[PDF] Lineare Algebra II Blatt 9 Lineare Algebra II Blatt 9. (

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Prof. Dr. Katrin Wendland

Priv. Doz. Dr. Katrin Leschke

Christoph Tinkl

SS 2007

Lineare Algebra II, Blatt 9

(Satz von Cayley-Hamilton, Jordan-Normalform)

Abgabe: bis Montag, den 2.7., 10:00 Uhr.

Aufgabe 1(4 Punkte).1. Sei

A=((((((0 1 0 1 20 0 1 3 40 0 0 5 60 0 0 0 10 0 0 0 0)))))) Berechnen SieAkf¨ur allek?Nund verifizieren Sie, dassAnilpotent ist, d.h., es gibt ein k?NmitAk= 0.

2. SeiA?MatC(n×n). Zeigen Sie, dassAgenau dann nilpotent ist, wenn 0 der einzige

Eigenwert vonAist.

Aufgabe 2(4 Punkte).Sei

A=((((((3 1 0-1-1

0 2 0 0 0

1 0 2 0-1

0 0 0 2 0

1 0 0-1 1))))))

1. Bestimmen Sie die Eigenwerte vonA.

2. Sei

W i= ker(A-λI5)iundUi=W1∩im(A-λI5)i f ¨uri= 1,...,m,m= max{i|0?= (A-λI5)i}undλEigenwert vonA. Finden Sie Basen B i={w1,...,wli}vonUi, so dassBi? Bi-1f¨ur allei= 1,...,m.

3. Finden Sie eine BasisBvonR5, so dassBi? Bund

M

BB(A) =((((((λ

11 0 0 0

0λ11 0 0

0 0λ10 0

0 0 0λ21

0 0 0 0λ2))))))

wobeiλiEigenwerte vonAsind. bitte wenden! Aufgabe 3(4 Punkte).IstVein endlichdimensionaler Vektorraum¨uber einem K¨orperKund f?EndK(V), so heißt das normierte Polynom kleinsten Gradesmf?K[x]\{0}mitmf(f) = 0 (Nullabbildung)Minimalpolynomvonf.

Anmerkung: Ein Polynomp(x) =m?

k=0p ixi?K[x] vom Gradmheißt normiert, fallspm= 1 gilt. Es seiVein endlichdimensionaler Vektorraum (n= dim(V))¨uber einem K¨orperKund f?EndK(V). Best¨atigen Sie folgendes Verfahren zur Bestimmung des Minimalpolynoms vonf:

1. Gegeben seiv1?V\{0}. Es seir1die kleinste Zahl, so dass die Vektoren

{v1,f(v1),...,fr1(v1)}linear abh¨angig sind. Zeigen Sie: U

1:= Span{v1,f(v1),...,fr1-1(v1)}

ist invariant bez

¨uglichf.

2. Nach Wahl vonr1existieren Zahlenα0,...,αr1?K, die nicht alle gleich 0 sind, f¨ur die

r

1?k=0α

kfk(v1) = 0 ist. Sei dannp1(x) =r 1? k=0α kxk?K[x]\{0}. Zeigen Sie:p1(x) ist ein Polynom vom Gradr1 und nach Normierung (Multiplikation mit 1

αr1) erh¨alt man das Minimalpolynommf1von

f

1=f|U1.

3. IstU1=V, so ist man fertig. Sonst existiert ein Vektorv2?V\U1, f¨ur den das gleiche Ver-

fahren angewandt wird:U2:= Span{v2,f(v2),...,fr2-1(v2)}ist ein bez¨uglichfinvarianter Unterraum vonV. Das Minimalpolynommf2wird entsprechend definiert.

Zeigen Sie: Setzt man das Verfahren fort, bis

V=U1+···+Ur

f ¨ur einr?N, so ist das normierte kleinste gemeinsame Vielfache vonmf1,...,mfrdas

Minimalpolynommfvonf.

Aufgabe 4(4 Punkte).SeiVein endlichdimensionaler Vektorraum¨uberRund??EndR(V) mit

7?2-?6=?+ 6?2-?3= 6IdV.

Zeigen Sie: Es gibt Untervektorr

¨aumeX,YvonVmit:

V=X?Y, ?(x) =xf¨ur allex?X, ?(y) =-yf¨ur alley?Y. Schreiben Sie die ProjektionP:X?Y→V, x+y?→x(x?X,y?Y) als Polynom in?. Hinweis: Seip1(x) =-x6+7x2-6 undp2(x) =-x3+6x2+x-6. Finden Sie Polynomeq,rmit p

1=p2q+r.

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