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ENS - Cachan

Physique des solides

Mars 2009

1.De Drude `a Bloch

1.1. Mod`ele de Drude

1.2. Mod`ele de Sommerfeld

1.3. Fonctions de Bloch

1.4. Mod`ele des ´electrons presque libres

1.5. Approximation des liaisons fortes

2.M´etaux, isolants, semiconducteurs

2.1. Occupation des ´etats

2.2. Structure de bandes des m´etaux : exemples

2.3. Cristaux form´es d"´el´ements de la colonne IV

3.Masse effective, ´electrons, trous

3.1. Masse effective

3.2. Electrons et trous

3.3. Masse effective et densit´e d"´etats

4.Semiconducteurs intrins`eques et extrins`eques

4.1. Semiconducteurs dop´es

4.2. Concentration des porteurs `a l"´equilibre

5.Conductivit´e ´electrique, mobilit´e des porteurs

6.Jonction p-n

6.1. Jonction pn `a l"´equilibre thermodynamique

6.2. Jonction polaris´ee

7.Nanostructures `a base de semiconducteurs

7.1. H´et´erostructures

7.2. Puits quantique isol´e

7.3. Densit´e d"´etats d"un syst`eme 2D

7.4. H´et´erostructures `a dopage s´electif

7.5. Effet Hall quantique

8.Laser `a semiconducteurs

8.1. Densit´e d"´etats joints

8.2. Taux d"absorption et d"´emission

8.3. El´ements de base d"une structure laser8.4. Exemples de structures lasers `a base de semiconducteursFaouzia Farida CHARFI1

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFI1.De Drude`a Bloch1.1.Mod`ele de Drude(1900)Le mod`ele de Drude est bas´e sur les hypoth`eses suivantes :

- Les ´electrons de conduction sont trait´es comme un gaz de particules classiques (Maxwell-Boltzmann). - Entre deux collisions : - il n"y a pas d"interactions ´electron-´electron : c"est l"approximation des

´electrons ind´ependants.

- il n"y a pas d"interactions ´electron-ion : c"est l"approximation des ´electrons libres. - La probabilit´e pour qu"un ´electron subisse une collision entre l"instanttet t+dtest donn´ee pardt/τ(approximation du temps de relaxationτ). Compte tenu de ces hypoth`eses, la conductivit´e est donn´ee par :

σ=ne2τ

meo`unest la densit´e ´electronique.

Ordres de grandeur `aT=300 K:

-σ= 5×107S/m -τ= 10-14s -vth=? 3kBT me= 1,2×105m/s -l=vthτ= 10-9m

Loi de Wiedemann-Franz:

σT=3

2k2Be2= 1,2×10-8WΩK-2-κ=1

3v2τClest la conductivit´e thermique,

-→jq=-κ--→gradT. Succ`es apparent du mod`ele de Drude.1.2.Mod`ele de Sommerfeld(1928)1.2.1.Mod`ele quantique. - Dans le mod`ele de Sommerfeld, les ´electrons de conduction sont trait´es dans le cadre de la th´eorie quantique mais consid´er´es comme des ´electrons libres :

Hψ=-?2?22meψ=Eψ

- Distribution de Fermi-Dirac (fig.1) : f(E) =1

1 + exp?E-μ

kBT avecμ: potentiel chimique 2

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFIFigure 1.Gaz d"´electrons libres `a T=0K et `a temp´erature finie.1.2.2.Conditions aux limites.

Conditions aux limites p´eriodiques :

ψ(-→r) =ψ(-→r+Nj-→

aj) avecj=1,2,3 etNj=nombre de cellules ´el´ementaires dans la directionj,

N=N1N2N3.

1.2.3.Fonctions d"onde et ´energies.

Solutions de l"´equation de Schr¨odinger :

-ψ=1⎷ Vei -→k .-→ro`uV=L1L2L3est le volume du cristal. -E=?2k22m

- Valeurs de-→kquantifi´ees, les vecteurs de base du r´eseau r´eciproque ´etant-→b1,

-→b2, -→b3: k=m1N1-→ b1+ m2N2-→ b2+ m3N3-→ b3=

2πm1L1-→

e1+

2πm2L2-→

e2+

2πm3L3-→

e31.2.4.Densit´e d"´etats. Le nombre de valeurs de-→kpermises par unit´e de volume de l"espace r´eciproque est :

ρ(-→k) =V

(2π)33

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFIOn d´efinit la densit´e d"´etatsρ(E) ou nombre d"orbitales permises par unit´e

d"´energie. Le nombre d"orbitales permises dans l"intervalle compris entreEet

E+dEest donn´e par :

ρ(E)dE= 2ρ(-→k)d-→k= 2V

(2π)3d -→k=V

4π34πk2dk

Le facteur 2 provient du fait que pour chaque valeur de -→kpermise, il y a deux

´etats d"´energie permis de spin oppos´e. On obtient la densit´e d"´etatsρ(E) (fig.1) en

tenant compte de l"expression de l"´energie :

ρ(E) =V

2π2?

2me?2?3/2E1/21.2.5.Occupation des ´etats et ´energie de Fermi.

- A temp´erature nulle, le potentiel chimique est l"´energie de Fermi : μ(T= 0) =?FPour un syst`eme deN´electrons libres :

N=??F0ρ(E)dE

?F= ?22me?

3π2N

V?2/3=

?22me?

3π2n

?2/3= ?2k2F2meetkF= ?3π2n ?1/3-Ordres de grandeur: - Valeur typique den=N Vdans les m´etaux,n= 1028-1029m-3-?F≂1,5 `a 10 eV - Vitesse de Fermi :vF≂5.106m/s - Temp´erature de Fermi :TF≂2.104K `a 105K - AT?= 0 (voir la fig.1), ce sont les ´electrons dont l"´energie est proche de?Fqui sont excit´es thermiquemnt.

1.2.6.Capacit´e calorifique ´electronique.

Cl=

π22

nkBkBT ?F=

π22

nkBT TF1.2.7.Conductivit´e thermique. Loi de Wiedemann-Franz.κ

σT=π23

kBe ?2= 2,44×10-8WΩK-2Corrections par rapport au mod`ele de Drude : -Cl?T -Cl: r´eduction du facteurT

TF≂10-2-vF≂10vthermd"o`u une correction de 102Ces deux erreurs exliquent le succ`es apparent du mod`ele de Drude concernant la

loi de Wiedemann-Franz. 4 PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFI1.2.8.Conclusion. - Le mod`ele de Sommerfeld explique certaines propri´et´es des m´etaux. - Mais il n"explique pas la distinction"M´etaux, Isolants, Semiconducteurs"ni le

signe de la constante de Hall de certains m´etaux.1.3.Fonctions de Bloch1.3.1.Cons´equences de la sym´etrie de translation.Figure 2.Repr´esentation sch´ematique des fonctions ´electroniques dans

un cristal : a) Le potentiel p´eriodique. b) Un exemple de fonction de Bloch, seule la partie r´eelle est repr´esent´ee. c) Partie ayant la p´eriodicit´e du r´eseau cristallin. d) Onde plane.

(Figure tir´ee de"Solid state theory", W.A. Harrison, McGraw-Hill 1970.)Les fonctions de Bloch (voir la fig.2) sont fonctions propres de l"´equation de

Schr¨odinger :

Hψ=-??2?22me+V(-→r)?

ψ=EψavecV(-→r) =V(-→r+-→Rl)

k( -→r) =u-→ k( -→r)ei -→k .-→r=ψ-→ k+-→Km( -→r) avecu-→ k( -→r) =u-→ k( -→r+-→Rl)

1.3.2.Energie de l"´electron.

Propri´et´es de l"´energieE(-→k)

E(-→k) =E(-→k+-→Km)

E(-→k) =E(--→k)

5

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFICons´equence : repr´esentation de l"´energie dans la premi`ere zone de Brillouin.1.4.Mod`ele des ´electrons presque libres1.4.1.Equation d"onde d"un ´electron dans un potentiel p´eriodique.

- Equation de Schr¨odinger : ??2?22me+V(-→r)? k( -→r) =Eψ-→ k( -→r) - Coefficients de Fourier du potentielV(-→r) et de la partie p´eriodiqueu(-→r) de la fonction de Bloch :

V(-→r) =?m?=0Vmei

-→Km. -→retu(-→r) =?nUnei -→Kn. -→r- Obtention d"un syst`eme de N ´equations : ??22me( -→k+-→Km)2-E(-→k)? Um+ ?n?=mUnVm-n= 0

1.4.2.Equation d"onde d"un ´electron dans un faible potentiel p´eriodique.

- Le potentiel ´etant t`es faible, les coefficientsVmsont petits. - En dehors de la limite de la zone de Brillouin, l"´energie est approximativement celle de l"´electron libre (fig.3). - Solutions pour un vecteur-→k0v´erifiant la condition de Bragg : 2 -→k0. -→Kl+K2 l= 0 o`u -→Kl= vecteur du r´eseau r´eciproque ??2k202me-E(-→k0)

U0+V-lUl= 0

VlU0+ ??22me( -→k0+ -→Kl)2-E(-→k0) Ul= 0 - Lev´ee de d´eg´en´erescence ´egale `a 2|Vl|(fig.3) :

E(-→k0) =E0± |Vl|avecE0=

?2k202me1.4.3.Structure de bandes 3D. Sur la figures 4, sont repr´esent´ees les courbes de dispersion dans l"approximation des ´electrons libres pour un cristal cubique `a faces centr´ees. L"effet d"un faible potentiel p´eriodique se traduira en particulier par l"apparition de bandes interdites aux limites de la zone de Brilouin comme on le verra pour l"aluminium (voir la figure 8).1.5.Approximation des liaisons fortes1.5.1.Les fonctions d"onde. M´ethode LCAO : Linear Combination of Atomic Orbitals : k( -→r) =?-→ Rlei -→k .-→Rlφ(-→r--→Rl) o`uφ(-→r--→Rl) est une orbitale atomique. 6

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFIFigure 3.Courbes de dispersion pour des ´electrons libres et des ´electrons

preque libres `a 1D : a) Energie d"un ´electron libre en fonction dek. b) Etape 1 pour la construction des courbes de dispersion des ´electrons presque libres dans un potentiel p´eriodique : les deux courbes centr´ees `a k=0 et k=K se croisent au niveau de la 1`ere zone de Brillouin. c) Etape 2 pour la construction des courbes de dispersion des ´electrons presque libres dans un potentiel p´eriodique : lev´ee de d´eg´en´erescence enK/2 ´egale `a 2|UK|(2|Vl|dans le texte) correspondant `a la 1`ere bande interdite. d) Repr´esentation des courbes de c) correspondant `a la parabole en a) de l"´electron libre. e) Repr´esentation de l"´energie de l"´electron aux limites des 1`ere, 2`eme et

3`eme zone de Brillouin dans le sch´ema ´etendu.

f) Repr´esentation des courbes de dispersion ´electronique s dans le sch´ema des zones r´eduites. g) Repr´esentation des courbes dans le sch´ema des zones p´eriodiques. (Figure tir´ee"Solid State Physics", N.W. Ashcroft et N.D. Mermin, Ed.

Holt, Rinehart and Winston 1976.)7

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFIFigure 4.Structure de bandes `a 3 D : courbes de dispersion dans

l"approximation des ´electrons libres pour un cristal cubique `a faces centr´ees. (Figure tir´ee"Solid State Physics", N.W. Ashcroft et N.D. Mermin, Ed.

Holt, Rinehart and Winston 1976.)Figure 5.M´ethode des liaisons fortes : ´elargissement des niveaux

atomiques en bandes d"´energie du cristal. A gauche : repr´esentation sch´ematique des niveaux d"´energie d"un ´electron de valence d"un atome isol´e ainsi que du potentiel V(r) s"exer¸cant sur l"´electron. A droite : spectre d"´energie d"un ´electron dans un cristal constitu´e de N atomes. Les N orbitales atomiques sont d´eg´en´er´ees quand les atomes sont infiniment ´eloign´es. Elles donnent naissance `a N niveaux tr`es proches (N valeurs de k) constituant les bandes d"´energie quand la distance interatomique d diminue; les bandes sont d"autant plus larges que d est petit.1.5.2.Les solutions. - Equation d"onde

Hψ-→

k( -→r) = [Hat+ (V(-→r)-V0( -→r)]ψ-→ k( -→r) =E(-→k)ψ-→ k( -→r) o`uV0est le potentiel atomique. 8

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFI- Si l"on ne prend en compte que les plus proches voisins, l"´energie est donn´ee par :

E(-→k) =Eφ-B-2txcos(kxa)-2tycos(kya)-2tzcos(kza) avec

B=-< φ(-→r)|(V-V0)|φ(-→r)>

tx=-< φ(-→r)|(V-V0)|φ(-→r+-→a1)> ty=-< φ(-→r)|(V-V0)|φ(-→r+-→a2)> tz=-< φ(-→r)|(V-V0)|φ(-→r+-→a3)> - Il a formation de bandes d"´energie `a partir des N niveaux atomiques d´eg´en´er´es (fig.5) : - La forme des bandes est d´etermin´ee par la structure cristalline du mat´eriau. - Il faut noter l"importance de la nature des orbitales dont elles d´erivent

comme le montrent les exemples ´etudi´es au paragraphe suivant.2.M´etaux, isolants, semiconducteurs

2.1.Occupation des ´etatsFigure 6.M´etaux et isolants : ´etats occup´es et courbes de dispersion

´electroniques :

a) Cas d"un isolant. b) Cas d"un m´etal ou d"un semi-m´etal `a cause du chevauchement des bandes. c) Cas d"un m´etal `a cause de la concentration en ´electrons. Cette repr´esentation est tr`es sch´ematique car `a une seule dimension (voir les structures de bandes des m´etaux Al et Cu et des semiconducteurs Ge et Si repr´esent´ees sur les figures suivantes) .

(fig. tir´ee de"Physique de l"´etat solide", C.Kittel, Ed. Dunod 1998.)2.1.1.Nature du cristal.

- N valeurs de-→kpermises dans chaque bande et compte tenu du spin : 2N ´etats permis dans chaque bande. - Nature du cristal, m´etal ou isolant, d´etermin´ee par : - le nombre d"´electrons de valence par cellule ´el´ementaire - la configuration des courbes de dispersion ´electroniquesE(-→k) et leur recouvrement ´eventuel (voir fig.6). 9

PHYSIQUE DES SOLIDES -Faouzia FaridaCHARFI2.1.2.Cristal poss´edant un ´electron de valence par cellule ´el´ementaire.

- bande de conduction `a moiti´e remplie (fig.6.c) - cristal : m´etallique - exemples : les m´etaux alcalins et les m´etaux nobles (1 e/cell.´el´em.)

2.1.3.Cristal poss´edant un nombre pair d"´electrons de valence.

- suffisant pour remplir compl`etement les bandes : gap entre la derni`ere bande pleine et la bande sup´erieure vide?isolant. - condition n´ecessaire mais pas suffisante. - m´etaux alcalino-terreux (colonne IIA) : deux ´electrons de valence/cell.´el´em. : - comportement m´etallique dˆu au chevauchement des bandes (fig.6.b) : ´energie des ´etats les plus ´elev´es de la bande plus basse, sup´erieure `a celle des ´etats les plus bas de la bande sup´erieure?occupation partielle des deux bandes : voir la section 2.2.2. - existence de trous dans la bande la plus basse (signe de la constante dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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