SECOND DEGRE (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme.
SECOND DEGRE (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Résolution dans R de l'équation x2 +2x?3 = 0 : (Par rapport aux formules on a ici : a = 1
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Signe d'un polynôme du second degré ... L'équation x2 +3x +5= 0 n'a pas de solution.
Thème 5: Équations du 2ème degré
Introduction : Une équation du second degré en x est une équation qui peut se 5.1 Équation du 2ème degré (résolution à l'aide de la factorisation).
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction
SECOND DEGRÉ
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. IV. Résolution d'une équation du second degré. Définition : Une équation du second degré est
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction
Mathématiques
Dans la continuité du programme des classes de seconde professionnelle et de CAP le Pour la résolution d'une équation du second degré
SECOND DEGRÉ
I. Fonction polynôme de degré 2
Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec ≠0.Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".Exemples et contre-exemples :
=3 -7+3 -5+ =4-2 -45-2
sont des fonctions polynômes de degré 2. =5-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =5 -7 +3-8 est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM
Soit la fonction f définie sur ℝ par : =2 -20+10. On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : =J(x - J) 2 + J où J, J et J sont des nombres réels. =2 -20+10 =2 -10 +10 =2 -10+25-25 +10 =2 -5 -25 +10 =2 -5 -50+10 =2 -5 -40 ()=2 -5 -40 est la forme canonique de f. car -10 est le début du développement de -5 et -5 -10+25 2Propriété :
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous la forme : +, où et sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.Démonstration :
Comme ≠0, on peut écrire pour tout réel x : =A +B2
C -B2
CD+
=AB+2
C -B2
CD+
=B+2
C4
=B+2
C4
=B+2
C -44
avec =- et = - Remarque : Pour écrire un trinôme sous sa forme canonique, il est possible d'utiliser les deux dernières formules donnant et ... à condition de les connaître !III. Variations et représentation graphique
Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : =2 -1 +3Alors : ()≥3 car 2
-1 est positif.Or
1 =3 donc pour tout x, ≥(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par ()= +, avec ≠0. - Si >0, f admet un minimum pour =. Ce minimum est égal à . - Si <0, f admet un maximum pour=. Ce maximum est égal à . 3Remarque :
Soit la fonction f définie sur ℝ par : ++, avec ≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour=- (voir résultat de la démonstration dans II.) - Si >0: x f I- J - Si <0: x f I- JDans un repère orthogonal
, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.Le point M de coordonnées B-
;I-JC est le sommet de la parabole.
Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation =- 4 Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4
Représenter graphiquement la fonction f définie sur ℝ par +4. Commençons par écrire la fonction f sous sa forme canonique : +4 -4 -4+4-4 -2 -4 -2 +4 f admet donc un maximum en 2 égal à 2 2-2 +4=4Les variations de f sont donc données par
le tableau suivant : On obtient la courbe représentative de f ci-contre. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'une paraboleVidéo https://youtu.be/7IOCVfUnoz0
Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole d'équation =2 -12+1. - La parabole possède un axe de symétrie d'équation =- , soit =- = 3. La droite d'équation =3 est donc axe de symétrie de la parabole d'équation =2 -12+1. - Les coordonnées de son sommet sont : B- ;I-JC, soit :
3;2×3
-12×3+1 3;-17Le point de coordonnées
3;-17 est donc le sommet de la parabole. =2>0, ce sommet correspond à un minimum. 5 IV. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où a, b et c sont des réels avec ≠0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinômeExemple :
L'équation 3
-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté D,égal à
-4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et Propriété démontrée dans le paragraphe II. Méthode : Résoudre une équation du second degréVidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk
Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk
Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE
Résoudre les équations suivantes :
6 a) 2 --6=0 b) 2 -3+ =0 c) +3+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : a = 2, b = -1 et c = -6 donc D = -4 = (-1) 2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ =0 : a = 2, b = -3 et c = donc D = -4 = (-3) 2 - 4 x 2 x = 0. Comme D = 0, l'équation possède une unique solution : c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : a = 1, b = 3 et c = 10 donc D = -4 = 3 2 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme D < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++=0 sont donnés par : =- et =Exercice : Démontrer ces deux formules.
V. Factorisation d'un trinôme
Démonstration :
Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis
On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -Donc :
++=0 peut s'écrire : 9 8 9 8 7 B+2
C -44
=0 B+2
C4
=0 B+2
C4
B+
2
C4
car a est non nul. - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif I <0J, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :B+
2
C =0L'équation n'a qu'une seule solution :
- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par - Si D = 0 : Pour tout réel x, on a : - Si D > 0 : Pour tout réel x, on a : Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de f.Méthode : Factoriser un trinôme
Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8
Factoriser les trinômes suivants : a) 4
+19-5 b) 9quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] math equation help me please
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