calculerE(x) en fonction deE(x).

2CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

1.3. Valeurs absolues

Soitx2R, laValeur absoluedex, qu'on notejxj, est

jxj=xsix0; xsix <0.

Proprietes.Soitxetydes reels. On a

(i)jxj 0; etjxj= 0 SSIx= 0. (ii)jxyj=jxjjyj. (iii)jx+yj jxj+jyj(inegalite triangulaire). (iv)jxyj jxj jyj.

Remarque 1.2.xetyetant des reels, on a

(a)px

2=jxj:

(b)jxy j=jxjjyj(siy6= 0). (c)jxyjrepresente geometriquement, la distance entre deux points d'abscisses respectifsxety.

Denition 1.2.SoitIune partie non vide deR.

{Iest un intervalle si pour touta;b2I;aveca < b, [a;b]I. {Iest un intervalle ouvert siIest du type : ]a;b[ ou ]a;+1[ ou ] 1;a[ (aet betant des reels aveca < b). { SiIest un intervalle ouvert, alors pour toutx2I, il existe un intervalle ouvert centre enxcontenu dansI. Theoreme 1.1.(admis) Tout intervalle ouvert contient une innite de rationnels et une innite d'irrationnels. (Qest dense dansR.)

Rappelons quelques formules :

c a+b=cacbet (ca)b=cabpour touta;b2Retc >0; lnab=blna, ln(ab) = lna+lnbet lnab = lnalnbpour touta >0;b >0.

1.4. Exercices

On rappelle qu'en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellement donner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices.

Exercice I.1.Montrer queln3ln2

est irrationnel.

2. SUITES NUM

ERIQUES | LIMITES DE SUITES3

2. Suites numeriques | limites de suites

2.1. Denitions de suites, de limite de suite

On rappelle les denitions concernants les suites reelles. {Suite.Une suite reelle est une applicationu:N!R. La suiteuest notee (un)n0ou simplement (un).unest appele le terme general de la suite. Il arrive que la suite ne soit denie qu'a partir d'un certain entiern0, on notera dans ce cas (un)nn0ou (un). {Suite majoree, minoree, bornee. { Une suite (un)nn0est majoree si9M2R;8nn0; unM. { Une suite (un))nn0est minoree si9m2R;8nn0; unm. { Une suite (un)nn0est bornee si elle est majoree et minoree c.a.d

9m;M;8nn0; munM;

ou

9M >0;8nn0;junj M.

{Suite monotone. { Une suite (un)nn0est croissante (resp. strictement croissante) si

8nn0;un+1un(resp.un+1> un).

{ Une suite (un)nn0est decroissante (resp. strictement decroissante) si

8nn0;un+1un(resp.un+1< un).

{ Une suite (un)nn0est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou decroissante (resp. strictement croissante ou strictement de- croissante).

Denition 2.1.(Denition de la limite limn!+1un=`)

On rappelle la denition de lalimite nied'une suite reelle vue en terminale : Soit (un) une suite reelle. Soit`un reel. On dit queuntend vers`(ou que la suite (un) a pour limite`) quandntend vers l'inni, si \tout intervalle ouvert contenant`contient tous lesuna partir d'un certain rang." Or tout intervalle ouvert contenant`contient un intervalle ouvert de la forme ]` ;`+[, avec >0, la denition est equivalente a la suivante : \pour tout >0, il existe un rangN2N, tel que, pour toutnN;un2]`;`+[. "

Ceci est la m^eme chose que

\pour tout >0, il existe un rangN2N, tel que, pour toutnN;junlj< :"

On le note en abrege :

limn!+1un=`si8 >0;9N2N, tel que8nN;junlj< : Siuntend vers`, on note limn!+1un=`ou simplement limun=`.

Exemple 2.1.un=1n

2.vn=2n+22n+3.

4CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

De m^eme, on rappelle lalimite innied'une suite reelle : On dit queuntend vers +1quandntend vers l'inni et on note limn!+1un= +1 ou simplement limun= +1si tout intervalle ouvert de type ]A;+1[ contient tous lesuna partir d'un certain rang.

Ceci se traduit aussi en

8A >0;9N2N, tel que8nN;un> A:

On dit queuntend vers1quandntend vers l'inni et on note limn!+1un=1 si

8A <0;9N2N;tel que8nN;un< A:

Denition 2.2. (Convergence)On dit que (un) est une suite convergente si elle admet une limite nie quandntend vers l'inni. Dans le cas contraire (c.a.d si elle n'admet pas de limite ou elle admet une limite innie), on dit qu'elle est divergente.

2.2. Proprietes

Proposition 2.1.Si (un) admet une limite quandntend vers l'inni, alors cette limite est unique. Proposition 2.2.Toute suite convergente est bornee. Proposition 2.3.On a les proprietes suivantes (letl0etant des reels). (i) Si lim n!+1un=l, alors limn!+1junj=jlj. (ii) Si lim n!+1un=let limn!+1vn=l0, alors lim n!+1(un+vn) =l+l0et limn!+1unvn=ll0 (iii) Si lim n!+1un=letl6= 0, et limn!+1vn=l0, alors limn!+1v nu n=l0l (iv) Si lim n!+1un= +1, alors limn!+11u n= 0.

Formes indeterminees.+1 1; 0 1;11

;00 ; 11;10; 01.

Exemple 2.2.

(a) Calculer lim n!12n2+n13n22n+ 5. (b) Calculer lim n!1(pn 2+npn 2n).

2. SUITES NUM

ERIQUES | LIMITES DE SUITES5

Proposition 2.4.

(i) Soit (un) et (vn) deux suites telles queunvn,8nn0;(n0etant un entier).

Si ces deux suites sont convergentes, alors lim

n!+1unlimn!+1vn.

Si lim

n!+1un= +1, alors limn!+1vn= +1. (ii) (Principe d'encadrement) Soit (un), (vn) et (wn) des suites telles que u nvnwn,8nn1(n1etant un entier). Si les suites (un) et (wn) sont convergentes et limn!+1un= limn!+1wn=l, alors (vn) est convergente et limn!+1vn=l:

Exemple 2.3.

(a) Calculer lim n!1sinnn (b) Calculer lim n!1unouun=nX k=1nn 2+k.

2.3. Quelques exemples de suites

(1) Suite geometrique reelle.C'est une suite (un)n0denie parun=an, ou a2R. On a : { Sia= 1;un= 1 pour toutn0. { Sijaj<1, limn!1un= 0. { Sijaj>1 oua=1, (un) diverge. (2) Somme geometrique.C'est une suite (un)n0denie par u n= 1 +a+a2++an; (a2R). On a : { Sia= 1;un=n;donc (un) diverge. { Sia6= 1;un=1an+11adonc sijaj<1, limn!1un=11a; sijaj>1 oua=1, (un) diverge. Exemple 2.4.On considere la suite denie par :x0= 1 etxn+1=p2xn+ 1: (a) Montrer quexn1;pour toutn0: (b) Montrer que si (xn) converge, sa limitelverie :l=p2l+ 1: (c) Montrer qu'il existek2]0;1[ tel quejxnlj kjxn1lj?

En deduire quejxnlj knjx0ljet conclure.

(3) Suite comparable a une suite geometrique. Theoreme 2.1.Soit (un) une suite telle queun6= 0 a partir d'un certain rang.

On suppose que (jun+1u

nj) converge et on pose limn!1jun+1u nj=l(l2R+). { Sil <1, alors (un) converge et limn!1un= 0.

6CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

{ Sil >1, alors limn!1junj= +1, donc (un) diverge. { Sil= 1, on ne peut rien dire. On a les m^emes resultats si on remplace dans l'enonce la suite (jun+1u nj) par la suite ( npjunj).

Exemple 2.5.un=12n14(3n2).vn=ann

3: (4) Approximation d'un reel par des rationnels. Theoreme 2.2.Soitun reel et (un) la suite denie parun=E(10n)10 n, alors u n2Qet limn!1un=.

2. SUITES NUM

ERIQUES | LIMITES DE SUITES7

2.4. Exercices

On rappelle qu'en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellement donner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices. Exercice I.2.Calculer les limites des suites denies par :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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