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Marche aléatoire surZ

RiffautAntonin

2013-2014

Soit(Xn)n1une suite de variables aléatoires i.i.d. de loiBf1g;12 . Pourn1, on pose S n=Pn

k=1Xk. La suite(Sn)modélise une marche aléatoire centrée surZ.Figure1 - Marche aléatoire surZ

On s"intéresse à la probabilité que la marche aléatoire revienne en0, c"est-à-dire, en notantT=

inffn1;Sn= 0g, à la probabilitéP(T <1). L"objectif de ce développement est de montrer que

P(T <1) = 1.

Pourn0, on posepn=P(Sn= 0)etqn=P(T=n). On ap0= 1etq0= 0. Introduisons égale- ment les séries génératricesP=P+1 n=0pnxnetQ=P+1 n=0qnxndes suites(pn)et(qn)respectivement.

En remarquant queP(T <1) =P+1

n=0qn=Q(1), il s"agit donc de déterminerQ(1). Calculons explicitementpn: pour toutn0,S2n+11 mod 2, doncp2n+1= 0; d"autre part, pour que la marche aléatoire revienne en0après2nmouvements, elle doit "monter» exactementnfois et "descendre» exactementnfois (cf. figure 1), d"où l"on déduit que p 2n=2n n 12 n12 n =2n n 14 n: La série entièrePest de rayon de convergence au moins égal à1, puisque pour toutjxj<

1, la suite(pnxn)est bornée par1. Par ailleurs, le calcul despnpermet de reconnaître le

développement en série entière de la fonctionx2]1;1[7!1p1x2, de sorte que

P(x) =1p1x2;8x2]1;1[:

Nous allons à présent rechercher une relation de récurrence entre les suites(pn)et(qn), d"où

1 l"on déduira une relation entrePetQ, puis l"expression deQ. Pour toutn1, on a p n=P(Sn= 0) nX k=1P(T=k; Sn= 0) nX k=1P(T=k; Xk+1++Xn= 0) nX k=1P(T=k)P(Xk+1++Xn= 0);

la dernière égalité étant due à l"indépendance des événementsfT=kgetfXk+1++Xn= 0g.

En outre,Xk+1++Xnest de même loi queSnk, d"où p n=nX k=1q kpnk:(1)

Le même argument que précédemment garantit que la série entièreQest de rayon de conver-

gence au moins égal à1. La relation (1) nous invite à effectuer le produit de Cauchy dePpar

Q: pour toutx2]1;1[,

P(x)Q(x) =+1X

n=1 nX k=1q kpnk! x n +1X n=1p nxn =P(x)1: On en déduit finalement l"expression deQ: pour toutx2]1;1[,

Q(x) = 11P(x)= 1p1x2:

On s"aperçoit donc que

limx!1Q(x) = 1:(2) D"autre part, pour toutn0, pour toutjxj<1,jqnxnj qn, et la série de terme général (qn)converge versP(T <1)1d"après le propos initial. Il s"ensuit que la série entièreQ converge normalement sur]1;1[, ce qui permet d"échanger limite et sommation : lim x!1+1X n=0q nxn=+1X n=0q n=P(T <1):(3) Les équations (2) et (3) établissent en conséquence queP(T <1) = 1. Complément : en développant la fonctionx2]1;1[7!1p1x2en série entière, on peut obtenir l"expression explicite desqn: q 2n=2n n 14 n(2n1);8n1: 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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