[PDF] CALCUL LITTÉRAL Yvan Monka – Académie de

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CALCUL LITTÉRAL

Tout le cours sur les développements en vidéo : https://youtu.be/gSa851JJn6c Tout le cours sur les factorisations en vidéo : https://youtu.be/kQGWtMOHbrA

Partie 1 : Somme et produit

Vidéo https://youtu.be/FTi9WOQsq3w

Exemples :

Sommes (ou différence) de termes Produits de facteurs í µ-3 (2í µ+4)+3í µ

5-í µ

-(9+9í µ)

3+(2+3í µ)(í µ-2)

(6í µ+1)×(í µ-1)

2×(1+6í µ)

(8-í µ)×(2+í µ)

3+8í µ

í µ-8

Définitions :

Développer c'est transformer un produit en une somme. Factoriser c'est transformer une somme en un produit.

4-í µ

=4í µ-í µí µ

Partie 2 : Développement

1. Distributivité simple

Exemple :

6(í µ+5)=6í µ+30

Formule de distributivité :

DEVELOPPER

FACTORISER

1 2 1 2

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Méthode : Développer une expression

Vidéo https://youtu.be/S_ckQpWzmG8

Vidéo https://youtu.be/URNld8xsXgM

Développer les expressions suivantes :

A = 4(5+í µ)

B = 5(í µ-2)

C = (4í µ+6)×3

D = -6

-2í µ+4

E = -í µ

2-3í µ

F = -(5-í µ)

Correction

í µ= 4

5+í µ

=20+4í µ í µ= 5(í µ-2) = 5í µ-10

4í µ+6

×3 = 12í µ+18

í µ= -6 -2í µ+4 = 12í µ-24

2-3í µ

=-2í µ+3í µ

5-í µ

=-5+í µ " Un - devant une parenthèse change les signes dans la parenthèse »

2. Double-distributivité

Exemple :

2+5í µ

í µ+4 =2í µ+8+5í µ +20í µ

2 1 3 4 1 2 3 4

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Formule de double distributivité :

Méthode : Appliquer la double distributivité pour développer

Vidéo https://youtu.be/1EPOmbvoAlU

Vidéo https://youtu.be/YS-3JI_z2f0

Vidéo https://youtu.be/o6qVMmA3oTQ

Développer et réduire les expressions :

2í µ+3

í µ+8 -3+í µ

4-5í µ

í µ=2(3+í µ)(3-2í µ) í µ=2í µ

1-í µ

-(í µ-3)(3í µ+2)

Correction

2í µ+3

í µ+8 =2í µ +16í µ+3í µ+24 =2í µ +19í µ+24 -3+í µ

4-5í µ

=-12+15í µ+4í µ-5í µ =-5í µ +19í µ-12 í µ=2

3+í µ

3-2í µ

=2

9-6í µ+3í µ-2í µ

=2 -2í µ -3í µ+9 =-4í µ -6í µ+18

1 1 2 3 4 2 3 4

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr í µ=2í µ

1-í µ

-(í µ-3)(3í µ+2) =2í µ-2í µ -(3í µ +2í µ-9í µ-6) =2í µ-2í µ -3í µ -2í µ+9í µ+6 =-5í µ +9í µ+6

Partie 3 : Factorisation

Méthode : Factoriser une expression (1)

Vidéo https://youtu.be/r3AzqvgLcI8

Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible : +3í µ-5í µ í µ=3í µ

Correction

=1,4í µ =í µ(7-5í µ)=í µ(-4í µ+3)

Méthode : Factoriser une expression (2)

Vidéo https://youtu.be/UGTFELhE9Dw

Factoriser les expressions suivantes :

í µ=3

2+3í µ

-(5+2í µ)(2+3í µ)

2-5í µ

-(2-5í µ)(1+í µ) í µ=5

1-2í µ

-(4+3í µ)(2í µ-1)

Correction

Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun. í µ=3

2+3í µ

-(5+2í µ)(2+3í µ) Le facteur commun est 2+3í µ. =(2+3í µ)(3-(5+2í µ))

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr =(2+3í µ)(3-5-2í µ) =(2+3í µ)(-2-2í µ)

2-5í µ

-(2-5í µ)(1+í µ)

2-5í µ

2-5í µ

-(2-5í µ)(1+í µ) =(2-5í µ)(

2-5í µ

-(1+í µ)) =(2-5í µ)(2-5í µ-1-í µ) =(2-5í µ)(1-6í µ) Lorsque le facteur commun n'est pas immédiatement apparent, il est parfois possible de modifier l'écriture d'un des termes de l'expression pour faire apparaître un facteur commun : í µ=5

1-2í µ

-(4+3í µ)(2í µ-1) =5

1-2í µ

4+3í µ

1-2í µ

=5(1-2í µ)+(4+3í µ)(1-2í µ) =(1-2í µ)(5+(4+3í µ)) =(1-2í µ)(9+3í µ)

Partie 4 : Identités remarquables

Propriété :

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 (a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Exemples :

Vidéo https://youtu.be/A8U1QVW7RaU

í µ+3 +2Ã—í µÃ—3+3 +6í µ+9 í µ-5 -2Ã—í µÃ—5+5 -10í µ+25

2í µ-1

2í µ+1

2í µ

-1 =4í µ -1.

1) Les identités remarquables pour développer

Méthode : Appliquer les identités remarquables pour développer (1)

Vidéo https://youtu.be/U98Tk89SJ5M

Développer et réduire éventuellement :

í µ+3

3í µ-4

í µ=(í µ-3)(í µ+3)

DEVELOPPER

FACTORISER

Illustration géométrique de la 1ère identité remarquable : En considérant les aires dans le carré, on a : (í µ+í µ)!=í µ!+2í µí µ+í µ! Vidéo https://youtu.be/wDAdBXlZNK4

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Correction

í µ+3 +6í µ+3

2í µí µ=2Ã—í µÃ—3

+6í µ+9

3í µ-4

3í µ

-24í µ+4

2í µí µ=2×3í µÃ—4

=9í µ -24í µ+16 í µ-3 í µ+3 -3 -9

2í µ+3

2í µ-3

=(2í µ) -3 =4í µ -9

4-3í µ

3í µ+4

4-3í µ

4+3í µ

=4

3í µ

=16-9í µ Méthode : Appliquer les identités remarquables pour développer (2)

Vidéo https://youtu.be/7va96s4OfiM

Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :

2í µ-3

+(í µ+5)(3-í µ) í µ-3 í µ+3

4-3í µ

Correction

2í µ-3

+(í µ+5)(3-í µ) =4í µ -12í µ+9+3í µ-í µ +15-5í µ =3í µ -14í µ+24 í µ-3 í µ+3

4-3í µ

-9-(16-24í µ+9í µ -9-16+24í µ-9í µ =-8í µ +24í µ-25
=2í µ+6+

2í µ

-3 =2í µ+6+4í µ -9 =4í µ +2í µ-3

2) Les identités remarquables pour factoriser

Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (1)

Vidéo https://youtu.be/T9T4IeYGEe4

Factoriser :

-2í µ+1 í µ=25+16í µ -40í µí µ=4í µ +12í µ+9 í µ=1-49í µ í µ=9í µ -4

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Correction

Retrouvons les termes í µ

2í µí µí µ

des identités remarquables. -2í µ+1 (2 e identité remarquable avec í µ=í µ et í µ=1) í µ-1 í µ=4í µ +12í µ+9(1 re identité remarquable avec í µ=2í µ et í µ=3)

2í µ+3

í µ=9í µ -4 í µí µí µí µí µ2í µí µ (3 e identité remarquable avec í µ=3í µ et í µ=2) =(3í µ-2)(3í µ+2) í µ=25+16í µ -40í µ (2 e identité remarquable avec í µ=5 et í µ=4í µ) =25-40í µ+16í µ

5-4í µ

í µ=1-49í µ í µí µí µí µí µ2í µí µ (3 e identité remarquable avec í µ=1 et í µ=7í µ) =(1-7í µ)(1+7í µ) Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (2)

Vidéo https://youtu.be/nLRRUMRyfZg

Vidéo https://youtu.be/tO4p9TzMrls

Factoriser et réduire :

2í µ+3

-64í µ=1-

2-5í µ

Correction

2í µ+3

-64 (3 e identité remarquable avec í µ=2í µ+3 et í µ=8)

2í µ+3

-8

2í µ+3

-8)((2í µ+3)+8) =(2í µ+3-8)(2í µ+3+8) =(2í µ-5)(2í µ+11) í µ=1-

2-5í µ

(3 e identité remarquable avec í µ=1 et í µ=2-5í µ) =1

2-5í µ

=(1-(2-5í µ))(1+(2-5í µ)) =(1-2+5í µ)(1+2-5í µ) =(-1+5í µ)(3-5í µ)

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