[PDF] 1 Combinatoire : 4 points 2 Loi discrète : 4 points

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Université de Nice-Sophia AntipolisLicence Miage 3

Mathématiques2013-2014

Contrôle continu 11 Mars

Durée :1 heure 30

Toutes les réponses doivent être justifiées. Le correcteur attachera de l"importance à la qualité de rédac-

tion. Aucun document autorisé - Calculatrice interdite

1 Combinatoire : 4 points

1.

Combien de nombres à 6 chiffres, sous forme décimale, peut-on former en utilisant seulement les

chiffres impairst1;3;5;7;9u?

Il y a56nombres possibles.

2.

Combien de nombres à 6 chiffres, sous forme décimale, sans0en tête peut on former en utilisant

tous les chiffres de0à9sans qu"un seul des chiffres soit répété?

Il y a9:9:8:7:6:5nombres possibles.

3.

De combien de manière peut on répartir30étudiants en deux groupes, TP1 et TP2, de15étudiants

chacun?

Il y a

30

15façons possibles de répartir30étudiants en deux groupes de15.

4.

De combien de manière peut on répartir60étudiants en quatre groupes, TP1,TP2,TP3 et TP4, de15

étudiants chacun?

Il y a

60

15;15;15;15façons possibles de répartir30étudiants en deux groupes de15.

2 Loi discrète : 4 points

On considère une variable aléatoireXà valeurs danst2;1;0;1;2udont la loi est donnée par le

tableau suivant. k -2 -1 0 1 2 PpXkq 0;1 0;2 p 0;2 0;1 1.

Quelle doit être la valeur dep?

La somme desPpXkqdevant être égale à1, on en déduit quep0;4. 1 2. Quelle est la fonction de répartition deX? Tracer sa représentation graphique. k -2 -1 0 1 2 0;1 0;3 0;7 0;9 1 3.

Quelle est l"espérance deX?

On aEpXq 0.

4. Quelle est la variance deX, quel est son écart-type? PuisqueEpXq 0, on aV arpXq EpX2q EpXq2EpX2q 1;2, d"où? 1;2.

3 Loi binomiale (6 points)

Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d"affranchissements des

courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d"affranchir, au hasard, une proportion

de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.

Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins. Quelle est la probabilité des

événements suivants

1. A : Au moins l"un d"entre eux reçoit une lettre au tarif urgent.

On notep3{5la probabilité qu"une lettre soit affranchie au tarif urgent. La probabilité que chacun

des4médecins reçoive une lettre au tarif normal est doncp1pq4. On en déduit que la probabilité

qu"au moins l"un d"entre eux reçoive une lettre au tarif urgent est donc1 p1pq4 2. B : Exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent. On notep3{5la probabilité qu"une lettre soit affranchie au tarif urgent. La probabilité que exactement deux des4médecins reçoivent une lettre au tarif normal est donc4

2p1pq2p2.

3.

SoitXla variable aléatoire : nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 4 lettres : Quelle est

la loi de probabilité deX, quelle est son espérance, quelle est sa variance?

On aPpXkq n

kpkp1pqnk.

4 Loi géométrique : 8 points

4.1 Rappels

On rappelle que la loi géométrique est la loi suivie par la variable aléatoireXdu nombre de lancers

d"une pièce de monnaie jusqu"à apparition d"un Pile. La loi géométrique de paramètrep, est donnée par

PpXnq p1pqn1p

On rappelle que, pour|x| 1,

8n0xn1

1x 2 et qu"à l"aide de la dérivation, on peut en déduire que

8n0nxnx

p1xq2 1. Montrer que l"espérance d"une loi géométrique de paramètrepest1 p

L"espérance deXestEpXq 8n0np1pqn1pp

p1p1pqq21 p 2.

Montrer quePpX¡nq p1pqn

On aPpX¡nq 8in1p1pqi1ppp1pqn8j0p1pqjpp1pqn1

1p1pq p1pqn

4.2 Problème

SoitX1etX2deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre res-

pectifp1etp2, avecp1;p2Ps0;1r. NotonsYminpX1;X2qle minimum de ces deux variables. 1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoireY?

Xpeut prendre n"importe quelle valeur entière.

2.

SoitnPN. ExprimerPpY¡nqen fonction dep1,p2etn.

3. En déduire la loi deY.Indication : on utilisera le fait quePpYnq PpY¡n1qPpY¡nq. Quelle loi reconnaissez vous, avec quelle valeur de paramètre? Y¡nsignifie queX1¡netX2¡n. Le variablesX1etX2étant indépendantes, on en déduit que PpY¡nq PpX1¡n“X2¡nq PpX1¡nqPpX2¡nq p1p1qnp1p2qn. On en déduit alors quePpYnq PpY¡n1qPpY¡nq p1p1qn1p1p2qn1p1 p

1qnp1p2qn p1p1qn1p1p2qn1p1 p1p1qp1p2qq pp1p2p1p2qp1 pp1

p

2p1p2qqn. La variable aléatoireYminpX1;X2qest donc également une loi géométrique de

paramètrep1p2p1p2. 4.

Application :on a en main deux dés qu"on lance en même temps jusqu"à l"apparition du numéro2.

Quel est le nombre moyen de doubles lancers nécessaires?

La question est équivalent

à lancer deux dés séparément jusqu"à obtention du chiffre2et de considérer le minimum du nombre

des deux lancers. Ici, on ap1p21 6 qui est la probabilité de l"apparition du2lorsqu"on lance un seul dé. Par conséquent,Yest une loi géométrique de paramètrep1p2p1p22 6 1 36
11 36
et donc d"espérance 36
11 soit environ3;3. 5. Quel serait le nombre moyen de doubles lancers nécessaires pour obtenir un double2?

Ici, chaque paire de chiffre a une probabilité

1 36
d"apparaitre et on obtient alors une loi géométrique de paramètrep1 36
. Le nombre moyen de lancers pour obtenir un double2est donc l"espérance de cette variable aléatoire qui est 1 p 36.
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