[PDF] CONTRˆOLE CONTINU NUMÉRO 1 – CORRIGÉ

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Universite Claude Bernard Lyon 1 UE Analyse I

Licence STS Math-Info - 1ere annee Printemps 2012

CONTR ^OLE CONTINU NUMERO 1 { CORRIGE Exercice 1.[2 pts] { Demontrer (par l'absurde) quep2 n'est pas un nombre rationnel.

Rep. {Supposons par l'absurde quep2 =

nm

2Q, avecmetndeux entiers non nuls qui ne sont pas tous les

deux divisibles par 2 (sinon on pourrait simplier la fraction). Alors d'un cote on an2= 2m2, doncn2est un entier pair. Par consequentnest aussi pair, car sin= 2p+1 est impair (avecp2Z) on an2= 4p2+4p+1 = 2(2p2+2p)+1 aussi impair. Puisquenest pair,n2est divisible par 4, etm2=n22 est pair. De l'autre cote, puisquenest pair,mdoit ^etre impair (m= 2q+ 1 avecq2Z) etm2est aussi impair (m2= 2(2q2+ 2q) + 1). On obtient donc une contradiction.Exercice 2.[4 pt] a)Soitxun nombre reel quelconque. Donner la denition de la partie entiere dex, notee E(x), et de la partie fractionaire dex, notee [x]. Rep. {La partie entiere dex2Rest l'unique nombre entierE(x) tel queE(x)x < E(x) + 1.

La partie fractionaire dex2Rest le nombre reel [x] =xE(x)2[0;1[.b)Montrer qu'il existe unN >0 tel que

xN < E(x)xpour toutx2R. Rep. {PuisqueE(x)x < E(x) + 1, l'inegalite de gauche dit exactement queE(x)x, et l'inegalite

de droite dit quex1< E(x). DoncN= 1 est susant : pour toutx2Ron ax1< E(x)x.c)En utilisant b), montrer que pour toutx2R,x6= 0;1 on a

E(x)x 2 E(x)x etE(x)x1 2 >E(x)x1:

Rep. {Si on diviseE(x)xparxon obtientE(x)x

1, doncE(x)x

2E(x)x

Si on divisex1< E(x) parx1 on obtient 12.d)Soitx=nm un nombre rationnel, avecnentier quelconque etmentier positif non nul. Soientqetrrespectivement le quotient et le reste de la division euclidienne denparm, i.e.n=qm+ravec 0r < m.

Montrer alors queE(x) =qet [x] =rm

Rep. {Puisquen=qm+r, on ax=nm

=q+rm . D'un cote, commer0 etm >0, on arm

0, donc

q=xrm x.

De l'autre cote, on aq+ 1 =x+mrm

> x, carr < mimpliquemr >0. Au total,qest un entier tel queqx < q+ 1, doncq=E(x).

Le reste est evident : (x) =xE(x) =xq=rm

Exercice 3.[4 pts]

a)Donner la denition de sous-ensemble borne deR. Rep. {Un sous-ensembleARest borne s'il est majore et minore, c'est-a-dire s'ils existent deux

nombres reelsMetmtels quemxMpour toutx2A.b)SoitAun sous-ensemble non vide deR. Donner la denition de la borne superieur de

A, notee supA.

Rep. {Si l'ensembleAest majore, la borne superieure deAest le plus petit majorant deA, c'est-a-dire un nombre reel supAtel que (i) supAxpour toutx2A(i.e. supAest un majorant deA) (ii) supAMpour toutM2Rmajorant deA(i.e. supAest le plus petit majorant).

SiAn'est pas majore, la borne superieure deAest +1.c)SoitAun sous-ensemble non vide et borne deR. Montrer (par l'absurde) que pour tout

" >0 il existe una2Atel que supA < a+": Rep. {Supposons par l'absurde qu'il existe un" >0 tel que supAx+"pour toutx2A. Alors supA"xpour toutx2A, donc supA"est un majorant deA.

Mais supA" deR. Pour chaque ensemble, trouver la borne superieur, la borne inferieur et, s'ils existent, le maximum et le minimum. A=n1x jx2[1;1]; x6= 0o

B=n1jxjjx2[1;1]; x6= 0o

C=n1p1x2jx2]1;1[o

D=n1ln(1x2)jx2[1;1]; x6= 0o

E=n x2]0;+1[jex22o

Rep. {

A= 1;1[1;+1sup = +1;inf =1;max et min n'existent pas

B=1;+1sup = +1;inf = min = 1;max n'existe pas

C=1;+1sup = +1;inf = min = 1;max n'existe pas

D= 1;0sup = 0;inf =1;max et min n'existent pas

E=0;pln2

sup = max =pln2;inf = 0;min n'existe pas2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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