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Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

Mathématiques ...nancières

(1-612-96)

Hatem Ben Ameur

HEC Montréal -BAA

Automne 2012

1 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

Contenu

1. Introduction

2. Calcul d"intérêt

2.1 Intérêt simple

2.2 Intérêt composé

2.2.1 Valeur future

2.2.2 Valeur présente

2.2.3 Taux périodique

2.2.4 Durée d"un investissement

3. Équivalence de taux

3.1 Taux équivalents

3.3 Taux continu

4. Flux de paiements

4.1 Flux quelconque

2 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

4.1.1 Valeur future

4.1.2 Valeur présente

4.1.3 Valeur courante

4.2 Flux de paiements égaux

4.2.1 Valeur future

4.2.2 Valeur présente

4.2.3 Valeur courante

5. Annuités

5.1 Introduction

5.2 Annuités simples

5.2.1 Valeur future

5.2.2 Valeur présente

5.3 Paiement d"une annuité

5.4 Taux d"intérêt d"une annuité

5.5 Nombre de versements d"une annuité

5.6 Perpétuités

3 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

5.7 Annuités générales

6. Amortissement

6.1 Introduction

6.2 Amortissement progressif

6.2.1 Nombre de paiements

6.2.2 Tableau d"amortissement

6.2.3 Solde résiduel

6.2.4 Amortissements

6.3 Amortissement unique

6.4 Taux de revient

7. Obligations

7.1 Introduction

7.2 Valeur d"une obligation

7.2.1 Taux exigé sur l"émetteur

7.2.2 Obligation à escompte, au paire et à prime

7.2.3 Valeur entre deux dates de coupon

7.3 Cotation des obligations

4 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

1 Introduction

Un projet d"investissement comprend plusieurs compo- santes : stratégique, ...nancière, commerciale, humaine, managériale et culturelle. Il importe de bien étudier toutes les facettes d"un projet a...n de décider s"il est opportun d"y investir son argent. Sauf que, dans notre cours de mathé- matiques ...nacières, on étudie seulement la composante ...nancière qu"on réduit à des‡ux négatifs(coûts) et des

‡ux positifs(revenus).

Une telle réduction est certes inacceptable mais on y consent pour des raisons purement pédagogiques. On prend le pari d"enseigner les morçeaux du puzzle sépa- remment dans les premières classes et de les intégrer plus tard dans les classes terminales! Pour des besoins de comparaison et de choix entre di- verses alternatives de placement, on a besoin de déplacer les montants dans le temps. Lorsque les montants sont 5 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA valeur présente,actuelleouactualisée. On la note VA (en $). S"ils sont déplacés vers une date future, on parle devaleur future,acquise,capitaliséeoucumulée. On la note VC (en $). Souvent, pour comparer entre deux placements à risque égal, un investisseur (vous-même) ramène les ‡ux (posi- tifs et négatifs) de chaque placement à la date présente. Le placement qui présente lavaleur actuelle nette(VAN) la plus élevée est préférée. Et d"une manière génèrale, un investissement rentableest un investissement avec une

VAN positive.

Pour calculer la VAN d"un projet, il importe d"étudier les deux facettes des ‡ux de paiements : leur ampleur et leur chronologie. L"intérêtest le prix payé pour l"usage des fonds ou encore le coût de location du capital. Lapériode d"intérêtest alors la période séparant deux dates d"intérêt. Le taux 6 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA d"intérêt périodique est l"intérêt payé pour l"usage d"un capital de 1 $ au cours d"une période. La pratique bancaire consiste à coter untaux d"intérêt nominal(composé ou simple mais le plus souvent com- posé) qui couvre une année. On peut alors déduire letaux d"intérêt périodique(semestriel, trimestriel, mensuel et même journalier) en conséquence. C"est le taux d"intérêt périodique qui compte pour le calcul des intérêts. Soitj le taux nominal. Si on convient dempériodes d"intérêt par an, le taux périodique est i=jm où1=mest la durée d"une période d"intérêt (en années).

Convenez que c"est commode.

Exemple 1 :Une banque a¢ che un taux nominal de j= 8%(par an bien entendu). Le taux semestriel est alors de i=j2 = 4%(par semestre). Ici, 1m =12 = 0;5années correspond bien à un semestre. 7 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

2 Calcul d"intérêt

2.1 Intérêt simple

On considère un emprunt à taux simple où le capital et les intérêts sont à rembourser aprèsnpériodes. La valeur cumulée VC naprèsnpériodes d"intérêt par un capital initialM=VA (en $) est VC n=M(1 +ni) =VA(1 +ni)(en $), oùiest le taux périodique (simple). Le schéma temporel suivant justi...e ce résultat M

0 1 2n

M+iM+iM++iM..

Exercice 2 :Une ...rme emprunte 1000 $ au taux simple de 8% par an. Le capital et les intérêts sont à rembourser 8 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA dans 3 ans. Calculez le montant à rembourser à la ...n de la 3 ièmeannée? Décomposez ce montant en capital et intérêts.

Solution :Dans ce cas, le capital estM=VA= 1000$,

le taux périodique (simple) esti= 8%(par an) et le nombre de périodes d"intérêt estn= 3, ce qui donne une valeur future de VC

3=VA(1 +ni)

= 1000(1 + 38%) = 1000(1 + 0;24) = 1240$. Cette valeur acquise en 3 ans, soit 1240 $, se décompose en 1000 $ de capital et de 240 $ d"intérêt. 9 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

2.2 Intérêt composé

2.2.1 Valeur future

On considère un emprunt à taux composé où le capital et les intérêts sont à rembourser aprèsnpériodes. La valeur future aprèsnpériodes par un capital initial deM(en $) est VC n=M(1 +i)n(1) =VA(1 +i)n(en $), oùiest le taux périodique (composé). Le schéma temporel suivant justi...e la formule (1)

0 1 2.........

M M+iM M(1 +i) +iM(1 +i)

=M(1 +i) =M(1 +i)2. Exercice 3 :Une ...rme emprunte 1000 $ au taux nominal composé de 8% (par an). Le capital et les intérêts sont à 10 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA rembourser après 3 ans. Calculez le montant à rembourser

à la ...n de la 3

ièmeannée. Décomposez ce montant en capital et intérêts. Comparez avec l"exercice précédent.

Solution :Dans ce cas, le capital estM=VA= 1000$,

le taux périodique esti= 8%(par an) et le nombre de périodes d"intérêt estn= 3, ce qui donne une valeur acquise de VC

3=VA(1 +i)3

= 1000(1 + 8%)3 = 1259;71$. Cette valeur acquise en 3 ans, soit 1259,71 $, se décom- pose en un capital de 1000 $ et des intérêts de 259,71 $. Comme l"intérêt est composé dans ce cas, le loyer de l"ar- gent est plus élevé que dans le cas de l"intérêt simple (voir exemple précédent). La fonction Excel VC (comme valeur cumulée) fournit directement le résultat. 11 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA Exercice 4 :Une ...rme emprunte 1000 $ au taux nominal de 8% capitalisé semestriellement. Le capital et les inté- rêts sont à rembourser après 3 ans. Calculez le montant

à rembourser à la ...n de la 3

ièmeannée. Décomposez ce montant en capital et intérêts. Comparez avec l"exercice précédent.

Solution :Dans ce cas, le capital estM=VA= 1000$,

le taux nominal estj= 8%(par an), le taux semestriel (composé) esti=82 % = 4%(par semestre) et le nombre de périodes d"intérêt estn= 6, ce qui donne une valeur acquise de VC

6=VA(1 +i)6= 1000(1 + 4%)6

= 1265;32$. Cette valeur acquise en 3 ans, soit 1265,32 $, se décom- pose d"un capital de 1000 $ et d"intérêt de 265,32 $. L"in- térêt à payer est plus élevé dans le cas d"une capitalisation semestrielle par rapport à une capitalisation annuelle car on capitalise l"intérêt plus fréquemment. 12 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA On dé...nit lefacteur d"accumulationcomme la valeur dans un an de 1 $ placé aujourd"hui au taux périodique composéi=jm , soit f m= (1 +i)m. Exercice 5 :Calculez le facteur d"accumulation pour un taux semestrieli= 4%.

Solution :Le facteur d"accumulation est

f

2= (1 + 4%)2

= 1;0816$. Un montant de 100 $ aujourd"hui est équivalent à un par an avec une capitalisation semestrielle des intérêts.

2.2.2 Valeur présente

La formule (1) peut aussi s"écrire

VA=VCn(

1 +i)n(en $), (2)

13 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA isolant ainsi la valeur actuelle. par an composé semestriellement pour des placements de longue période. Combien faut-il placer aujourd"hui pour disposer d"un capital de 8000 $ dans 15 ans?

Solution :La formule (2) donne

VA=8000(1 + 5%)

30
= 1851;02$. Il faut donc placer aujourd"hui 1851,02 $ et patienter 15 ans pour accumuler 8000 $. Notez bien que ce calcul suppose implicitement que les intérêts semestriels sont réinvestis dans les mêmes conditions tout au long des 15 ans. En d"autres termes, on ne touche pas aux fruits du placement pendant 15 ans. La fonction Excel VA (comme valeur actuelle) fournit directement le résultat. Exercice 7 :On vous propose de placer 10000 $ tout de suite dans un compte fermé contre 13000 $ dans 3 ans. 14 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA Aussi, vous avez la possibilité de placer votre argent dans un compte d"épargne qui rémunére au taux composé de

10% par an. Quel est l"investissement le plus rentable?

Solution :Tout d"abord, si vous cherchez la liquidité, le premier placement ne peut vous convenir. Supposons que vous ne soyez pas sensible à l"horizon d"investissement. On peut calculer la VC de 1000 $ dans 3 ans au taux de

10% par an, comparer avec 13000 $ et choisir. On a

VC

3=VA(1 +i)n

= 1000(1 + 10%)3 = 1331$. Le 2 ièmeplacement est donc meilleur. On peut aussi cal- culer la VA de 13000 $, comparer à 1000 $ et conclure. On a

VA=VC(1 +i)n=13000(1 + 10%)

3 = 9767;09$.

On choisit le 2

ièmeprojet car on peut atteindre 13000 $ avec moins d"argent. 15 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA On dé...nit lefacteur d"actualisationcomme la valeur pré- sente de 1 $ à percevoir dans 1 an, soit 1f m=1(

1 +i)m.

Exercice 8 :Calculez le facteur d"actualisation pour un taux semestrieli= 4%.

Solution :Le facteur d"actualisation est

1f 2=1(

1 + 0;04)2

= 0;92456$ Un montant de 924,56 $ aujourd"hui est équivalent à an avec une capitalisation semestrielle des intérêts.

2.2.3 Taux périodique

Les formules équivalentes (1)-(2) peuvent aussi s"écrire i=VCnVA 1n

1, (3)

16 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA isolant ainsi le taux périodique (composé)i. Exercice 9 :On place 1000 $ durant 1 an. On accumule ainsi 120 $ d"intérêt. Calculez le taux d"intérêt nominal de ce placement sachant que les intérêts sont composés

à chaque trimestre.

Solution :Dans ce cas, on a VA= 1000$, VC4=

1120$ etn= 4. Il vient

i=VCnVA 1n 1 = 2;87%(par trimestre), ce qui donne un taux nominal de j= 4i = 11;49%par an. La fonction Excel TAUX (comme taux périodique) fournit directement le résultat. 17 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA

2.2.4 Durée d"un investissement

Les formules (1)-(3) peuvent aussi s"écrire

n=logVCnVA log (1 +i), (4) isolant ainsi le nombre de périodes d"intérêt. Exercice 10 :On place 1000 $ dans un compte fermé rémunéré à un taux composé de 10% par an. Combien de temps faut-il pour doubler ce montant? Solution :Dans ce cas, on a VCn= 2000$ sauf que le nombrenest inconnu, VA= 1000$ eti= 10%par an.

Il vient

n=logVCnVA log(1 +i) = 7;27années. Il faut approximativement 7 ans et 1 trimestre pour dou- bler la mise initiale. La fonction Excel NPM (comme 18 Hatem Ben Ameur Mathématiques ...nancières HEC Montréal -BAA nombre de paiements d"intérêt) fournit directement le ré- sultat. Si l"horizon d"investissement n"est pas un nombre entier de périodes d"intérêt, la formule (1) reste valable. Exercice 11 :On place 10000 $ le 3 juin 2004 au taux de 4% par an avec une capitalisation semestrielle des in- térêts. Combien aura-t-on accumulé d"intérêt au 15 dé- cembre 2004. Solution :Entre le 3 juin 2004 et le 15 décembre 2004, il y a 195 jours, soit 1,07 semestres. Le format "Date" d"Excel peut être utilisé pour obtenir le nombre de joursquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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