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Géométrie différentielle élémentaire

Frédéric Paulin

Version préliminaire

Cours de première année de mastère

École Normale Supérieure

Année 2006-2007

1

1 Introduction

On peut considérer un objet géométrique selon plusieurs échelles, et les outils d"études

diffèrent alors : infinitésimal←→algèbre linéaire et multilinéaire local←→calcul différentiel global←→géométrie/topologie différentielle asymptotique←→géométrie asymptotique à la Gromov. Une grande partie de ce cours sera consacré au passage de l"infinitésimal et du local au global. Nous supposerons acquis les deux premiers points (voir par exemple [Bou1, Ave, CarH, Die1]), et nous ne parlerons pas du dernier (voir par exemple [Gro1, Gro2]). Dans cet ouvrage élémentaire, nous ne traiterons pas de géométrie riemannienne, ni de

géométrie symplectique, ni de géométrie de contact, qui sont traditionnellement des cours

de seconde année de mastère (voir par exemple [GHL, McDS]). Nous n"aborderons pas non

plus certains points plus avancés de géométrie différentielle, comme les fibrés principaux et

les classes caractéristiques, la transversalité et ses applications, ainsi que quelques points sur

les formes différentielles, comme la formule de Kunneth (voir par exemple [BT, Hir, God]).

Nous ne parlerons pas des variétés différentielles à bord, pourtant si utiles en topologie

différentielle (et en particulier, nous n"aborderons pas lasuite exacte d"une paire en coho- mologie de de Rham, voir par exemple [God]). Nous mettrons l"accent d"une part sur les exemples de variétés différentielles, qu"elles viennent en familles ou en points remarquables, d"autres part sur leurs groupes de trans- formations, chers aux physiciens. En ce qui concerne les champs de tenseurs, nous restrein- drons notre étude aux champs de vecteurs et aux formes différentielles. Nous n"aborderons

quasiment pas les spécificités de la géométrie différentielle complexe, pourtant si riche (voir

par exemple [Voi, Laz, BPV]). Pour les aspects de théorie de jauge et d"analyse sur les va-

riétés, qui ont eu un impact important sur la topologie des variétés, avec les travaux par

exemple de Donaldson et de Perelman, nous renvoyons aux textes [Aub, Don, Bes] par exemple. Nous espérons que le plaisir du lecteur dans la découverte deces espaces (les variétés différentielles), ces groupes (les groupes de Lie), ces champs (champs de vecteurs et formes

différentielles) sera renforcé par les très nombreux exercices et problèmes de ce recueil,

issus de trois années d"enseignements à l"École Normale Supérieure. Une partie d"entre eux

est accompagnée d"un schème

1de preuve ou d"indications de résolution, pas forcément

rédigées de manière optimales ni complètes.

Souhaitant revenir aux Éléments d"Euclide, nous dironsporisme(π´oρισμα) au lieu de

corollaire. Remerciements.Une partie des 189 exercices et problèmes, avec leurs solutions, et de nombreuses

corrections, ont été fournis par Sébastien Gouëzel. Je l"enremercie chaleureusement. Je remercie

tous les élèves de l"ENS m"ayant signalé des incorrections dans les premières versions de ce texte.

Je remercie aussi les étudiants de l"Université Paris-Sud,dont François Delgove en 2014, pour leurs

corrections.

1. n.m. (gr.σχημα). Structure d"ensemble d"un processus.

2

Table des matières1 Introduction2

2 Variétés différentielles6

2.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

2.2 Sous-variétés deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 La catégorie des variétés différentielles . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13

Objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Le point de vue des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Exemples de variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19

2.4.1 Exemples triviaux, contre-exemples et culture . . . . .. . . . . . . . 19

2.4.2 Exemples familiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Homéomorphismes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.3 Exemples cruciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Les sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Les variétés grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

2.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 47

3 Fibrés vectoriels64

3.1 Sous-espaces tangents d"une sous-variété deRn. . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66

3.3 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Application tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71

3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.7 Le fibré des formes alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 79

3.8 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 81

Préimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83

3.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 86

4 Champs de vecteurs et feuilletages92

4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Opérations sur les champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 93

4.2.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.2 Multiplication par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 93

4.2.3 Restriction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.4 Image réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.5 Expression d"un champ de vecteurs dans une carte. . . . .. . . . . 95

4.3 Flot local d"un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 96

4.4 Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5 Dérivations et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 101

4.6 Crochets de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 104

4.7 Champs de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.8 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4.9 Théorème de Frobénius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

4.10 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 114

4.11 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 125

5 Groupes de Lie et espaces homogènes155

5.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.2 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.3 Algèbre de Lie d"un groupe de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163

5.4 Champs de vecteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 167

5.5 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 169

5.6 Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . .. . . . . . . . . . 173

5.7 Revêtements et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 176

5.8 Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

Actions continues de groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . .. . 185 Actions différentiables de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 Espaces homogènes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Actions transitives de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 Exemples de variétés homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Variétés quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195

5.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 204

6 Formes différentielles216

6.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216

Structure d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Produit intérieur et dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225 4 Gradient, divergence, rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 228

6.2 Cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Algèbre de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Calcul de la cohomologie des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Autres calculs de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.3 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 247

Intégration dans les ouverts deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Intégration de formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 252 Le théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6.4 Cohomologie à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 258

Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.5 Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262

Cohomologie de de Rham des espaces projectifs réels . . . . . . .. . . 266

6.6 Théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.6.1 Degré d"une application entre variétés de même dimension. . . . . . 267

6.6.2 Indice d"un champ de vecteurs en un zéro isolé. . . . . . . .. . . . . 273

6.6.3 Nombre d"enlacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.7 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 277

6.8 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 290

A Annexes : rappels divers316

A.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 316 A.2 Rappels sur les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 320 A.3 Rappels de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 322 A.4 Rappels sur les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 327 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Revêtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 A.5 Rappels d"algèbre multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 332 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 A.6 Rappels d"algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341 Catégories, foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Complexes de cochaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 A.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 348

Index355

Bibliographie361

5

2 Variétés différentielles

Pour des explications historiques sur l"invention de la notion de variété et ses moti- vations, nous renvoyons aux textes originaux de Riemann [Rie, Spi], H. Poincaré [Poi], E. Cartan [Car], ainsi qu"aux ouvrages d"histoire des mathématiques comme l"excellent [Die4].

2.1 Variétés topologiques

Avant de définir les variétés topologiques, donnons deux résultats de topologie générale.

Pour toutndansN, l"ensembleRnest muni de sa topologie usuelle. Théorème 2.1 (Théorème d"invariance du domaine de Brouwer)SoitUun ouvert deRn, etf:U→Rnune application continue et injective. Alorsf(U)est ouvert, et f:U→f(U)est un homéomorphisme.? En particulier, un ouvert non vide deRnn"est pas homéomorphe à un ouvert non vide deRmsinetmsont distincts. Notons que si l"on remplace " homéomorphe » par "C1-

difféomorphe », alors cette dernière assertion est évidente. Dans le cadre différentiel de ce

cours, le théorème d"inversion locale (voir l"appendice A.3) est en général un outil suffisant

pour remplacer le théorème d"invariance du domaine de Brouwer. Nous admettrons le théorème 2.1. Les preuves les plus naturelles utilisent des outils

élémentaires de topologie algébrique, ce qui constituerait une diversion un peu longue (voir

[God, Spa, Hat, Pau]). Il existe aussi des preuves plus directes, mais moins éclairantes (voir avec précautions la preuve originelle [Brou]). La proposition suivante servira à comprendre les propriétés topologiques globales (qui sont minimes) que nous demanderons aux variétés topologiques. Nous renvoyons à l"ap- pendice A.1 pour les définitions des notions topologiques utilisées. Proposition 2.2SoitXun espace topologique, dont tout point admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d"un espaceRn. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1.Xest séparé et à base dénombrable,

2.Xestσ-compact,

3.Xest dénombrable à l"infini,

4.Xest métrisable séparable,

5. il existe un plongement topologique deXdans?2(R).

Preuve.Un espace topologique séparé dans lequel tout point admet unvoisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d"unRnest localement compact. En particulier, tout point d"un tel espace admet un système fondamental de voisinages fermés métrisables (pour la topologie induite). Il est immédiat qu"un espace localement compact à base dénombrable admet une base dénombrable d"ouverts d"adhérences compactes, donc estσ-compact, et qu"un espaceσ- compact, dans lequel tout point admet un voisinage ouvert qui est à base dénombrable (pour la topologie induite), est à base dénombrable. Donc (1) et (2) sont équivalents. 6 Il est immédiat qu"un espace dénombrable à l"infini estσ-compact, et qu"un espace localement compact etσ-compact est dénombrable à l"infini. Donc (2) et (3) sont équiva- lents. L"espace de Hilbert?2(R)est métrisable et à base dénombrable (l"ensemble des boules ouvertes de rayons rationnels centrées aux suites presque nulles de rationnels est une base dénombrable d"ouverts). Tout sous-espace d"un espace métrisable et à base dénombrable l"est encore. Un espace topologique à base dénombrable est séparable, car si(Ui)i?Nest une base d"ouverts non vides, etxiun point deUi, alors(xi)i?Nest dense. Donc (5) implique (4).

Un espace métrique séparable est séparé et à base dénombrable (en prenant les boules

ouvertes de rayons rationnels centrées aux points d"une partie dénombrable dense). Donc (4) implique (1). Un espace topologiqueX, séparé, à base dénombrable, et dont tout point admet un système fondamental de voisinages fermés métrisables, se plonge dans?2(R). En effet, soit(Ui)i?Nune base dénombrable d"ouverts deX. Nous pouvons supposer que Uiest métrisable (pour la topologie induite), car siJest l"ensemble desitels que

Uiest mé-

trisable, alors(Uj)j?Jest encore une base d"ouverts. Notonsdiune distance sur l"es- pace Uicompatible avec sa topologie. Considérons la fonction?i:X→[0,1]définie par i(x) = min{1,di(x,∂Ui)}sixest dansUiet?i(x) = 0sinon. Il est facile de vérifier que?i est continue et non nulle exactement surUi. Alors l"applicationf:x?→(1 i+1?i(x))i?Nest un homéomorphisme deXsur son image dans?2(R). En effet, l"injectivité découle du fait queXsoit séparé et que(Ui)i?Nsoit une base d"ouverts. La continuité vient du fait que les isoient continues et bornées en valeur absolue par1. Enfin, l"applicationf:X→f(X) est fermée, car siFest un fermé deXet sixn"est pas dansF, alors il existeitel que x?Ui?X-F, et doncd(f(x),f(F))≥?i(x)/(i+ 1)>0. Donc (1) implique (5).? Unevariété topologique(ou par abusvariété) est un espace topologiqueMtel que •l"espaceMsoit séparé et à base dénombrable, •tout point deMadmette un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d"un espace R n. En particulier, par la proposition 2.2, une variété topologique est un espace locale- ment compact, métrisable, séparable, dénombrable à l"infini. Au lieu de demander queM

soit séparé à base dénombrable, nous pourrions demander, demanière équivalente par la

proposition 2.2, queMsoit métrisable séparable. Il est souvent plus facile de vérifier les

conditions séparé à base dénombrable que les conditions métrisable séparable (lorsque l"on

veut montrer qu"un objet est une variété), et c"est pour celaque nous mettons en avant lesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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