[PDF] Calcul de sommes et de produits

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Chapitre 5

Calcul de sommes et de produits

Table des matières

1 Sommes3

1.1 Définition et sommes de référence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Définition et premiers calculs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sommes de référence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2.1 Sommes constantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2.2 Sommes des entiers et somme des carrés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2.3 Sommes géométriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Propriétés du symbole?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.1 Linéarité et relation de Chasles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Changement d"indice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Sommes télescopiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Produits8

3 Formule du binôme de Newton

9

3.1 Intervalles d"entiers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Factorielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Coefficients binomiaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.2 Propriétés des coefficients binomiaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.2.1 Symétrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.2.2 Formule de Pascal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.2.3 Formule du comité-président

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Formule du binôme de Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Complément : Somme et produit d"inégalités

13

2Calcul de sommes et de produitsECS1 - Mathématiques

Calcul de sommes et de produits31 Sommes

1.1 Définition et sommes de référence

1.1.1 Définition et premiers calculsDéfinition 1. (Symbole "Sigma")

La sommeup+up+1+...+uns"écritn?

k=pu kExemple 1. La somme1 + 3 + 32+ 33+...+ 314peut s"écrire14?

k=03kRemarque.L"indicekest une variable muette, il n"a aucun sens en dehors de la somme! À la place dekon

peut très bien mettrej,?oubob: n k=pu k=n? j=pu j=n? ?=pu ?=n? bob=pu bobRemarque.Si p>n, la somme est vide et vaut alors0: 2 k=3u k= 0(car 3>2).ECS1 - Mathématiques

4Calcul de sommes et de produits1.1.2 Sommes de référence

1.1.2.1

Sommes constantes Proposition 1. (Sommes de uns, sommes constantes) n k=p1 =n-p+ 1etn? k=pa=a(n-p+ 1)Exemple 2. 10 k=11 = 9,2020? k=199512 = 12×26 = 312,n? k=23 = 3(n-2+1) = 3(n-1),n? k=0n=n(n+1) = 3(n-1)Attention !Dans la sommen? k=pu k, il y an-p+ 1termes et pasn-p!

1.1.2.2

Sommes des entiers et somme des ca rrésProposition 2. (Sommes des entiers et somme des carrés)

Pour toutn?N:n?

k=0k=n? k=1k=n(n+ 1)2

Pour toutn?N:n?

k=0k2=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 .Exemple 3.Calculons les sommes suivantes :

1.S=20?

k=1k

2.s=20?

k=0k23.A=20? k=5k

4.a=20?

k=5k25.B=n+1? k=1k

6.b=n+1?

k=1k2ECS1 - Mathématiques Calcul de sommes et de produits51.1.2.3Sommes géométriques

Proposition 3. (sommes géométriques)

Siqest un complexedifférent de1, on a, pourn≥0: n k=0qk=1-qn+11-q=qn+1-1q-1Remarque.Siq= 1, on est ramené à une somme de1.Attention ! n? k=1qk?=n? k=pqkcomme suit : n k=pqk=n? k=0qk-p-1? k=0qk=1-qn+1-(1-qp)1-q=qp-qn+11-qExemple 4.Calculons les sommes suivantes : 1. 20? k=02 k2.20? k=103 k3.n-1? k=04 k4.2n? k=05 k5.n? k=06 -k6.n? k=07

2k7.n?

k=018 kCorollaire 4. (Factorisation dexnetan-bn)

Soitn?N. Pour tout réelx?= 1:

x n-1 = (x-1)n-1?xk= (x-1)?

1 +x+x2+···+xn-1?

Pour tout réelsaetbtels quea?=b:

a n-bn= (a-b)? = (a-b)n-1?akbn-1-k= (a-b)n-1?an-1-kbkExemple 5. x

3-1 = (x-1)(1 +x+x2

x

4-1 = (x-1)(1 +x+x2+x3

x

5-1 = (x-1)(1 +x+x2+x3+x4a

3-b3= (a-b)(a2+ab+b2

a

5-b5= (a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4ECS1 - Mathématiques

6Calcul de sommes et de produits1.2 Propriétés du symbole

1.2.1 Linéarité et relation de Chasles

On retrouver ici des propriétés similaires à celles vues pour les intégrales.Proposition 5. (Linéarité)

Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites de complexes etλun complexe. On a : n k=pλu k=λn? k=pu ketn? k=pu k+vk=n? k=pu k+n? k=pv k.Exemple 6.Soitn?N. Calculons les sommes suivantes : S n=n? k=0(1 +k+k2+ 2k), Tn=n? k=0(4k+ 1), Un=n-1? k=1(4·3k+ 5k-2), Vn=2n? k=013 k+ 1Proposition 6. (Découpage d"une somme (relation de Chasles)) k=pu k=m? k=pu k+n? k=m+1u k.

1.2.2 Changement d"indiceExemple 7.

On poseS=a4+a5+a6+···+a20. Compléter les trous : A=? k=a k=? k=0a=? k=a k+2=? k=a k-2=? k=a

20-k.Exemple 8.

Réécrivons les sommes ci-dessous en effectuant les changements d"indice proposés. 1. n? k=2k+ 2k-1uk-2; poserj=k-2. 2. n-1? k=0(k+ 1)nuk; poseri=k+ 1. 3. n+2? k=3(-1)kuk-3; poser?=k-3.4. n? k=0(-1)kk+ 1; poser?=k+ 1. 5. n? k=1k·2k; poserj=k-1. 6. 3n? k=0k2; poserj=k+ 1.ECS1 - Mathématiques

Calcul de sommes et de produits7Exemple 9.

Réécrivons les sommes ci-dessous en effectuant les changements d"indice proposés. 1. n? k=0(n-k)uk; poserk?=n-k. 2. n? k=1k(k+ 1)un+1-k; poserk?=n+ 1-k. 3. n? k=0? n k? ; poser"k=n-k"(changementd"indice "direct"). 4. n? i=11i -1n+ 1-i; poserj=n+ 1-i. 5. 2n-1? k=n+1ln? sin?kπ2n?? ; poserk?= 2n-k.1.2.3 Sommes télescopiques

Proposition 7. (Sommes télescopiques)

On a les égalités suivantes :

n? k=pu k+1-uk=un+1-up n? k=pu k-uk+1=up-un+1 n? k=pu k-uk-1=un-up-1 n? k=pu k-1-uk=up-1-unRemarque.On peut retenir les deux principes suivants :

On a une somme télescopique quand on a une somme "d"une expression moins la même expression au rang

k+ 1ouk-1".

La valeur d"une somme télescopique se trouve en "remplaçantkpar la petite borne dans le petit indice par

la grande borne dans le grand indice".Exemple 10. 1. Déterminer (a,b)?Rtels que?x?R\ {0;-1},1k(k+ 1)=ak +bk+ 1. 2.

En déduire, p ourtout n?N?la sommeSn=n?

k=11k(k+ 1).ECS1 - Mathématiques

8Calcul de sommes et de produits2 Produits

On présente ici simplement le symbolePiqui est utilisé pour calculer des produits. Nous n"écrirons pas de pro-

position sur le sujet car dès qu"on doit le manipuler, le mieux est de le "développer".Définition 2. (Symbole "Pi")

Le produitupup+1...uns"écritn?

k=pu kRemarque.Si p>n, le produit est vide et vaut alors1: 2 k=3u k= 1(car 3>2).Exemple 11.Développons et simplifions si possible les produits suivants 1. n? k=03 2. n? k=1(2k)3. n? k=0(2k+ 1) 4. n? k=0qk5. n? k=0q2k 6. n? k=2? 1 +1k ?7. n? k=13k+ 23k+ 5 8. p-1? k=0? 1-1k

2?ECS1 - Mathématiques

Calcul de sommes et de produits93 Formule du binôme de Newton

3.1 Intervalles d"entiersDéfinition 3. (Intervalle d"entiers)

J1,4K= (1,2,3,4).

J0,7K= (0,1,2,3,4,5,6,7).Attention !Ne pas confondre!!!Jp,nK?= [p,n].

3.2 FactorielleDéfinition 4. (Factorielle d"un entier)

Soitn?N?on appellefactorielle denl"entier :

n! = 1×2×3× ··· ×n=n? k=1k n!se lit " factorielle den» ou " factoriellen» ou "nfactorielle ». NB : On définit de plus0! = 1.Proposition 8. (Relation de récurrence de(n!))

Pour tout entier natureln, on a :(n+ 1)! = (n+ 1)n!.Exemple 13. Produit des entiers pairs et impairs.

Écrivonsn?

k=1(2k)etn? k=1(2k+ 1)à l"aide de factorielles.ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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