[PDF] Trigonométrie circulaire que sin(x) = 3. 5

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Trigonométrie circulaire

On rappelle ici et on complète les résultats énoncés au lycée. L"objectif à viser est la technicité. Pour cela, il faut :

Àconnaître par coeur les différentes formules de trigonométrie,

Ásavoir à quel moment s"en servir.

En ce qui concerne le premier point (À), au cours de l"année de mathématiques supérieures, on doitapprendre quatre

formulaires : 1. un formulaire de trigonométrie circulaire, 2. un formulaire de dérivées, 3. un formulaire de primitives, 4.

un formulaire de développements limités.

Il est clair que l"on n"utilise pas en permanence une formulede trigonométrie ou une formule de dérivée. Cela se produit

dans certaines périodes uniquement. Dans ces moments-là, on doit alors être capable de mobiliser la formule exacte, et en

particulier on doit l"avoir mémorisée. On peut donner sur lesujet deux conseils. Premièrement, chaque fois au cours de

l"année, que vous vous retrouverez face à une formule de trigonométrie (ou de dérivée, ...) que vous ignorez (à la suite

d"une colle, d"un devoir, ...), profitez-en pour prendre immédiatement dix minutes de votre temps pourréapprendre la

totalité du formulaire. Deuxièmement,affichez vos formulairessur vos murs, et ceci en plusieurs exemplaires dans

des endroits stratégiques de votre habitation. Si vous suivez ces deux conseils, vous sortirez de mathématiques supérieures

en connaîssant vos formules, ce qui est un objectif essentiel à atteindre.

En ce qui concerne le deuxième point (Á), vous trouverez dans un certain nombre d"exercices de ce chapitre des raisons

qui poussent à utiliser telle ou telle formule de trigonométrie plutôt que telle autre.

Plan du chapitre

1Mesures en radians d"un angle orienté.................................................................page 2

2Les lignes trigonométriques...............................................................................page 3

2.1Définition des lignes trigonométriques ................................................................... page 4

2.2Valeurs usuelles .......................................................................................... page 5

2.3La notationeix.......................................................................................... page 63Formulaire de trigonométrie circulaire.................................................................page 7

3.1Comparaison de lignes trigonométriques ................................................................. page 7

3.2Formules d"addition et de duplication ....................................................................page 9

3.3Résolution d"équations trigonométriques ................................................................page 11

3.4Formules de linéarisation ...............................................................................page 13

3.5Formules de factorisation ...............................................................................page 14

3.6Expressions de cos(x), sin(x)et tan(x)en fonction det=tan?x

2? ......................................page 15

3.7Transformation deacos(x) +bsin(x)...................................................................page 16

3.8Le nombrej............................................................................................page 174Erreurs classiques à ne pas commettre................................................................page 17

c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr

1 Mesures en radian d"un angle orienté

XY 1

2π2πx

M x?? Le plan est rapporté à un repère orthormé direct(O,-→I ,-→J)ou encore(OXY). Au lycée, vous avez appris à " enrouler » l"axe réel sur le cercle trigonométrique, c"est-à-dire le cercle de centreOet de rayon1, orienté dans le sens direct. A chaque réelxcorrespond un et un seul point du cercle trigonométrique. Sixest positif, le pointMassocié àxest le point du cercle obtenu en parcourant une longueurxsur ce cercle, dans le sens direct, à partir du point de coordonnées (1,0). Sixest négatif, on parcourt sur le cercle une longueur|x|= -xdans le sens indirect. Ainsi, tout réel est associé à un et un seul angle et siMest le point associé au réelxalorsxs"appelleUNE mesureen radian de l"angle orienté(-→I ,--→OM). Ici, l"unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique, à savoir1 et|x|est le nombre de rayons qui constituent l"arc de cercle qui vadeOàM, d"où le motradian. Inversement, puisque le tour complet a une longueur égale à2π, deux réels mesurent un même angle si et seulement si leur différence est un multiple entier (relatif) de2π. Tout angle admet donc une infinité de mesures et siαest une mesure de l"angle orienté(-→I ,--→OM), l"ensemble des mesures de l"angle(-→I ,--→OM) est l"ensemble des nombres de la formeα+2kπ,k?Z.

Cet ensemble se noteα+2πZ.

α+2πZ={α+2kπ, k?Z}.

Ainsi, des réels différents peuvent mesurer un même angle. Par exemple, les réelsπ

2et5π2sont des réels différents(π2=1,57...et5π2=7,85...) mais

ces deux réels sont deux mesures distintes d"un même angle. Dit autrement, le réelπ

2n"est pas un angle mais le réelπ2est une mesure parmi tant d"autres d"un

certain angle orienté, le quart de tour direct. L"ensemble des mesures de cet angle estπ

2+2πZ={π2+2kπ, k?Z}={...,-7π2,-3π2,π2,5π2,9π2,...}.

Théorème 1.Tout angle orienté admet une et une seule mesure dans l"intervalle[0,2π[, appeléemesure principalede

l"angle orienté.

Parmi toutes les mesures d"un angle orienté, il en est une et une seule qui appartient à[0,2π[. Cette mesure est la

mesure principalede cet angle orienté. Quand on dispose d"une mesure d"un angle orienté, on peut trouver sa mesure

principale de manière systématique grâce à la fonction " partie entière » (voir le chapitre " fonctions de référence »). Pour

l"instant, contentons nous de " bricolages ». Exercice 1.Trouver la mesure principale d"un angle de mesure1)71π4,2)-17π3. Solution. 1)71π4-8×2π=71π4-8×8π4=71π4-64π4=7π4??

0,8π4?

= [0,2π[. La mesure principale d"un angle de mesure

71π

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