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UNIVERSITÉ MONTPELLIER II

SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC

École Doctorale Information, Structures, Systèmes

T H E S E

Pour obtenir le titre de

Docteur de l'Université de Montpellier II

Spécialité : DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES

Présentée et soutenue publiquement par

Luiz Marcio SANTOS FARIAS

Le 18 décembre 2010

ÉTUDE DES INTERRELATIONS ENTRE LES DOMAINES

NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DANS

L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AU

SECONDAIRE : Une analyse des pratiques enseignantes en

classes de troisième et de seconde _________________________________________________________________________

Composition du jury :

Monsieur AG ALMOULOUD Saddo ; Rapporteur

Madame ARTAUD Michèle ; Examinateur

Madame ASSUDE Teresa ; Présidente du Jury

Monsieur KUZNIAK Alain ; Rapporteur

Monsieur BRONNER Alain ; Directeur

Thèse préparée au sein du LIRDEF

N° attribué par la bibliothèque

" Quem mata o que não se come

Não perde por esperar »

Antônio Carlos e Jocafi

En écoutant parler, je pourrais comprendre

Voyant faire, je pourrai saisir

En faisant, j'apprends et donc, c'est plus difficile d'oublier.

REMERCIEMENTS

Ayant enseigné pendant de nombreuses années au Brésil sans avoir eu de " formation en didactique des mathématiques », j'ai ressenti le besoin de développer une

recherche dans le domaine de la Didactique des Mathématiques. Pour cela, j'ai été

accueilli, en France, par le laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique Education et Formation (LIRDEF) et l'Institut Universitaire de Formation des Maîtres de l'Université de Montpellier II dans lequel le laboratoire a ses locaux. J'ai travaillé sur un sujet de thèse qui ne pouvait manquer d'être passionnant car répondant à des questions

socialement vives, mais qui s'est révélé pour moi parfois difficile et même douloureux à

explorer, car il renvoyait à des questions épineuses, d'antan ou historiques ou de faits actuels. Je voudrais ici remercier très chaleureusement Alain Bronner qui, tout en dirigeant

avec compétence mon travail, a su tenir compte des difficultés que j'ai rencontrées, ce qui,

de ce fait, m'a aidé à les affronter. Là, bien sûr, ne s'arrêtent pas les remerciements que je

lui adresse : j'ai beaucoup appris, à la fois, des nombreuses séances de travail - toujours très riches - que nous avons eues ensemble et des différents travaux qu'il m'a suggéré d'effectuer. Ses compétences scientifiques et la confiance qu'il m'a manifestée, jointes à

un engagement fort et une disponibilité à toute épreuve, ont permis à cette thèse de

s'élaborer au fil du temps. J'adresse mes plus vifs remerciements aux membres du jury : Merci à Madame Michèle Artaud, Madame Teresa Assude, Monsieur Saddo Ag Almouloud et Monsieur Alain Kuzniak d'avoir accepté de faire partie de ce jury. Je tiens à remercier très sincèrement les membres du laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique Education et Formation (LIRDEF) pour m'avoir accueilli dans

leurs locaux lors de ma thèse. J'adresse mes remerciements, tout particulièrement, à

Madame Dominique Bucheton et à tous les membres de l'équipe ERES, au sein de laquelle j'ai effectué cette recherche. Je remercie Monsieur Jean-Michel Dusseau, responsable d'équipe, les chercheurs, Madame Mirène Larguier, Madame Muriel Guedj, Monsieur Jean-François Favrat, les doctorants et les jeunes chercheurs Nathalie, Dominique, Oumar pour leurs soutiens et nos discussions qui ont tellement fait avancer ma recherche. Je remercie aussi Madame Marlène Lasne, Madame Nayma Romy, Madame Amel Salhi pour toute leur aide. Je suis profondément reconnaissant à Madame Brigitte Villers et à Monsieur Jacques Sicard pour avoir toujours trouvé du temps pour m'aider dans les corrections dans ce travail. Je remercie aussi Madame Henriette Chevallier, Monsieur Edmond Prunier et

Monsieur Bernard Prudhomme.

Je souhaite remercier aussi les enseignants pour avoir accepté les observations à propos de ce travail. Merci aussi aux élèves y ayant participé. J'aimerais remercier également l'Institut des Mathématiques de l'Université Catholique de Salvador pour le soutien, depuis le Brésil, au cours des années de mes études en France. Mes remerciements s'adressent, en particulier, à Monsieur Antônio dos Santos Filho, Madame Maria Auxiliadora Lisboa Moreno Pires et à Madame Maria das Graças Auxiliadora Fidelis Barboza qui m'a, la première, proposé de commencer une recherche. C'est sûrement grâce à elle que je suis parti pour la France. Mes remerciements s'adressent aussi au Gouvernement Brésilien, notamment, à CAPES, au Gouverneur de l'État de Bahia, Monsieur Paulo Ganem Souto, à la Rectrice de l'Université de l'État de Bahia, Madame Ivete Alves do Sacramento et au commandement

de la Police Militaire de l'État de Bahia, pour m'avoir donné une opportunité d'étudier en

France.

J'aimerais remercier encore mes parents, mes frères, mes soeurs et mes amis au Brésil et en France, dont le soutien constant m'a été précieux : Samuel, Nilza, Heverton, Chico, Ana

Paula, Bernard, Marie-Laure, Vincent, Stéphanie, Cédric, David, Laurent,... Ils ont su

trouver les moyens et les mots pour me soutenir pendant ces années de thèse. Un grand merci à Tia Maria, Tia Carminha et Tio Deraldo pour m'avoir épaulé,

sans faillir, au cours de mes différentes années de thèse, pour m'avoir aidé dans les

moments les plus épineux de mon travail. Merci... Pour terminer, je voudrais remercier mes enfants Maria et Victor, et mon épouse, Virginia, qui ne savent, que trop, ce que veut dire " absence en présence ». Ils m'auront

soutenu, chacun à sa façon, mais en permanence et sans jamais rechigner, durant ces

nombreuses années pendant lesquelles notre vie familiale a été quelque peu perturbée.

Qu'ils en soient, ici, une fois encore, plus que remerciés.

TABLE DES MATIERES

PARTIE A....................................................................................................................21

CHAPITRE A1: PROBLEMATIQUE.........................................................................22

1 INTRODUCTION AU CONTEXTE DE RECHERCHE......................................22

1.1 La discipline mathématique...................................................................................22

1.2 Les raisons d'être..................................................................................................23

1.2.1 Une pratique problématique..................................................................................23

1.2.2 Une situation révélatrice......................................................................................23

1.3 Nos premières questions dans le champ didactique................................................25

2 RECHERCHES ANTERIEURES..........................................................................26

2.1 Les agrégats..........................................................................................................27

2.1.1 Les agrégats de connaissances et de situations......................................................27

2.1.1.1 Les agrégats formels...........................................................................................27

2.1.1.2 Les agrégats fonctionnels...................................................................................28

2.2 Les cadres et les registres......................................................................................28

2.2.1 Cadres.................................................................................................................28

2.2.2 Registres.............................................................................................................28

2.3 Conceptualisation des objets mathématiques.........................................................29

2.3.1 Schème et Concept..............................................................................................29

2.4 Interactions du savoir............................................................................................29

2.4.1 Les assortiments didactiques................................................................................29

2.4.2 Les assortiments..................................................................................................30

2.5 Vers les praxéologies............................................................................................31

3 PROBLEMATIQUE...............................................................................................31

3.1 L'état de lieux du NAG dans l'EMS......................................................................31

3.1.1 Les domaines mathématiques...............................................................................32

3.1.1.1 Le numérique.....................................................................................................32

3.1.1.2 L'algébrique......................................................................................................32

3.1.1.3 Le géométrique..................................................................................................33

3.1.2 Dans les programmes...........................................................................................33

3.1.2.1 Au collège..........................................................................................................34

3.1.2.2 Au lycée............................................................................................................35

3.1.3 Une importance accordée aux interrelations.........................................................36

3.1.4 Objet d'étude.......................................................................................................37

3.1.4.1 Le champ de recherche.......................................................................................37

3.1.4.2 Les domaines mathématiques étudiés et leurs interrelations...............................37

3.1.5 Questions de la recherche et hypothèses...............................................................38

3.1.5.1 Hypothèses de recherche....................................................................................39

CHAPITRE A2 : CADRE THEORIQUE.....................................................................41

4 CHANGEMENTS DE CADRES ET DE REGISTRES.........................................41

4.1 Cadres...................................................................................................................41

4.2 Registres de représentations sémiotiques...............................................................41

5 LA THEORIE ANTHROPOLOGIQUE DU DIDACTIQUE...............................43

5.1 La TAD et les mathématiques...............................................................................43

5.2 Une écologie pour le savoir...................................................................................43

5.3 La transposition didactique....................................................................................45

5.4 Le rapport personnel et institutionnel....................................................................46

5.5 Les praxéologies...................................................................................................47

5.6 Les cadres et la TAD.............................................................................................48

6 LE FILTRE DU NUMERIQUE.............................................................................50

6.1 Le type de nombre.................................................................................................50

6.2 Les opérateurs.......................................................................................................50

6.3 Les comparateurs..................................................................................................51

6.4 Le filtre.................................................................................................................51

CHAPITRE A3 : METHODOLOGIE..........................................................................53

7 METHODOLOGIE GENERALE..........................................................................53

7.1 Partie B : Éléments historiques et épistémologiques..............................................53

7.2 Partie C : Analyse institutionnelle.........................................................................53

7.3 Partie D : Analyse des pratiques............................................................................54

7.4 Partie E : Analyse des interviews des enseignants..................................................54

8 CHOIX ET PROCEDURES METHODOLOGIQUES.........................................54

8.1 Les observables, le recueil de données et les outils................................................55

8.1.1 Les classes...........................................................................................................55

8.1.2 Les enseignants....................................................................................................56

8.1.3 Description des classes........................................................................................57

8.1.3.1 La troisième.......................................................................................................57

8.1.3.2 La seconde........................................................................................................58

8.1.4 La procédure........................................................................................................59

8.1.5 Les observables...................................................................................................60

8.1.5.1 L'ensemble des observations au collège.............................................................61

8.1.5.1.1 L'ensemble des observations du premier trimestre...........................................61

8.1.5.1.2 L'ensemble des observations du deuxième trimestre........................................62

8.1.5.1.3 L'ensemble des observations du troisième trimestre........................................63

8.1.5.2 L'ensemble des observations au lycée...............................................................64

8.1.5.2.1 L'ensemble des observations du premier trimestre..........................................64

8.1.5.2.2 L'ensemble des observations du deuxième trimestre.......................................65

8.1.5.2.3 L'ensemble des observations du troisième trimestre.......................................66

8.1.6 Les dispositifs de recueils de données et les outils................................................67

8.1.6.1 Le dispositif.......................................................................................................67

8.1.6.2 Les outils...........................................................................................................68

8.2 Conclusion............................................................................................................70

PARTIE B.....................................................................................................................71

CHAPITRE B1:ASPECTS HISTORIQUES................................................................72

9 ASPECTS HISTORIQUES ET EPISTEMOLOGIQUE SUR LES

INTERRELATIONS NUMERIQUES, ALGEBRIQUES ET GEOMETRIQUES.....72

9.1 Les interrelations et le développement des mathématiques....................................72

9.2 Quelques écologies pour les interrelations entre les grands domaines mathématiques........72

9.2.1 Le problème du doublement de volume du cube..................................................72

9.2.2 Les nombres constructibles.................................................................................75

9.2.2.1 Opérations avec les nombres constructibles.......................................................76

9.2.3 Les équations du deuxième degré........................................................................77

9.2.4 Les formulations de Descartes et Hilbert.............................................................78

9.2.4.1 Les constructions géométriques chez Descartes.................................................79

9.2.4.1.1 La multiplication.............................................................................................80

9.2.4.1.2 La division.....................................................................................................80

9.2.4.1.3 L'extraction de la racine carrée......................................................................81

9.2.4.1.4 Les équations.................................................................................................81

9.2.4.2 David Hilbert et l'axiomatisation de la géométrie..............................................82

9.2.4.2.1 Le calcul de l'addition de segments................................................................83

9.2.4.2.2 Le calcul de la multiplication de segments.....................................................83

9.2.4.2.3 Le calcul du quotient de segments..................................................................83

9.3 Analyse praxéologique des éléments historiques...................................................84

9.4 Conclusion............................................................................................................86

PARTIE C....................................................................................................................89

CHAPITTRE C1 : ETUDE DES PROGRAMMES.....................................................90

10 NOTRE QUESTIONNEMENT..............................................................................90

10.1 Une méthodologie basée sur deux approches.........................................................90

CHAPITRE C2 : L'ANALYSES DES PROGRAMMES.............................................92

11 LES PROGRAMMES.............................................................................................92

11.1 LES PROGRAMMES EN FRANCE.....................................................................92

11.1.1 Le Bulletin Officiel de l'Éducation Nationale......................................................92

11.1.2 Analyse des programmes au collège...................................................................93

11.1.2.1 Une vue générale des programmes au collège en France...................................93

11.1.2.1.1 La sixième......................................................................................................93

11.1.2.1.2 La cinquième.................................................................................................95

11.1.2.1.3 La quatrième..................................................................................................95

11.1.2.1.4 La troisième...................................................................................................96

11.1.2.2 Utilisation générale du NAG au collège............................................................97

11.1.3 Analyse des programmes au lycée......................................................................97

11.1.4 Les programmes par niveau................................................................................97

11.1.4.1 La Seconde.......................................................................................................98

11.1.4.2 La Première......................................................................................................98

11.1.4.3 La Terminale....................................................................................................99

11.1.5 Utilisation générale du NAG au lycée.................................................................99

11.1.6 Conclusion de l'analyse des programmes............................................................99

PARTIE D..................................................................................................................103

CHAPITRE D1 : PRATIQUES D'ENSEIGNEMENT..............................................104

12 LA PRATIQUE.....................................................................................................104

12.1 Une première notion............................................................................................104

12.1.1 En vue d'une définition de la pratique...............................................................104

12.1.1.1 Une pratique dans un métier évolutif...............................................................104

12.1.1.2 La recherche et la pratique pédagogique contemporaines................................105

12.1.1.3 Les dimensions de la pratique.........................................................................105

12.1.1.4 Quelques définitions de la pratique.................................................................106

12.1.2 Notre définition de la pratique.........................................................................107

CHAPITRE D2 : METHODOLOGIE GENERALE.................................................108

13 CADRE THEORIQUE ET METHODOLOGIE D'ANALYSE..........................108

13.1 Cadre théorique...................................................................................................108

13.1.1.1 Les praxéologies.............................................................................................109

13.1.1.2 Les organisations mathématiques et didactiques.............................................111

13.1.2 Le filtre du numérique......................................................................................111

13.2 Méthodologie d'analyse des séances...................................................................111

13.2.1 La trame...........................................................................................................112

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