[PDF] GeoGebra Manuel de formation Jan 6 2009 sant GeoGebra.

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GeoGebra

Manuel de formation

Jean-Pierre Franc

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Avant-propos

i

Tous droits réservés©JP Franc - 2008ii

Remerciements

iii

Tous droits réservés©JP Franc - 2008iv

Première partie

GeoGebra Quickstart

Un guide de référence rapide

pour GeoGebra 1 Géométrie dynamique, algèbre et calculs s"associent comme des parte- naires d"égale importance pour former GeoGebra. De la manière la plus simple, vous pouvez faire des constructions contenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, et des coniques aussi bien que des fonctions, qui peuvent être modifiées ensuite dynamiquement à la souris. D"une autre manière, la saisie telle que :g: 3x+ 4y= 7ou : c: (x-2)2+(y-3)2= 25est possible, et une gamme de commandes contenant différentiation et intégration est à votre disposition. La caractéristique la plus remarquable de GeoGebra est la double perception des objets : chaque expression de la Fenêtre Algèbre correspond à un objet dans la Feuille de

Travail et vice versa.

Dans ce qui suit, vous allez vous familiariser avec GeoGebra en examinant trois exemples. Vous devriez les travailler l"un après l"autre et ne pas oublier d"essayer, en plus, les astuces données.

Exe mple1 : Cer clecirconscrit à un triangle

Exe mple2 : T angentesà un cercle

Exe mple3 : Dériv éeet tangen teà une co urbereprésen tativede fonction

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Après démarrage de GeoGebra, la fenêtre représentée ci-après apparaît. Au moyen des outils de construction (modes) dans la barre d"outils vous pou- vez faire des constructions sur lafeuille de travailà la souris. Simultanément, les coordonnées ou équations associées sont affichées dans lafenêtre algèbre. Lechamp de saisieest utilisé pour entrer les coordonnées, les équations, les commandes et les fonctions directement; elles sont affichées immédiatement dans la feuille de travail dès que la touche " entrée »est pressée. Géométrie et algèbre côte à côte :Figure1 - Les fenêtres de GeoGebra

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Chapitre 1

Cercle circonscrit à un triangle

Objectif: Construire un triangle ABC et son cercle circonscrit en utili- sant GeoGebra.Figure1.1 - cercle circonscrit à un triangle 5

Construction en utilisant la souris.

Choisissez le mode " Polygone » dans la barre d"outils (clic sur la petite flèche de la troisième icône à partir de la gauche). Main- tenant cliquez dans la feuille de travail trois fois pour créer les sommets A, B, et C. Fermez le triangle en cliquant de nouveau sur A .Ensuite, choisissez le mode "Médiatrice» (clic sur la petite flèche sur la quatrième icône à partir de la gauche) et construisez deux

médiatrices en cliquant sur deux côtés du triangle.Dans le mode "Intersection entre deux objets» (clic sur la petite

flèche sur la deuxième icône à partir de la gauche) vous pouvez cliquer sur les deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit à votre triangle. Pour le nommer "M», cliquez dessus avec le bouton droit de la souris et choisissez " Renommer » dans le menu qui apparaît.Pour finir la construction, vous devez choisir le " Cercle (centre- point) » (clic sur la cinquième icône à partir de la gauche) et cliquez d"abord sur le centre, puis sur un sommet quelconque du triangle.Maintenant choisissez le mode " Déplacer » (clic sur la première icône à partir de la gauche) et utilisez la souris pour changer la position d"un sommet quelconque. Vous expérimentez de cette manière la " géométrie dynamique ».Quelques astuces. L"ite m" Annuler»dumen u" Editer»estun outil très utile p ourre culer d"une étape. V ousp ouvezrendre des ob jetsin visiblespuis de nouv eauvisibles en cliquant dessus avec le bouton droit de la souris et en cochant ou non " Afficher l"objet ». L"objet disparaît ou réapparaît dans la feuille de travail. L"asp ectdes ob jets(couleur, st yledu trait, etc. ..)p eutêtre facilemen t modifié : utilisez à nouveau le clic droit de la souris sur l"objet désiré et choisissez " Propriétés » dans le menu contextuel. Dans le men u" Affic hage» la fenêtre algèbre, les axes et la grille peuvent être cachés ou affichés.

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-P ourmo difierla p ositionde la feuille de tra vail,c hoisissezle mo de " Déplacer la feuille de travail » et déplacer la souris en appuyant sur le bouton gauche. Le men u" Affic hage- Proto colede construction » dresse la liste de toutes les étapes de votre construction. Il vous permet de reconstituer votre construction étape par étape en utilisant les flèches haut et bas du clavier, et aussi de modifier l"ordre de certaines étapes (voir le menu " Aide » du Protocole de construction). De plus, le menu " Affichage » permet de ne pas afficher certaines colonnes. Des informations complémen tairessur la réalisation de constructions à la souris peuvent être obtenues dans le menu " Aide », section " Saisie géométrique ».

Construction en utilisant le champ de saisie.

Nous allons réaliser la même construction que ci-dessus en utilisant le champ de saisie. Commencez par ouvrir une nouvelle feuille de travail (menu " Fichier - Nouveau »). Saisissez les commandes suivantes dans le champ de saisie située au bas de l"écran en prenant soin de taper " Entrée » à la fin de chaque ligne.

A= (2,1)

B= (12,5)

C= (8,11)

Polygone[A,B,C]

l a=Médiatrice[a] l b=Médiatrice[b]

M=Intersection[la,lb]

Cercle[M,A]

Quelques astuces.

A utocomplétion de commandes : après a voirsaisi les deux premières lettres d"une commande, une suggestion apparaît. Si cela correspond, tapez sur " Entrée », sinon continuez à saisir le nom de la commande.

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-Il n"est pas nécessaire de saisir c haquecommande : il est p ossiblede les sélectionner dans la liste Commandes située à droite du champ de saisie. En cliquan tsur le b outon" Saisie » (à gauc he),on activ ele mo de " Champ de saisie ». Dans ce mode, il est possible de faire directement appel à un objet en cliquant simplement dessus dans la fenêtre Algèbre ou dans la feuille de travail. P ourune aide complémen taire,cliquer sur le p ointd"in terrogationsitué tout à gauche du champ de saisie. Vous obtiendrez de bons résultats avec GeoGebra en combinant les avan- tages des deux formes de saisie : avec la souris et avec la saisie des com- mandes.

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Chapitre 2

Tangentes à un cercle

Objectif: Construire le cercle c d"équation(x-3)2+ (y-2)2= 25et ses tangentes passant par le point A de coordonnées(11,4).Figure2.1 - Tangentes à un cercle 9 Construction en utilisant le champ de saisie et la souris. Insérez l"équation du cercle c :(x-3)2+ (y-2)2= 25dans le champ de saisie et appuyez sur " entrée » (astuce : le signe 2est accessible dans la liste déroulante située à droite du champ de

saisie)Entrez la commandeC=Centre[c]dans le champ de saisie.Construisez le point A en tapantA= (11,4).Maintenant, choisissez le mode " Tangentes » et cliquez sur le

point A puis sur le cercle c.Après avoir choisi le mode " Déplacer », déplacez le point A avec

la souris et observez le mouvement des tangentes. Vous devriez aussi essayer de déplacer le cercle c et observer son équation dans la fenêtre Algèbre.Quelques astuces. Zo omezen plus ou moins : cliquez sur un emplacemen tv iergede la feuille de travail avec le bouton droit et choisissez le facteur de zoom désiré, ou maintenez pressé le bouton droit en déplaçant la souris pour obtenir une fenêtre de zoom. Il est p ossiblede c hangerl"équation du cercle directemen tdans la fe- nêtre Algèbre en double-cliquant dessus. Plus d"informations sur les p ossibilitésdu c hampde saisie se trouv ent dans le menu " Aide », section " Saisie numérique ».

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Chapitre 3

Dérivée et tangente d"une

fonction Objectif: Construire la courbe représentative de la fonction sinus, sa

dérivée et sa tangente en un point ainsi que le triangle illustrant la pente.Figure3.1 - Dérivée et tangente d"une fonction

11 Version 1 : Le point est sur la courbe représentative de la fonc- tion.Tapez la fonctionf(x) =sin(x)dans le champ de saisie et ap- puyez sur Entrée.Choisissez le mode " Nouveau point » et cliquez sur la courbe représentative de la fonctionf. Cela crée un pointAsur la courbe représentative de f.Ensuite choisissez le mode " Tangentes » et cliquez sur le point Aet sur la courbe représentative de la fonctionf. Renommez la

tangentet(clic droit de la souris, " Renommer »).Tapez la commandes=Pente[t].Choisissez le mode " Déplacer » et déplacezAavec la souris et

observez le mouvement de la tangente.TapezB= (x(A),s)et activez la trace de ce point (cliquez sur

Bavec le bouton droit et choisissez " Trace activée »).Choisissez le mode " Déplacer » et déplacezAavec la souris. Le

pointBlaissera une trace.Tapez la commandeDérivée[f].Quelques astuces. Insérez une fonction différen te,par exemple f(x) =x3-2x2dans le champ de saisie; immédiatement, sa dérivée et sa tangente vont apparaître. C hoisissezle mo de" Déplacer » et déplacez la courb eà l"aide de la souris. Observez la modification des équations de la fonction et de sa dérivée.

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Version 2 : Point enx=a

Nous allons faire une autre version de la dernière construction. Donc, choi- sissez d"abord " Fichier - Nouveau » pour ouvrir une nouvelle feuille de tra- vail. Ensuite, saisissez les commandes suivantes dans le champ de saisie en validant chaque ligne par Entrée. f(x) =sin(x) a= 2

T= (a,f(a))

t=Tangente[a,f] s=Pente[t]

B= (x(T),s)

Dérivée[f]

Quelques astuces.

Choisissez le mode " Déplacer »et cliquez sur le nombrea. Vous pouvez le modifier en pressant les touches flèches. En même temps, le point T et la tangente vont se déplacer le long de la courbe représentative de la fonction f. Curseurs :Vous pouvez aussi modifier le nombreaen utilisant un cur- seur : clic droit sur a dans la fenêtre algèbre et choisissez " Afficher l"objet ». Astuce :les curseurs et les touches flèches sont très utiles pour examiner des paramètres, par exemplepetqdans l"équation du second degréy= x

2+px+q.

Tangente sans la commande fournie.

GeoGebra est capable de travailler avec des vecteurs et aussi des représen- tations paramétriques de droites. Donc il est possible de construire une tan- gentetsans la commandeTangente[]. Pour essayer cela, supprimez d"abord la tangente de votre construction en cliquant dessus avec le bouton droit de la souris et en choisissant " Effacer ». Saisissez ensuite les commandes suivantes : v= (1,f?(a)) t:X=T+rv

13Tous droits réservés©JP Franc - 2008

v est un vecteur directeur de la tangentet. A la place der, vous pouvez aussi utiliser n"importe quelle autre lettre comme paramètre.

Quelques astuces.

Il y a une p ossibilitésupplémen tairep ourconstruire la tangen teà l"aide du vecteur directeur :t=Droite[T,v].

Essa yezaussi la commande Intégrale[f].

Da vantaged"astuces concernan tles commandes de GeoGebra p euvent être trouvées dans " Aide », section " Saisie numérique - commandes ». Le fichier, au format pdf, d"aide GeoGebra peut aussi être téléchargé depuiswww.geogebra.at.

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Deuxième partie

Trigonométrie

15

Chapitre 4

Les fonctions sinus et cosinus

4.1 La fonction sinusFigure4.1 - Construction point par point de la fonction sinus

Sur un cercle de rayon unité, l"abscisse curvilignet- en rouge dans la figure4.1- a exactement la même valeur que l"angle au centre, exprimé en radians, qui l"intercepte. Le sinus du nombretest alors, tout simplement, l"ordonnée du point du cercle - en vert dans la figure4.1- qui a pour abscisse 17 curviligne ce nombret. Etant entendu que l"abscisse curviligne0correspond à l"intersection du cercle avec la partie positive de l"axex. Nous cherchons à construire une courte animation visant à montrer de quelle façon le graphe de la fonction sinus se construit, point par point, sur une période allant de 0 à2π.

Les différentes étapes de la construction.Dès l"ouverture de GeoGebra, veillez à activer la grille et les axes.

Pour ces derniers, on prendra une échelle 1 : 1 et on représentera l"axe x sur l"intervalle[-3.5,7].A l"aide de l"outil ci-contre, créez deux nouveaux points en

(-2,0)et(-1,0). Nommez les respectivementOetI.Tracez le cerclecde centreOet passant parI. Enlevez l"étiquette

du cercle.Placez un point sur le cercle. Désignez le par la lettreP.Représentez le segmentOPen prenant soin d"enlever son éti-

quette.Représentez l"arc de cercleIP. Donnez lui une belle couleur

rouge et une épaisseur du trait égale à 4. Nommez let.Représentez la droite perpendiculaire à l"axe desxet passant

par le pointP.Représentez le pointA, intersection de la droite précédente avec l"axe desx.Désactivez ensuite l"affichage de l"objet pour la droite évoquée ci-dessus.Tous droits réservés©JP Franc - 200818 Représentez le segmentAPen prenant soin d"enlever son éti- quette. Donnez lui une couleur verte bien visible et une épaisseur du trait égale à 4.Construisez le pointMde coordonnée(t,O). Pour cela, dans la ligne de saisie, tapez :M= (t,0). Construisez ensuite le point Nd"abscissetet dont l"ordonnée est celle du pointP, à savoir sin(t). Pour cela, dans la ligne de saisie, tapez :N=M+ (0,sin(t)).Représentez le segmentMNen prenant soin d"enlever son éti- quette. Donnez lui la même couleur verte que celle du segment

APet une épaisseur du trait égale à 4.Représentez le pointB, intersection des axesxety.Représentez le segmentBMen prenant soin d"enlever son éti-

quette. Donnez lui la même couleur rouge que celle de l"arc de

cercleIPet une épaisseur du trait égale à 4.Activez la trace pour le pointN. Pour cela, faites un clic droit

sur le point N et cliquez sur " Trace activée ».Enlevez les étiquettes des pointsA,B,MetN.Graduez l"axe desxde-πàπpar pas deπ/2.Placez les points(0,-1)et(0,1). Enlevez les étiquettes.Tracez les droites parallèles à l"axe dexxet passant par ces deux

points. Mettez les en pointillés et enlevez les étiquettes.Avec l"outil " Déplacer », faite tourner le pointPle long du

cercle. Le graphe de la fonction sinus se construit alors point par point sur[0,2π].Nous nous contenterons ici de présenter le protocole de construction - figure4.2- correspondant au travail que nous venons de réaliser. Celui-ci est disponible dans le menu " Affichage - Protocole de construction ». Il n"est pas bien difficile de voir les liens étroits existants entre la construc- tion que nous venons de terminer et les instructions qui apparaissent dans le protocole de construction. Ce dernier est utile lorsque vous allez chercher, sur internet, un fichier GeoGebra directement exploitable. Si vous voulez reconstruire le même fichier en introduisant l"une ou l"autre modification, le protocole de construction vous permet, souvent, de retrouver la méthode utilisée pour créer le fichier initial.

19Tous droits réservés©JP Franc - 2008

Figure4.2 - La fonction sinus, le protocole de construction

4.2 La fonction cosinus

Exercice :construire une animation similaire visant à montrer de quelle façon le graphe de la fonction cosinus se construit, point par point, sur une période allant de 0 à2π. Vous devez obtenir une construction semblable à celle de la figure4.3.Figure4.3 - Construction point par point de la fonction cosinus

4.3 Transformations de la fonction cosinus

Partant de la connaissance de la fonctionf(t) =cos(t), on applique diverses transformations qui doivent être, en principe, maîtrisées par les ap-

Tous droits réservés©JP Franc - 200820

prenants. Nous voulons construire la fonctiong(t) =acos[k(x-b)]+c, dans laquelle les nombresa,b,cetkpeuvent prendre différentes valeurs. Ce sera, pour nous, l"occasion d"introduire l"outil " curseur » qui permet, aisément,

de modifier la valeur d"un paramètre?Figure4.4 - Les transformations de la fonction cosinusCommençons par construire un curseur pour les valeurs dea.

Pour cela, cliquez sur l"outil " Curseur » puis, à un endroit quel- conque sur la feuille de travail. La boîte de dialogue " Curseur » s"ouvre. Cochez " Nombre ». Dans " Intervalle », mettez le mini- mum à-7, le maximum à7. Choisissez0.5pour " Incrément ». Ne cochez pas la case " fixé », laissez le curseur en position ho- rizontale et choisissez100pour " Largeur ». Cliquez sur " Ap- pliquer ». La boîte de dialogue se ferme et le curseur apparaît sur la feuille de travail. Avec l"outil " Déplacer », faites un clic gauche sur le curseur en gardant le bouton de la souris enfoncé.

Placez le curseur à l"endroit qui vous convient.Procédez de la même façon pour construire les curseursb,cetk. Pour

ma part, j"ai choisi pourbl"intervalle[-6.5,6.5], pourcl"intervalle[-8,8]et pourkl"intervalle[0,2π].

21Tous droits réservés©JP Franc - 2008

Dans la ligne de commande, tapezf(x) =cos(x). Faites " Enter », la fonction cosinus apparaît à l"écran. Introduisez maintenant la fonctiong(x) = acos(k(x-b)) +cet faites " Enter ». Construisez ensuite deux droitesdeteen introduisant dans la ligne de commande respectivementy=c+aety=c-a. Mettez ces deux droites en pointillé par un clic droit puis en utilisant " Propriétés - Style - Style du trait. Avec l"outil " Insérer un texte », introduisez la formule mathématique pourf(x)et pourg(x). Avec l"outil " Déplacer », donnez différentes valeurs à vos curseurs et observez ce qui se passe.

4.4 Les angles associés

Exercice :Avec les outils qui sont maintenant en votre possesion et après avoir observé à l"écran l"animation proposée, reconstruisez celle-ci telle qu"elle est présentée sur la figure4.5.Figure4.5 - Les angles associés Si nécessaire, le protocole de construction est fourni à la figure4.6.

Tous droits réservés©JP Franc - 200822

Figure4.6 - Les angles associés, le protocole de construction

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4.5 Le phénomène de battements

Lorsque deux notes pures, de fréquences voisines sont jouées simultané- ment, les deux ondes sonores interfèrent pour produire des battements. L"onde sonore résultante présente, physiologiquement, une alternance de l"augmentation et de la diminution de l"intensité sonore, ce qui, physique- ment, se traduit par une variation périodique de l"amplitude de l"onde. Si les deux notes sont données parf1(t) =cos(11t)etf2(t) =cos(13t)l"onde résultante a pour équationf(t) =f1(t) +f2(t). 1.

Re présentezg raphiquementla fonction f(t).

2.

V érifiezque f(t) = 2cos(t)cos(12t).

3. Sur le mê megraphique, représen tezles fonctions h1(t) = 2cos(t)et h

2(t) =-2cos(t). Comment ces deux derniers graphes permettent-ils

de décrire les variations de l"intensité sonore? De tels problèmes graphiques sont faciles à traiter avec GeoGebra comme on peut le voir à la figure4.7.Figure4.7 - Le phénomène de battements Les fonctionsf1(t),f2(t),f(t),h1(t)eth2(t)sont représentées à la figure 4.7.

Tous droits réservés©JP Franc - 200824

Chapitre 5

Les fonctions trigonométriques

inverses

5.1 La fonction arcsinus

La fonction arcsinus est la fonction réciproque de la restriction de la fonction sinus à l"intervalle[-π/2,π/2]. C"est-à-dire, six?[-π/2,π/2]et y?[-1,1]alors :y=sin(x)??x=arcsin(y). Une copie d"écran du

fichier permettant de construire cette fonction est présenté à la figure5.1.Figure5.1 - La fonction arcsinus

25

Construction de l"animation

Nous donnons, à la figure5.2, en tant qu"aide à la réalisation, le protocole de construction de l"animation.Figure5.2 - La fonction arcsinus, le protocole de construction Nous donnons, également, la suite détaillée des instructions nécessaire à cette construction. Avant toute chose, mettez le logiciel en mode radians (Options - Unité d"angles - Radians).En prenant soin de les renommer, placez un pointOen(-3,0) et un pointIen(-2,0).Dans la ligne de commande, tapezC=rotation[I,π/2,O]ce qui a pour effet de placer le pointCen(-3,1). Tapez ensuite, toujours dans la ligne de commande,D=rotation[I,-π/2,O].

On obtient un pointDen(-3,-1).Avec l"outil - Arc de cercle créé par 3 points - cliquez dans l"ordre

sur les pointsD,IetC. Nommez-led.Cliquez sur l"outil - Curseur - puis dans la feuille de travail. Dans - Nom - introduiret. Dans - Intervalle - mettez-π/2 dans Min,π/2dans Max et0.01dans Incrément. Donnez une

valeur de 350 à - Largeur - puis, cliquez sur - Appliquer.Tous droits réservés©JP Franc - 200826

Dans la ligne de commande, tapezP=rotation[I,t,O]ce qui a pour effet de placer le pointPsur le cercle avectpour abscisse

curviligne.Avec l"outil - Segment - tracez le segmentOP.Avec l"outil - Droite perpendiculaire - tracez la droiteb(renom-

mez si nécessaire) passant parPet perpendiculaire à l"axex.Avec l"outil - Intersection entre deux objets - placez un point

Aà l"intersection de la droitedet de l"axex. N"affichez plus la droiteden veillant à ne pas l"effacer (ce sont deux instructions

différentes).Avec l"outil - Segment - tracez le segmentAP.Dans la ligne de commande, tapezM= (sin(t),0)ce qui a pour

effet de placer le pointMsur l"axexavecsin(t)pour abscisse. Tapez maintenantN=M+ (0,t)dans la ligne de commande, on obtient ainsi le pointNde coordonnées(sin(t),t). Faites un

clic droit sur ce dernier point et activez sa trace.Avec l"outil - Nouveau point - placez un pointBà l"origine des

axes.Avec l"outil - Segment - tracez le segmentBM, puis le segment MN.Représentez, en pointillé les droitesx=-1etx= 1en in- troduisant, respectivement les deux équations dans la ligne de commande.Dans le champ de saisie, tapezi:Bissectrice[I,O,P]. Avec l"outil - Intersection entre deux objets - placez, ensuite, un point Eà l"intersection de la droiteiet de l"arcd. N"affichez plus la droitei.Avec l"outil - Arc de cercle créé par trois points - cliquez dans l"ordre sur les pointsI,EetP. Donnez à cet arc la même couleur que celle du segmentMNet augmentez l"épaisseur de ces deux traits.Donnez la même couleur aux segmentsBMetAPet augmentez

l"épaisseur de ces deux traits. Utilisez maintenant le curseurt.27Tous droits réservés©JP Franc - 2008

5.2 La fonction arctangente

Exercice :Avec les outils qui sont maintenant en votre possesion et après avoir observé à l"écran l"animation proposée, reconstruisez celle-ci telle qu"elle est présentée sur la figure5.3.Figure5.3 - La fonction arctangentequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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