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Université Paris 7 - Denis DiderotAnnée 2005/2006

Licence 2 - MIASMI4

Topologie des espaces vectoriels de dimension finie

1 Espaces vectoriels normés

1.1 Définitions

SoitEun espace vectoriel surR.

Définition 1Une applicationN:E-→Rest unenormessi

1.?x?E,?λ?R,N(λx) =|λ|N(x)(homogénéité)

3.?x?E,N(x)≥0(positivité)

4.?x?E,N(x) = 0??x= 0(définie).

Un espace vectoriel muni d"une norme est appeléespace vectoriel normé(en abrégé : " EVN »).

Exemples :

a)L"espace vectorielE=Rmuni de l"application " valeur absolue »x?-→ |x|. b)L"espace vectorielE=C?R2muni de l"application " module »x?-→ |x|. c)Tout espace vectoriel euclidien(E,?·,·?)muni de la normeN(x) =||x||:=? ?x,x?est un EVN. d)Pour touta,b?Raveca < b, l"espace vectorielE=C∞([a,b])muni de la norme : ||f||∞:= sup x?[a,b]|f(x)|,||f||2:=? ?b a f(x)2dx ou encore de la norme : ||f||1:=? b a |f(x)|dx est un espace vectoriel normé.

1.2 Les normes usuelles surRn

Pour toutx?Rn, on note :

||x||1:=|x1|+···+|xn| ||x||2:=? (x1)2+···+ (xn)2 Exercice- Vérifier que|| · ||1,|| · ||2et|| · ||∞sont des normes surRn. Définition 2SoitEun espace vectoriel réel. Deux normesN1etN2surEsont diteséquiva- lentesssi?c,C >0telle que Proposition 1La relation définie précédemment entre les normes sur un espace vectoriel est une relation d"équivalence. 1

Démonstration- Exercice.

Proposition 2SurRnles trois normes|| · ||1,|| · ||2et|| · ||∞sont équivalentes.

Démonstration- On va démontrer que?x?E,

1. ||x||∞=max(|x1|,···,|xn|) =|xj|(oùjest tel que|xj|=||x||∞) (x1)2+···+ (xn)2=||x||2.

2.||x||22= (x1)2+···+ (xn)2

= (|x1|+···+|xn|)2=||x||21.

3.||x||1= =|x1|+···+|xn|

=n||x||∞. Définition 3Si(E,N)est un espace vectoriel normé, alors l"application d:E×E-→R (x,y)?-→N(x-y) est appelée ladistance associée àN.

Proposition 3On a?x,y,z,a?E,

1.d(x,y) =d(y,x)

3.d(x,x) = 0etd(x,y) = 0ssix=y

4.d(x+a,y+a) =d(x,y)(invariance par translation)

Démonstration- Exercice.

Définition 4Soit(E,N)un espace vectoriel normé,a?Eetr?[0,+∞[.

1. Laboule ouvertede centreaet de rayonrest :

B(a,r) :={x?E|d(x,a)< r}

(remarque :B(a,0) =∅)

2. Laboule ferméede centreaet de rayonrest :

(remarque :

B(a,0) ={a}).

2 Remarque- Pour tout sous-ensembleBdeEet pour touta?Eon notea+B:={a+x|x?B}.

Alors on aB(a,r) =a+B(0,r)et

B(a,r) =a+B(0,r). De plus on a toujoursB(a,r)?B(a,r).

Exemples de boules : (i)dansR, on a :

B(a,r) =]a-r,a+r[et

B(a,r) = [a-r,a+r].

B a,r n? ?B1(a,r)?B2(a,r)?B∞(a,r) (et les inclusions similaire pour les boules fermées), voirla figure.

11/21/21

Fig.1 - Les boulesB∞?0,12??B1(0,1)?B2(0,1)?B∞(0,1)dansR2

1.3 Limites

On se place dans un EVN(E,N).

Définition 5Soit(uk)k?Nune suite dansEet??E. On dit quela suiteukconverge vers ?pour la normeNssi limk→+∞N(uk-?) = 0. Proposition 4Soit(uk)k?Net(u?k)k?Ndeux suites deEqui convergent respectivement vers? et??pour la normeN, alors, pour toutλ,μ?R, la suiteλuk+μu?kconverge versλ?+μ??.

Démonstration: Exercice.

Exemples a)Dans(Rn,|| · ||2)une suiteuk= (uk,1,···,uk,n)converge vers?= (?1,···,?n)ssi

lim k→+∞? (uk,1-?1)2+···+ (uk,n-?n)2= 0.

b)(Exemple important pour la suite!) Dans(Rn,|| · ||∞)une suiteuk= (uk,1,···,uk,n)converge

vers?= (?1,···,?n)ssi lim ?? ?ε >0,?N >0,?k?N, k≥N=? ?i?[[1,n]],|uk,i-?i|< ε ?? ?ε >0,?N >0,?i?[[1,n]],?k?N, k≥N=? |uk,i-?i|< ε 3 Donc on a en particulierlimk→+∞uk,i=?i,?i?[[1,n]]. Réciproquement, si chaque composante (uk,i)k?Nde la suite converge vers?idansR, alors on a, pour touti?[[1,n]], ?ε >0,?Ni>0,?k?N, k≥Ni=? |uk,i-?i|< ε et en posantN:=max(N1,···,Nn), on a alors : ?ε >0,?N >0,?k?N,?i?[[1,n]], k≥N≥Ni=? |uk,i-?i|< ε; c"est à direuk→?dans(Rn,|| · ||∞). Nous en déduisons ce qui suit. Lemme 1Une suite(uk)k?NdeRnconverge vers??Rnpour|| · ||∞ssi chaque composante (uk,i)k?Nde la suite converge vers?idansR. Théorème 1SoitEun espace vectoriel etN1etN2deux normes surE. Alors siN1etN2sont équivalentes, pour toute suite(uk)k?NdeEet pour tout??E,? lim k→+∞uk=?pourN1? lim k→+∞uk=?pourN2? Démonstration- Montrons que, siuk-→?pourN1alorsuk-→?pourN2(la preuve dans l"autre sens est identique). PuisqueN1etN2sont équivalentes, en particulier :?C >0,

Or la convergenceuk-→?pourN1signifie que :

Nous en déduisons la convergence pourN2:?ε >0, soitε?:=ε/Cet appliquons d"abord (3) : Corollaire 1Soit(uk)k?Nune suite deRnet??Rn. Alors les propriétés suivantes sont équi- valentes.

1.ukconverge vers?pour|| · ||1

2.ukconverge vers?pour|| · ||2

3.ukconverge vers?pour|| · ||∞

4.?i?[[1,n]], la suiteuk,iconverge vers?idansR.

Démonstration- On sait déjà, grâce au Lemme 1, que les propriétés 3. et 4. sont équivalentes.

Quand à l"équivalence entre les trois premières propriétés, elle provient de la proposition 2 (les

normes|| · ||1,|| · ||2et|| · ||∞sont équivalentes) et du théorème précédent.

1.4 Continuité

Soit(E,N)et(E?,N?)deux EVN. SoitAun sous-ensemble deEetf:A-→E?une application. Définition 6Soitx0?A, on dit quefest continue enx0ssi ?ε >0,?α >0,?x?A, N(x-x0)< α=?N?(f(x)-f(x0))< ε. Proposition 5SoitEetE?des espaces vectoriels réels,A?E,x0?Aetf:A-→E?une application. SiN1etN2sont deux normes équivalentes surEet siN?1etN?2sont deux normes équivalentes surE?, alorsfest continue enx0pour les normesN1etN?1ssifest continue en x

0pour les normesN2etN?2.

Démonstration- Exercice.

4 Exemples a)Siu?E?, l"application constante deEversE?qui, à toutx?Eassocieu, est continue. b)Toute application linéairefdeR2dansR2est continue pour la norme|| · ||∞en tout point (x0,y0)deR2: identifionsR2avec l"ensemble des matrices colonnes avec deux lignes et notons f:R2-→R2?x y? ?-→?a b c d?? x y? Nous commençons par établir des inégalités :?(x,y)?R2, = (|a|+|b|)max(|x|,|y|) = (|a|+|b|)||(x,y)||∞. ||f(x,y)||∞=max(|ax+by|,|cx+dy|)

Et nous avons ainsi démontré que

Donc, pour tout(x0,y0)?R2et pour toutε >0, posonsα:=ε/C >0, alors si nous supposons que||(x-x0,y-y0)||∞< α, cela entraîne (en utilisant (4)) que Doncfest bien continue de(R2,|| · ||∞)dans(R2,|| · ||∞)en(x0,y0).

Remarque-La méthode utilisée ici est tout à fait représentative des techniques habituelles

pour démontrer qu"une application est continue :on commence par démontrer une inéga- lité (qui est ici (4)), puis on en déduit la continuité. c) Applications linéaires entre espaces vectoriels normés Proposition 6Soit(E,N)et(E?,N?)deux EVN etf:E-→E?une application linéaire. Alors, sifest continue en0, elle continue sur toutE. Démonstration- La continuité en0signifie que ?ε >0,?α >0,?x?E, N(x)< α=?N?(f(x))< ε.

Cela entraîne que, pour toutx0?E,

?ε >0,?α >0,?x?E, N(x-x0)< α=?N?(f(x)-f(x0)) =N?(f(x-x0))< ε, donc quefest continue enx0. Avant de donner d"autres exemples, voyons quelques propriétés simples qui permettent de fabri- quer de nouvelles applications continues en combinant des fonction continues. 5 Proposition 7Soit(E,N)et(E?,N?)deux EVN,A?Eetf,g:A-→E?deux applications.

Soitx0?A. Alors sifetgsont continues enx0,

1.?λ,μ?R,λf+μgest continue enx0

2. siα:A-→Rest une fonction continue enx0, alorsx?-→α(x)f(x)est continue enx0.

Démonstration- Exercice.

Proposition 8Soit(E,N),(E?,N?)et(E??,N??)trois EVN,A?EetB?E?,f:A-→E? etg:B-→E??deux applications telles quef(A)?B1. Soitx0?A. Sifest continue enx0et sigest continue enf(x0), alorsg◦fest continue enx0.

Démonstration- Exercice.

Applications à valeurs dansRn

Proposition 9Soit(E,N)un EVN,A?Eetf:A-→Rnune application. Soitx0?A. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

1.f:A-→(Rn,|| · ||1)est continue enx0

2.f:A-→(Rn,|| · ||2)est continue enx0

3.f:A-→(Rn,|| · ||∞)est continue enx0

4. toutes les composantes def:A-→Rnsont continues enx0.

Démonstration- Cela est un corollaire de la proposition 2 et de la proposition 5.

Lien entre applications continues et suites

Théorème 2Soit(E,N)et(E?,N?)des espaces vectoriels normés,A?Eetf:A-→E?une application. Soitx0?A. Alors

1. sifest continue enx0, alors pour toute suite(uk)k?NdeAtelle quelimk→+∞uk=x0

dans(E,N), on a : limk→+∞f(uk) =f(x0)dans(E?,N?).

2. réciproquement si, pour toute suite(uk)k?NdeAtelle quelimk→+∞uk=x0dans(E,N),

on alimk→+∞f(uk) =f(x0)dans(E?,N?), alorsfest continue enx0. Démonstration- Montrons d"abord 1 : la continuité defenx0signifie que : ?ε >0,?α >0,?x?A, N(x-x0)< α=?N?(f(x)-f(x0))< ε. Soit(uk)k?Nune suite qui converge versx0, alors, pour leα >0précédent, on peut trouver

N >0tel que :

?k?N, k≥N=?N(uk-x0)< α, qui entraîne, en vertu de la continuité def, queN?(f(uk)-f(x0))< ε. Donc on a montré que lim k→+∞uk=x0dans(E,N).

Pour montrer 2, c"est à dire la réciproque, on va prouver sacontraposée, à savoir que, sifn"est

pas continue enx0, alors il existe une suite(uk)k?Nqui converge versx0, mais qui est telle que (f(uk))k?Nne converge pas versf(x0). Pour cela nous commençons par supposer quefn"est continue, ce qui s"écrit : ?ε0>0,?α >0,?x?A,tel queN(x-x0)< αetN?(f(x)-f(x0))> ε0.(5)

1de sorte que l"application composéeg◦f:A-→E??existe

6 Nous utilisons (5) en particulier pourα=11+k, oùk?N: cela signifie qu"il existe une valeur x?A, que nous noteronsuk, telle queN(uk-x0)<1

1+ketN?(f(uk)-f(x0))> ε0. Alors la

suite(uk)k?Nainsi construite converge versx0. Mais la suite(f(uk))k?Nne peut pas converger versf(x0)dans(E?,N?)puisqu"on aN?(f(uk)-f(x0))> ε0.

Suite de la liste d"exemples

d) Applications linéaires de(Rn,|| · ||∞)dans un espace vectoriel normé. Notons (e1,···,en)la base canonique deRn. Alors, pour toutx?Rn,?!(x1,···,xn)?Rn,x= x

1e1+···+xnenet donc, en utilisant notament l"inégalité triangulaire,

N(f(x)) =N(x1f(e1) +···+xnf(en))

n? i=1N(f(ei))? =C||x||∞,oùC:=n? i=1N(f(ei)). Doncfest continue en0. En utilisant la proposition 6, on en déduit quefest continue en tout point deRn.

e) Polynômes sur(Rn,||·||∞)- On continue à noterx1,···,xnles coordonnées d"un vecteur

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