[PDF] Etude numérique et expérimentale découlements diphasiques

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THÈSE

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DOCTEUR DE LA COMMUNAUTE UNIVERSITE

GRENOBLE ALPES

Spécialité : Mécanique des fluides, procédés, énergétique

Arrêté ministériel : 25 mai 2016

Présentée par

Jonathan SCHILLINGS

Thèse dirigée par Jonathan DESEURE, Maître de conférences,

Université Grenoble Alpes, et

codirigée par Olivier DOCHE, Maître de conférences, Université

Grenoble Alpes

préparée au sein du Laboratoire

Physicochimie des Matériaux et des Interfaces

dans l'École Doctorale I-MEP2

Etude numérique et expérimentale

Application aux écoulements à bulles

générées par voie électrochimique Thèse soutenue publiquement le 18 juillet 2017, devant le jury composé de :

M. François LAPICQUE

Directeur de Recherche au CNRS, Université de Lorraine, Rapporteur

M. Michel GRADECK

M. Laurent DAVOUST

Professeur , Président du jury

Mme. Aurore NASO

Chargée de Recherche au CNRS, Université de Lyon

M. Jonathan DESEURE

Maître de conférences

M. Olivier DOCHE

III Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier mes rapporteurs, Michel Gradeck et François Lapicque,

(qui ont fait le déplacement depuis Nancy) pour le temps et l'attention qu'ils ont consacrés à la

relecture de ce manuscrit. Je remercie également Laurent Davoust de m de présider le jury de cette soutenance. Je voudrais enfin remercier Aurore Naso qui a accepté de venir enrichir la discussion malgré notre invitation tardive. A ma Maman et mon Papa adoptifs, Jonathan et Olivier (respectivement), un immense merci. les bons mots pour vous exprimer ma gratitude mais je suis sûr que v exercice extrêmement difficile. Merci pour votre encadrement, pour ces discussions

scientifiques menées avec un sérieux sans faille. Pour votre humour et votre tolérance.

thèse, il me semble.

Je tiens à remercier tout particulièrement Frédéric Bauer. Sans lui et sans son

impressionnant travail réalisé sur le code DNS, cette thèse ne se avons pu avoir sur toutes sortes de sujets un simple être humain. Ma reconnaissance va aussi à Mauricio Tano Retamales et Didier Jacquin pour leur la phase dispersée dans le code DNS. Encore une ez-de- côtoyées quotidiennement pendant presque 4 ans . Je restauration universitaire, Farid pour ces longues discussions musicales et Bobo pour nos repas steak-pizza-frites.

A toutes

, un grand merci.

TABLE DES MATIERES

IV Enfin, un immense merci à toute ma famille r dans ce moment solennel familier, merci pour vos mots gentils et réconfortants. Plus particulièrement, merci Maman, Tata et Mimi pour votre relecture scrupuleuse du manuscrit. Merci à tou.te.s mes ami.e.s sans qui la vie serait bien fade. Vous avez répondu présent le jour de la soutenance et avez fait de cette journée un moment fort. Merci Chloé pour ton soutien inconditionnel, ta douceur et ta tolérance.

Enfin, merci à la D

V

Table des matières

TABLE DES MATIERES .......................................................................................................................... V

TABLE DES FIGURES ........................................................................................................................... IX

TABLE DES TABLEAUX ...................................................................................................................... XV

TABLE DES NOTATIONS ................................................................................................................. XVII

INTRODUCTION GENERALE ............................................................................................................... 1

CHAPITRE I ............................................................................................................................................... 3

1. ELECTROLYSE ............................................................................................................................. 3

Histoire et applications ........................................................................................................................ 3 1.1.

Un procédé multiphysique ................................................................................................................... 5 1.2.

1.2.1. Electrochimie ............................................................................................................................................. 6

1.2.2. Transport de matière ................................................................................................................................. 8

1.2.3. Transfert de chaleur ................................................................................................................................... 8

1.2.4. Ecoulements diphasiques .......................................................................................................................... 9

............................................................................ 9 1.3.

2. MODELISATION DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES ...................................................................... 12

Les formulations locales instantanées ............................................................................................... 15 2.1.

2.1.1. Formulation Eulérienne-Eulérienne ......................................................................................................... 15

2.1.2. Modèle Eulérien-Lagrangien .................................................................................................................... 18

Les formulations moyennées.............................................................................................................. 19 2.2.

2.2.1. Modèle bi-fluide ....................................................................................................................................... 20

2.2.2. Modèle homogène ................................................................................................................................... 20

3. EXPERIMENTATION ...................................................................................................................... 21

Méthodes non-intrusives.................................................................................................................... 23 3.1.

3.1.1. Photographie et capture vidéo rapide ..................................................................................................... 23

3.1.2. Utilisation de nappes laser ....................................................................................................................... 23

TABLE DES MATIERES

VI 3.1.3. Radiographie et tomographie .................................................................................................................. 24

3.1.4. Mesures par ultrasons ............................................................................................................................. 24

3.1.5. Traçage de radioéléments........................................................................................................................ 25

Méthodes intrusives ........................................................................................................................... 25 3.2.

3.2.1. Les capteurs " aiguille » ........................................................................................................................... 25

3.2.2. Les anémomètres à film chaud ................................................................................................................ 26

3.2.3. Les tubes de Pitot ..................................................................................................................................... 26

................................................................................ 27 3.3.

4. APPROCHE ADOPTEE AU COURS DE CE TRAVAIL DE RECHERCHE ................................................. 28

CHAPITRE II ........................................................................................................................................... 29

1. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 29

2. MODELE DE MELANGE ................................................................................................................. 30

Description générale .......................................................................................................................... 30 2.1.

......................................................................................................... 31 2.2.

.............................................................................................................. 36 2.3.

Validation du modèle de mélange dans un cas de convection induite par les bulles ......................... 40 2.4.

3. MODELE DE COUCHE LIMITE ....................................................................................................... 45

................................................................. 45 3.1.

Comportement en convection naturelle ............................................................................................. 48 3.2.

3.2.1. Pr .................................................................................................................................................... 48

3.2.2. Cas limite : Pr ................................................................................................................................. 51

Comportement en convection forcée ................................................................................................. 53 3.3.

4. CONCLUSIONS DU CHAPITRE II .................................................................................................... 55

CHAPITRE III .......................................................................................................................................... 57

1. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 57

2. MODELE NUMERIQUE .................................................................................................................. 60

Phase continue ................................................................................................................................... 60 2.1.

Phase discrète .................................................................................................................................... 62 2.2.

2.2.1. Equation du mouvement et force hydrodynamique ................................................................................ 62

2.2.2. ...................................................................................................................... 65

2.2.3. Terme de masse ajoutée, ou masse virtuelle ........................................................................................... 66

2.2.4. Terme de trainé, ou drag ......................................................................................................................... 66

2.2.5. " Lift » ...................................................................................................................................................... 69

TABLE DES MATIERES

VII 2.2.6. Collisions, élasticité et lubrification ......................................................................................................... 70

3. STRATEGIES NUMERIQUES ........................................................................................................... 73

Phase continue ................................................................................................................................... 73 3.1.

3.1.1. Avancement temporel ............................................................................................................................. 73

3.1.2. Discrétisation spatiale .............................................................................................................................. 76

3.1.3. Parallélisation ........................................................................................................................................... 77

Phase discrète .................................................................................................................................... 80 3.2.

3.2.1. Avancement temporel et spatial .............................................................................................................. 80

3.2.2. ........................................................................................................................ 82

3.2.3. Recherche des collisions .......................................................................................................................... 83

3.2.4. Bulles et parallélisation ............................................................................................................................ 86

Couplage multiphysique ..................................................................................................................... 86 3.3.

3.3.1. Algorithme de couplage quadrilatéral ..................................................................................................... 86

3.3.2. Stratégie itérative .................................................................................................................................... 89

3.3.3. Prise en compte du volume de la bulle .................................................................................................... 90

4. VALIDATIONS DU CODE NUMERIQUE ............................................................................................ 92

-D ....................................................................................... 92 4.1. rolyse verticale, couplage " four-way »............................................ 94 4.2.

4.2.1. .................................................................................................... 95

4.2.2. Comparaison croisée DNS / modèle homogène / résultats expérimentaux ............................................ 99

5. ETUDES DE SENSIBILITE ............................................................................................................ 100

Choix du pas de temps ..................................................................................................................... 101 5.1.

Maillage et diamètre de bulles ........................................................................................................ 101 5.2.

5.2.1. Discrétisation dans les directions y et z ................................................................................................. 102

5.2.2. ................................................................................... 104

5.2.3. Quelques mots sur les RMS ................................................................................................................... 107

6. DISPERSION DES PANACHES ...................................................................................................... 109

Répartition des bulles dans le panache ............................................................................................ 109 6.1.

Comparaison au modèle de mélange ............................................................................................... 111 6.2.

Effet des collisions et du coefficient de restitution ........................................................................... 115 6.3.

7. CONCLUSIONS DU CHAPITRE III ................................................................................................ 116

CHAPITRE IV ........................................................................................................................................ 119

1. INTRODUCTION .......................................................................................................................... 119

2. LA SPECTROSCOPIE DMPEDANCE ELECTROCHIMIQUE ............................................................ 121

TABLE DES MATIERES

VIII Principe de la méthode .................................................................................................................... 122 2.1.

2.1.1. Définition ............................................................................................................................................... 122

2.1.2. Exemple ................................................................................. 123

2.1.3. Exemple perturbé ................................................................................................. 124

2.1.4. Schéma électrique équivalent ................................................................................................................ 126

Application au modèle homogène ................................................................................................... 128 2.2.

2.2.1. .................................................................................................. 128

2.2.2. ................................................................................................................. 129

3. PARTIE EXPERIMENTALE ........................................................................................................... 135

Description du montage expérimental ............................................................................................. 136 3.1.

otocole expérimental ........................................................................................... 137 3.2.

3.2.1. Mesures potentiométriques et état stationnaire .................................................................................. 138

3.2.2. Protocole de mesure des impédances électrochimiques....................................................................... 140

Résultats et exploitation .................................................................................................................. 144 3.3.

3.3.1. Dépendances à la densité de courant .................................................................................................... 144

3.3.2. ............................................................................................................. 147

3.3.3. Sensibilité du modèle à la taille des bulles ............................................................................................. 149

3.3.4. Sensibilité au terme de vitesse relative ................................................................................................. 151

Ouverture ......................................................................................................................................... 152 3.4.

4. CONCLUSIONS DU CHAPITRE IV ................................................................................................. 154

CONCLUSION GENERALE ................................................................................................................ 157

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................. 159

ANNEXE A : EXPRESSION DETAILLEE DU TERME OPTIMUM LIFT FORCE ................... 167 ANNEXE B : ARTICLE PARU DANS LA REVUE INTERNATIONAL JOURNAL OF HEAT

AND MASS TRANSFER ....................................................................................................................... 171

ANNEXE C : ARTICLE PARU DANS LA REVUE INTERNATIONAL JOURNAL OF

MULTIPHASE FLOW ........................................................................................................................... 181

IX Table des figures

FIGURE 1.1 : Présentation schématique des physiques en présence dans le fonctionnement de

représentées par des flèches. ................................................................................................................. 5

FIGURE 1.2

couple électrochimique R/O +. (a) à gauche : la demi-(b) au centre : (c) à droite

sens de la réduction................................................................................................................................ 6

FIGURE 1.3 : Présentation schématique des physiques non-négligeables dans le fonctionnement . .................................................................................... 11

FIGURE 1.4 : Illustration des géom

classification de Ishii [23]. Ecoulements séparés : s1. annulaire et s2. film. Ecoulements

dispersés : d1. à bulles et d2. à gouttes. Ecoulements mixtes : m1. en bouchons, m2. annulaire à

gouttes, m3. annulaire à gouttes et bulles et m4. annulaire à bulles. ............................................. 13

FIGURE 1.5 : Illustration schématique (a) à gauche : de la formulation locale instantanée et (b)

à droite . ................................. 14

FIGURE 2.1

voie électrochimique. ............................................................................................................................ 31

FIGURE 2.2 : Illustration schématique des termes du flux relatif. ................................................. 34

FIGURE 2.3 ,

et . (b) au centre -électrodes et du

développement des panaches de bulles. (a) à gauche et (c) à droite : évolution de la densité de

............................................................................ 39

TABLE DES FIGURES

X FIGURE 2.4 : Evolutions, (a) à gauche : de la vitesse longitudinale, (b) à droite : du taux de

et . .......................................................................................................................... 40

FIGURE 2.5 ....41

FIGURE 2.6 : Comparaison entre les vitesses mesurées [65] et simulées à différentes positions de

la hauteur. (a) en haut à gauche : position 1, entrée des électrodes, (b) en haut à droite :

position 2, mi-hauteur, (c) en bas : position 3, sortie des électrodes. ............................................. 44

FIGURE 2.7 : Représentation schématique des profils typiques de vitesse et de taux de vide dans

les couches limites pour (a) à gauche : Pr 1 et (b) à droite : Pr 1 [19]. La vitesse du

mélange est représentée par un trait plein et le taux de vide par les pointillés. ............................ 47

FIGURE 2.8 : Epaisseur relative du panache en fonction df,h. La sensibilité à la variation de

densité de courant a été simulée à r* = 0,007 (cercles) et r* = 0,003 (carrés). Les sensibilités aux

variations de L x c (triangles) ont aussi été étudiées. Dans toutes les simulations, Pr

> 80. Une pente de valeur -0,25 est tracée en pointillés. ............................................................ 50

FIGURE 2.9

moyenne, à faible Prandtl-équivalent. ................................................................................................ 51

FIGURE 2.10 < 1.000

-0,35. A Pr = 1 (triangle plein), la pente est -0,4 et enfin à Pr = 0,1 (cercle plein), la pente est -0,6. ................................... 54

FIGURE 3.1 ................................. 60

FIGURE 3.2

non-perturbé w, et à droite la vitesse réelle uale des contraintes se fait sur la surface de

la sphère de volume VD. ....................................................................................................................... 63

FIGURE 3.3

FIGURE 3.4 : Illustration des décompositions 1D, 2D et 3D du domaine de calcul, tirée de la thèse

de F. Bauer [79]. ................................................................................................................................... 79

FIGURE 3.5 : Schéma présentant la séquence de correction de la position de deux bulles en

TABLE DES FIGURES

XI FIGURE 3.6 : Schéma du découpage en SDC pour la recherche de collisions. ................................ 84

FIGURE 3.7 : Evolution du temps de calcul alloué aux collisions en fonction du nombre de bulles pour les deux méthodes de recherche : recherche sur tout le domaine (losange) ou recherche par

SDC (croix)............................................................................................................................................85

FIGURE 3.8

FIGURE 3.9 : Schéma de la procédure de distribution du volume des sphères. ............................. 90

FIGURE 3.10 : Schéma de la méthode de distribution du volume de bulle. .................................... 91

FIGURE 3.11 : Com

différentes valeurs de la densité de courant et du nombre de Reynolds. Les distances sont h = 108 (tirets & triangles), i = 250 A/m², Re h = 50 (pointillés & cercles) et i = 250 A/m², Reh = 200 (ligne points-

tirets & carrés).....................................................................................................................................93

FIGURE 3.10

dessus est une vision tridimensionnelle des électrodes et des inclusions gazeuses pour une portion

du domaine de calcul (approx. un tiers sur la direction z). La composante x du champ de vitesse

(instantanée, moyennée selon z, adimensionnalisée) est représentée par la surface en nuance de

gris en dessous......................................................................................................................................95

FIGURE 3.11 : Evolution de la vitesse instantanée (t* = 80) moyennée selon z en fonction de la

hauteur du canal. En haut à gauche (a) : entrée du canal, en haut à droite (b) : mi-hauteur et

en bas (c) : sortie du canal. ................................................................................................................. 96

FIGURE 3.12 : Evolution temporelle du nombre de bulles. .............................................................. 97

FIGURE 3.13

représenté par des points. Les plages de couleur représentent (a) à gauche : la force

adimensionnelle exercée sur le liquide et (b) à droite : la vitesse longitudinale adimensionnelle

du liquide............................................................................................................................................98

FIGURE 3.14 : Vitesses moyennes du liquide simulées et mesurées expérimentalement. Les

mesures (étoiles), les résultats stationnaires du modèle homogène 2D (ligne pleine) et les

-point. ...................................................... 99

TABLE DES FIGURES

XII FIGURE 3.15 : Sensibilité de la RMS au maillage dans les direction y et z des vitesses en sortie de

canal. (a) en haut à gauche : uxRMS, (b) en haut à droite : uyRMS, (c) en bas : uzRMS. Les simulations sont effectuées pour 4 types de maillage: 43x17x13 (croix), 43x33x25 (carrés),

43x49x37 (triangles) et 42x65x49 (losanges). Pour indication, le profil de taux de vide moyen est

tracé par une ligne pleine noire. ....................................................................................................... 103

FIGURE 3.16 : Sensibilité des valeurs moyennées au maillage dans la direction x en sortie de

canal. (a) à gauche : uxz,t moyen et (b) à droite : z,t moyen. Les simulations sont effectuées pour

4 types de maillage: 43x17x13 (losanges), 85x17x13 (carrés), 127x17x13 (triangles) et 169x17x13

FIGURE 3.17 : Sensibilité des valeurs RMS au maillage dans la direction x en sortie de canal. (a) en haut à gauche : uxRMS, (b) en haut à droite : uyRMS et (b) en bas : uzRMS. Les simulations sont effectuées pour 4 types de maillage: 43x17x13 (losanges), 85x17x13 (carrés), 127x17x13

(triangles) et 169x17x13 (croix). ........................................................................................................ 106

FIGURE 3.18 : Vitesses fluctuantes simulées sur un maillage 169x17x13 avec les paramètres

listés dans le Tableau 3.4. Le profil de taux de vide (ligne pleine noire) est tracée en comparaison

des vitesses fluctuantes u xRMS (carrés), uyRMS (triangles) et uzRMS (losanges). ................................ 108

FIGURE 3.19 : Visualisatioz,t

cercles rajoutés sur les résultats de simulation illustrent " » de la phase

FIGURE 3.20

(cercles) sont affichés en haut et ceux effectués sur maillage grossier (losanges) sont affichés en

bas. Les deux sont comparés aux simulations du modèle homogène (ligne pleine). (a) haut- gauche : taux de vide moyen, maillage fin ; (b) haut-droite : vitesse longitudinale moyenne, maillage fin; (c) bas-gauche : taux de vide moyen, maillage grossier; (d) bas-droite : vitesse

longitudinale moyenne, maillage grossier. Tous les résultats sont tracés en sortie de canal. ..... 112

FIGURE 3.21

(cercles) sont affichés en haut et ceux effectués sur maillage grossier (losanges) sont affichés en

bas. Les deux sont comparés aux simulations du modèle homogène (ligne pleine). (a) haut- gauche : taux de vide moyen, maillage fin ; (b) haut-droite : vitesse longitudinale moyenne, maillage fin; (c) bas-gauche : taux de vide moyen, maillage grossier; (d) bas-droite : vitesse

longitudinale moyenne, maillage grossier. Tous les résultats sont tracés en sortie de canal. ..... 113

TABLE DES FIGURES

XIII FIGURE 3.22 : Evolution transverse de la fraction de vide moyenne en sortie de canal dans le cas

-élastiques (cercles). ..................... 115 FIGURE 4.1 : Simulation des courbes de polarisation

contributions électrochimiques. ........................................................................................................ 120

FIGURE 4.2 (a) à gauche : illustration du

point de fonctionnement et de la résistance de polarisation, (b) à droite : illustration de la

perturbation sinusoïdale autour du point de fonctionnement ........................................................ 124

FIGURE 4.3

15). ........................................................................................................... 127

FIGURE 4.4

réaction électrochimique limitée par le transport de matière dans une couche de diffusion

FIGURE 4.5 : (a) à gauche : photographie du montage expérimental, (b) à droite : schéma

hydraulique (les échelles ne sont pas respectées). ........................................................................... 136

FIGURE 4.6 : Courbes chrono-

Re Dh = 2.000. Les courbes sont obtenues successivement pour des densités de courant croissantes. (a) à gauche nul, (b) à droite ................ 138

FIGURE 4.7 : Illustratio

(a) en haut à gauche : signal peu bruité, (b) en haut à droite : signal

moyennement bruité et (c) en bas : signal fortement bruité. ........................................................ 141

FIGURE 4.8 : Impédances expérimentales obtenues à jmoy = 690 A/m² et ReDh = 2.000. .............. 142

FIGURE 4.9 moy = 690 A/m² et ReDh = 333. ......... 143

FIGURE 4.10 Dh = 2.000. (a)

en haut à gauche : jmoy = 34,5 A/m², (b) en haut à droite : jmoy = 173 A/m², (c) en bas à

gauche : jmoy = 345 A/m² et (d) en bas à droite : jmoy = 690 A/m². ............................................... 145

FIGURE 4.11 : Agrandissement sur les basses fréquences des impédances complexes mesurées et

séries de données. Les fréquences au sommet des trois boucles capacitives expérimentales sont

TABLE DES FIGURES

XIV FIGURE 4.12 moy = 173 A/m², (a)

à gauche : valeurs mesurées et (b) à droite : valeurs simulées. Les courbes ont été déplacées sur

................................................................................... 148

FIGURE 4.13 moy = 173 A/m² et ReDh =

2.000, dans les basses fréquences. .................................................................................................... 150

FIGURE 4.14 : Sensibilité à la formulation du terme de vitesse relat j

moy = 173 A/m² et ReDh = 2.000, dans les basses fréquences. Ici, seule la valeur du coefficient de

diffusion -partie 3.3.2 sont

montrés à titre de comparaison. ........................................................................................................ 152

XV Table des tableaux

TABLEAU 2.1 : Réglages numériques correspondant aux expérimentations de Boissonneau et

Byrne [65].............................................................................................................................................42

TABLEAU 3.1 : Paramètres numériques du code DNS pour le suivi Lagrangien

un panache virtuel. .............................................................................................................................. 93

TABLEAU 3.2

TABLEAU 3.3 ctions

et .......................................................................................................................................................102

TABLEAU 3.4 bilité au maillage dans la direction TABLEAU 3.5 : Paramètres numériques du code DNS pour la visualisation de la répartition des

inclusions gazeuses dans le panache. ............................................................................................... 110

TABLEAU 3.6 : Paramètres de la DNS pour les cas HDF (2nde ligne) et BDG (3ème ligne) ........... 112

XVII

Table des notations

Grandeurs se référant à

-3)

Potentiel standard (V)

-1)

Fractions de ou dissouts

transformés en gaz

Nombre de Faraday réduit

(V -1) -2) -2) -2) -1)

Constante de vitesse standard de

-1)

Constante électronique (V)

Surtension (V)

-1) -1) Potentiel électrique (V) ou de la

Coefficient de transfert ou de symétrie

Grandeurs se référant à la

Coefficient convectif de la perturbation du flux relatif -1) Coefficient convectif de la perturbation du flux relatif modifié -1)

Capacité de double couche (F)

Amplitude de la perturbation de

tension (V)

Fréquence de la perturbation

électrochimique (Hz)

Courant faradique (A)

Amplitude de la perturbation de

courant (A)

Coefficient diffusif de la perturbation

du flux relatif (m2s-1)

Coefficient diffusif de la perturbation

du flux relatif modifié (m2s-1)

Résistance faradique ()

Résistance ohmique du système ()

Résistance de polarisation de

TABLE DES NOTATIONS

XVIII

Résistance du transfert de charge ()

2)

Flux relatif modifié -1)

Impédance totale ()

Impédance de bulles ou de transfert

Déphasage (rad)

Pulsation de la perturbation

électrochimique (rads-1)

Valeurs de la variable

stationnaire

Variation sinusoïdale autour de la

valeur stationnaire de la variable

Grandeurs se référant au transport

de matière -3)

Coefficient de diffusion (m2s-1)

-2s-1)

Vites-1)

Grandeurs se référant au transfert

de chaleur

Température (K)

-1)

Coefficient de diffusion thermique

(m 2s-1)

Flux convectif-s-1)

Grandeurs se référant à la mécanique de fluides Ordres de grandeur du taux de vide et des vitesses dans les directions et

Coefficient de masse ajoutée

Coefficient de trainée. et

se réfère et de Schiller et Naumann de la trainée proche des parois

Diamètre hydraulique (m)

Coefficient anisotrope de pseudo-diffusion

dispersée

Champ de force volumique extérieure -3)

Force de masse ajoutée ou masse

virtuelle (N)

Force résultant des collisions (N)

Force de trainée (N)

Force hydrodynamique (N)

oire de Basset (N)

Force de lubrification (N)

Force de lift (N)

Force appliquée au volume de la bulle

-perturbé (N)

Force de contact de la phase continue

sur la bulle (N) Accélération gravitationnelle terrestre (-2)

Force volumique extérieure due à -3)

Demi-espace interélectrode, longueur

caractéristique de la mécanique (m)

Distance de lubrification (m)

TABLE DES NOTATIONS

XIX

Coefficient de dispersion (m2s-1)

Masse (kg)

Vecteur unité normal dirigé vers

Pression (Pa)

Pression réduite (Pa)

Nombre de Prandtl-équivalent

Vitesse du centre de masse du mélange -1)

Débit en entrée ou en sortie du

domaine de calcul (m 3s-1)

Rayon des bulles (m)

Rayon réduit (m)

Surface de la bulle (m2)

ou de sortie du domaine de calcul (m 2)

Nombre de Rayleigh-équivalent

Nombre de Reynolds basé sur la

vitesse d

Nombre de Reynolds de particule

Nombre de Reynolds basé sur la demi-

hauteur du canal

Nombre de Reynolds basé sur le

diamètre hydraulique du canal

Nombre de Stokes

Temps (s)

Tenseur de contraintes visqueuses (Pa)

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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[PDF] Masse, capacité et unités

[PDF] Masse, volume, masse volumique, densité

[PDF] Masse,volume et pression

[PDF] Masses

[PDF] masses d'atomes

[PDF] Masses d'atomes et autres

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