[PDF] Devoir 1 pour le 12 Mars Exercice 1

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L2 MASS41 Algèbre

????B= (e1;e2;e3)??? ???? ??R3?

Soitf2 L(R3)??? ???matB(f) =0

@¡8¡8¡12

¡2 0¡2

9 8 131

A =A? ????X=0 @x y z1 A 2R3?

X2???f()AX= 0()0

@¡8¡8¡12

¡2 0¡2

9 8 131

A0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A 8 :¡8x¡8y¡12z= 0

¡2x¡2z= 0

9x+ 8y+ 13z= 0

()8 :x=¡z

¡8(¡z)¡8y¡12z= 0

9(¡z) + 8y+ 13z= 0

()8 :x=¡z

¡8y¡4z= 0

8y+ 4z= 0

()8 :x=¡z y=¡1=2z z=z

Kerf=V ect0

@0 @¡1

¡1=2

11 A1 A

En posantu=0

@¡1

¡1=2

11 A ? ?? ? ?? ??? ???f=V ect(u)? Commeu??? ??? ???? ?? ??? ???? ????? ????R3?(u)??? ??? ???? ?? ???f?? ?? ?? ?????? ??? ? dim(???f) = 1 dim(R3) = dim(???f) + dim(??f) ???? ?? ?? ?????? ??? ??(f) = dim(??f) = dim(R3)¡dim(???f) = 3¡1 = 2? ??(f) = 2

SoitX=0

@x y z1 A 2R3?

X2??f() 9®;¯;°2R=0

@x y z1 A =0 @¡8¡8¡12

¡2 0¡2

9 8 131

A0 °1 A () 9®;¯;°2R=0 @x y z1 A =0 @¡8®¡8¯¡12°

¡2®¡2°

9®+ 8¯+ 13°1

A () 9®;¯;°2R=0 @x y z1 A =®0 @¡8 ¡2 91
A +¯0 @¡8 0 81
A +°0 @¡12 ¡2 131
A ?? ? ????? ??? ??f=V ect0 @0 @¡8 ¡2 91
A ;0 @¡8 0 81
A ;0 @¡12 ¡2 131
A1 A

ChoisissonsU=0

@¡8 ¡2 91
A ??V=0 @¡8 0 81
A

V?? ???? ??????? ??? ??????? ??????

On a alors que Imf=V ect(U;V)? ????(U;V)????? ? ????? ????? ??? ???? ?? ??f?

Imf=V ect0

@0 @¡8 ¡2 91
A ;0 @¡8 0 81
A1 A

½??f\???f=f0g

R

3=??f+???f

SoitX=0

@x y z1 A

2??f\???f?

On a écrit que Kerf=V ect(u)? ???? ??? ?X2???f() 9a2R=0 @x y z1 A =a0 @¡1

¡1=2

11 A ?? ?????X2??f() 9®;¯;°2R=0 @x y z1 A =0 @¡8®¡8¯¡12°

¡2®¡2°

9®+ 8¯+ 13°1

A 0 @¡8®¡8¯¡12°

¡2®¡2°

9®+ 8¯+ 13°1

A =0 @¡a

¡a=2

a1 A 8 :¡8®¡8¯¡12°=¡a

¡2®¡2°=¡a=2

9®+ 8¯+ 13°=aL

3ÃL3+L1=)8

:¡8®¡8¯¡12°=¡a

¡2®¡2°=¡a=2

®+°= 0

@0 0 01 A ????? ?????? ??? ??f\???f½ f0g? Donc on a bien l'égalité cherchée : Imf\???f=f0g?

Regardons donc les dimensions.

On a la formule suivante :

dim(??f+???f) = dim(??f) + dim(???f)¡dim(??f\???f) ??? ??? ?? ? ??f\???f=f0g????dim(??f\???f) = 0?

On a donc :

dim(??f+???f) = dim(??f) + dim(???f) = 2 + 1 = 3 = dim(R3)

½??f+???f½R3

dim(??f+???f) = dim(R3)? ???? ??f+???f=R3?

Comme on a montré précédemment que Imf\???f=f0g? ?? ???? ???? ?????? ??? ?? ????? ??? ??????? ?

R

3=??f©???f

Montrons queB0= (v1;v2;v3)??? ??? ???? ??R3?

v 1=0 @1 0

¡11

A ; v2=0 @0 ¡6 31
A ; v3=0 @2 1

¡21

A det(v1;v2;v3) =¯

¯¯¯¯¯1 0 2

0¡6 1

¡1 3¡2¯

¯¯¯¯¯= 12 + 0 + 0¡12¡3¡0 =¡36= 0 f(w) =f(¡4e1¡6e2+ 7e3) =¡4f(e1)¡6f(e2) + 7f(e3) =¡4(¡8e1¡2e2+ 9e3)¡6(¡8e1+ 8e3) + 7(¡12e1¡2e2+ 13e3) = 32e1+ 8e2¡36e3+ 48e1¡48e3¡84e1¡14e2+ 91e3 =¡4e1¡6e2+ 7e3 =w f(w) =w =f(e1)¡f(e3) = (¡8e1¡2e2+ 9e3)¡(¡12e1¡2e2+ 13e3) = 4e1¡4e3 = 4(e1¡e3) = 4v1 f(v2) =f(¡6e2+ 3e3) =¡6f(e2) + 3f(e3) =¡6(¡8e1+ 8e3) + 3(¡12e1¡2e2+ 13e3) = 12e1¡6e2¡9e3 = 12(e1¡e3) + (¡6e2+ 3e3) = 12v1+v2 f(v3) =f(2e1+e2¡2e3) = 2f(e1) +f(e2)¡2f(e3) = 2(¡8e1¡2e2+ 9e3) + (¡8e1+ 8e3)¡2(¡12e1¡2e2+ 13e3) = (¡16¡8 + 24)e1+ (¡4 + 4)e2+ (18 + 8¡26)e3 = 0 f(v1) = 4v1 f(v2) = 12v1+v2 f(v3) = 0 A

0=matB0(f) =0

@4 12 0 0 1 0

0 0 01

A

P=PB B0=

0 @1 0 2

0¡6 1

¡1 3¡21

A P

¡1=1

det(P)tcom(P) =¡1 3 t 0 @9¡1¡6

6 0¡3

12¡1¡61

A =1 3 0 @¡9¡6¡12 1 0 1

6 3 61

A P

¡1=0

@¡3¡2¡4

1=3 0 1=3

2 1 21

A A=PB B0:A0:PB0B=PA0P¡1()A0=PB0B:A:PB B0=P¡1AP P

¡1AP=0

@¡3¡2¡4

1=3 0 1=3

2 1 21

A0 @¡8¡8¡12

¡2 0¡2

9 8 131

A0 @1 0 2

0¡6 1

¡1 3¡21

A 0 @¡3¡2¡4

1=3 0 1=3

2 1 21

A0 @4 12 0

0¡6 0

¡4¡9 01

A 0 @4 12 0 0 1 0

0 0 01

A mat

B(f) =0

@¡1¡2 4

¡2 1 2

¡3¡2 61

A =A:

¯¯¯¯¯¡1¡¸¡2 4

¡2 1¡¸2

¡3¡2 6¡¸¯

= (¡1¡¸)(1¡¸)(6¡¸) + 12 + 16 + 12(1¡¸) + 4(¡1¡¸)¡4(6¡¸) = (¸2¡1)(6¡¸) + 28 + 12¡12¸¡4¡4¸¡24 + 4¸ = (¡¸3+ 6¸2+¸¡6) + 12¡12¸ = (¸¡1)(¡¸2+ 5¸¡6)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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