[PDF] Classification maths 16 févr. 2009 Enfin

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Comment classer les questions de mathématiques ? Antoine Bodin IREM de franche-Comté Document de travail Sommaire Sommaire...........................................................................................................................................................1 1. Introduction.........................................................................................................................................2 2. Une classification des types de problèmes et d'exercices.................................................................3 3. Forme des questions............................................................................................................................3 4. Vers une liste de critères et exemples de bases d'énoncés................................................................4 5. Classement par contenus....................................................................................................................5 5.1 La classification MSC (Mathematics Subject Classification)......................................................................5 5.2 Une classification plus modeste...................................................................................................................6 5.3 La classification TIMSS...............................................................................................................................6 5.4 Classement par "grandes idées" et par problématiques...............................................................................7 6. Classement selon l'âge ou le niveau scolaire.....................................................................................7 7. Classement selon les objectifs contrôlés............................................................................................8 8. Classement selon la difficulté.............................................................................................................8 8.1 Approche classique......................................................................................................................................9 8.2 Approche " théorie des réponses aux items »..............................................................................................9 9. Classification selon le niveau de mathématisation attendu...........................................................11 10. Classification selon les activités et les processus sollicités.........................................................11 11. Classement selon la complexité....................................................................................................12 11.1 Complexité structurelle..............................................................................................................................12 11.2 La taxonomie de Bloom.............................................................................................................................13 11.3 Une taxonomie pour les mathématiques : la taxonomie de Gras, R..........................................................13 12. Conclusion provisoire...................................................................................................................13 Références et bibliographie.......................................................................................................................15 ANNEXE 1 Les contenus de TIMSS.................................................................................................17 ANNEXE 2 Extrait de la liste de capacités des bases EVAPM et EVAPMIB.................................23 ANNEXE 3 Les démarches sollicitées et les produits attendus de TIMSS......................................25 ANNEXE 4 Les perspectives de TIMSS...........................................................................................28 ANNEXE 5 Les classes de compétences selon PISA........................................................................29 ANNEXE 6 Taxonomie d'objectifs cognitifs de R. Gras.................................................................31 ANNEXE 7 Typologie de l'activité mathématique (R. Gras)...........................................................32 ANNEXE 8 Les processus selon PISA..............................................................................................33

Classification questions - A. Bodin Page 2/38 16/02/09 ANNEXE 9 The Mathematics Subject Classification (MSC) 2000...................................................36 1. Introduction Parmi les "questions de mathématiques", nous classons les problèmes et les exercices qui relèvent, d'une façon ou d'une autre du domaine mathématique : soit qu'ils soient énoncés en langage mathématique, soit que leur traitement puisse faire, d'une façon ou d'une autre, appel aux mathématiques. Parmi ces questions, nous trouvons les grands problèmes qui ont constitué ou constituent encore des défis pour les mathématiciens. Nous trouvons aussi les problèmes résolus depuis plus ou moins longtemps, mais qui peuvent encore, lorsqu'ils sont présentés sous une forme appropriée, constituer des défis pour les élèves, les étudiants , ou plus généralement, le s amateurs de réflexion intellectuelle auxquels ils peuvent être proposés. Enfin, nous trouvons les exercices de mathématiques qui constituent surtout des moyens d'entraînement en terrain connu. Dans ce cas, on sait en général ce qu'il faut faire et, dans une certaine mesure, comment le faire... reste à le faire ! La question qui nous est posée est celle de trouver un système de classement d'un ensemble signifiant de telles questions, système qui pourrait, par exemple, être utilisée par la banque de questions du Kangourou des mathématiques, laquelle comporte plusieurs milliers de questions dont une bonne partie ont déjà été utilisées dans le cadre de cette compétition internationale. Des solutions p artielles existent déjà auto ur de plusieurs banque s de questions et de problèmes, ainsi qu'autour de recherches plus générales sur l'enseignement des mathématiques. Le présent a rticle sera l'occasion de présenter quelques-unes des solutions déjà utilisées et de proposer une classification pouvant répondre à l'originalité de Kangourou. Précisons d'emblée que le Kangourou des mathématiques es t essentiellem ent dirigé vers les élèves de l'enseignement scolaire (de l'élémentaire aux classes terminales des lycées)1. Nous en tiendrons compte dans ce texte, sans pour autant nous interdire des incursions vers les niveaux supérieurs. Devant une telle banque de questions, l'utilisateur pourra vouloir sélectionner des questions mettant en jeu des contenus identifiés, susceptibles de contrôler telles capacités particulières, spécifiés pour un âge ou un niveau scolaire donné, etc... Plutôt que cette entrée de type scolair e, il po urra préférer une en trée par les types de traitements susceptibles d'être mis en jeu ou par les processus mentaux susceptibles d'être activés. Nous qualifierons cette seconde approche d'entrée par l'activité mathématique. Chacune des entrées a évidemment son intérêt et, à notre avis, un système de classification devrait intégrer ces deux entrées. D'autres critères, transversaux à ces deux entrées méritent une attention particulière, il s'agit de la difficulté et de la complexité. L'idée de privilégier un critère particulier, conduisant à un ordre total des questions, n'a d'intérêt que s'il s'agit de préparer une édition imprimée de l'ensemble des questions disponibles. On peut, dans ce cas utiliser plusieurs critères, mais on sera contraint de les emboîter (par exemple : [Domaine mathématique [sous domaine [difficulté [type d'activité [...]]]] Heureusement, le recours à l'informatique permet d'envisager des classements multicritères ne supposant pas un tel ordre mais autorisant chacun à privilégier, éventuellement, le ou les critères de son choix, sans pour autant se désintéresser des autres. On sait bien, d'autre part, que ces critères ne sont pas univoques et que certains d'entre eux (par exemple la difficulté) sont carrément subjectifs. 1 International grades 1 to 12

Classification questions - A. Bodin Page 3/38 16/02/09 Dans cet article, nous allons essayer de clarifier un peu l'ensemble de ces questions. 2. Une classification des types de problèmes et d'exercices Les problèmes et les exercices sont des que stions p osées à une audience plus ou moins lar ge. Les 23 problèmes de Hilbert étaient des questions destinées aux mathématiciens ; les problèmes publiés chaque semaine dans le journal le Mond e so nt destinés à u n large public ; les questions du Kangourou des Mathématiques sont plutôt destinées à des jeunes sous statut scolaire ; ... Mais il faut encore compter avec les problèmes et les exercices donnés dans les examens (fonction contrôle et validation de connaissances), dans les manuels scolaire (fonction aide à l'apprentissage), dans des études telles qu'EVAPM (fonction évaluation),... Une base largeme nt ouverte devra comporter des exercices et des p roblèmes de ces div ers types et un système de classification devrait permettre de retrouver rapidement des énoncés répondant à telle ou telle caractéristique. Une première classification pourrait donc concerner les types d'énoncés selon ce qu'ils suggèrent comme rapport qu'ils sont susceptibles d'établir entre ceux qui s'y soumettent et les mathématiques. Ce rapport concerne-t-il le côté lud ique ou curie ux, la volonté de vainc re des d ifficultés nouvelles, de se lais ser à nouveau étonner par les découvertes que l'on peut faire ? S'agit-il simplement d'apprendre de nouvelles notions en les confrontant aux problèmes qui leur donnent sens ? S'agit-il encore, et simplement, d'entraîner des notions nouvellement ou anciennement étudiées ? Le livre du problème de L'Irem de Strasbourg (cf. références), reprenant des idées de Georges Glaeser, propose une classification des énoncés que nous modifions légèrement ci-dessous. H Exercices d'exposition (pour acquérir des connaissances) H Vrais problèmes (exercices de recherche - pour chercher - éprouver - trouver) H Exercices d'application (pour éprouver la pertinence et l'efficacité de notions nouvellement ou anciennement étudiées) H Exercices d'entraînement (pour entraîner des notions acquises) H Exercices techniques (pour mener à son terme une tâche que l'on sait pouvoir mener, mais en faisant preuve de méthode, de soin et de précision) H Manipulations (pour anticiper, conjecturer,...) H Exercices d'évaluation Cette classification répond à la question du pourquoi : pourquoi proposer tel ou tel exercice ? Elle ne dit rien de plus sur les autres points évoqués au premier paragraphe. Mais nous avons là un premier critère de classification qui nous semble important et qui mérite d'être croisé avec les suivants. 3. Forme des questions Les questions peuvent être ouvertes, semi-ouvertes ou fermées. Elles peuvent être à choix multiples ou autres types d'appariement (QCM). Une QCM peut elle-même être plus ou moins ouverte. La démarche est assez souvent ouverte, tandis que la réponse peut être strictement fermée (réponse à choisir parmi 4 ou 5 réponses bien définies). La présence d'une issue telle que " autre réponse » ou d'autres astuces rédactionnelle permet d'ouvrir la réponse. H Questions ouvertes On considère qu'une question est ouverte lorsque l'énoncé ne comporte aucune indication sur la réponse à trouver. Parmi les questions ouvertes, on peut encore distinguer plusieurs types d'énoncés :

Classification questions - A. Bodin Page 4/38 16/02/09 o Problèmes ou questions dont la réponse n'apparaît pas dans l'énoncé o " Problèmes ouverts » (au sens donné à ce terme par G. Arsac & al. - Cf. références) o Questions type QROC (Questions à Réponses Ouvertes et Courtes) H Questions semi-ouvertes La réponse complète n'apparaît pas dans l'énoncé, mais des éléments sont donnés permettant de situer la ou les bonnes réponses dans un ensemble limité. H Questions fermées Dans ce cas, la réponse est connue ou figure dans une liste de réponses proposées. À noter que la question peut être fermée alors que la démarche est complètement ouverte. Une catégorie particulière de questions fermées concerne les Questions à Choix Multiples et questions d'appariement. Notons qu'une QCM accompagnée de la demande " justifiez votre réponse » n'est pas vraiment une QCM. C'est alors une question semi-ouverte o Les Questions à Choix Multiples et questions d'appariement (fermées) y Question en Vrai-Faux ou en Oui-Non (à éviter résolument, sauf, éventuellement ; lorsqu'il s'agit de mettre à jour des conceptions erronées) y QCM simple (un tronc de question et entre trois et six assertions associées dont une et une seule est vraie) y QCM mullti-réponses (u n tronc de qu estion et entre tro is et six as sertions associées ; chacune d e ces assertions pouvant être vraie ou fausse). y QCM à prise de risque (c'est le cas où il vaut mieux " passer » - Je Ne Sais Pas - que de faire une erreur. C'est encore le cas des QCM à indice de certitude : le " candidat » accompagne sa réponse d'une valeur de certitude comprise entre 0 et 1). 4. Vers une liste de critères et exemples de bases d'énoncés Dans l'introduction, nous avons déjà nommé la plupart des éléments de classement (les critères) que nous allons étudier dans ce texte. Les voici présentés dans un ordre allant des plus évidents et des plus utilisés à des critères moins triviaux. H Les contenus mathématiques en jeu H L'âge ou le niveau scolaire concerné H Les objectifs contrôlés (savoir - savoir-faire) H Le type d'énoncé (cf §3) H La difficulté H Les niveaux de mathématisation H Les activités et les processus H La complexité Ces critères seront définis précisément par la suite, mais avant d'aller plus loin, nous souhaiterions montrer des cas où l'utilisation de ces critères est associée à un moteur de recherche lui même associé à une base d'énoncés. C'est le cas de la base EVAPMIB qui rassemble les questions issues de 15 ans d'études EVAPM (de l'APMEP), ainsi que des que stions provena nt d'autres études à grande échelle.

Classification questions - A. Bodin Page 5/38 16/02/09 Dans cette base, il est possible d'accéder aux questions en croisant les divers critères énoncés ci-dessus. Le lecteur trouvera en annexe quelques questions extraites de cette base qu'il peut consulter directement cette base à l'adresse : http://ctug48.univ-fcomte.fr/evapmib/ Une nouvelle b ase EVAPMTEX est en c ours de ré alisation, complètement sous Tex, ce qui assu re une très bonn e qualité typographique. Cela a été l'occasion d'intég rer les critèr es de PISA2. Ici encore, le lecteur trouvera des exemples de fiches en annexe. Une base importante de plus de 20 000 problèmes a été développée par le département de mathématiques de l'Université du Missouri (USA). Cette base, nommée " 20 000 Problems Under the Sea » est un collationnement des problèmes posés jusqu'en 1990 dans 38 revues mathématiques (dont l'American Mathematical Monthly) et dans 21 compétitio ns nationales et internationales (dont les Olympiades internationales et le concours Putnam). Le niveau des énoncés est assez élevé et correspond au moins, pour de très bon élèves, au niveau de s classes terminales des lycées. Beaucoup parmi les problème s posés s 'adressent plutôt à des étudiants de post-bac. L'intérêt d e cette base est évident, mais il n'y a pas vraiment de système de classification associée, sinon par les sources des problèmes. La recherche proprement dite se fait sur les mots des titres des énoncés, ou plein texte sur les contenus des énoncés. Bien sûr ce système de repérage nous semble tout à fait insuffisant pour l'usage que nous voulons en faire. Cette base est consultable sur le Web à l'addresse : http://problems.math.umr.edu/index.htm Venons en donc à préciser les critères de classement qui nous semblent intéressants. 5. Classement par contenus Le critère de classement auque l on pense en premier lieu est évid emment le d omaine mathématique concerné : arithmétique, algèbre, géométrie, analyse, probabilités, ... On peut affiner en classant les problèmes par sous-domaines : géométrie synthétique, géométrie analytique, géométrie différentielle,... Les notions mathématiques peuvent en effet être classées de cette façon, bien que les recouvrements soient courants, et bien que telle notion classée ici en algèbre sera classée ailleurs en analyse (surtout au niveau de l'enseignement secondaire). 5.1 La classification MSC (Mathematics Subject Classification) Difficile de ne pas évoquer ici cette classification générale qui couvre tous les domaines des mathématiques présentes et passées. Développ ée par l'American Mathematical Socie ty, cette classification peut être consultée et téléchargée sur le site de cette association, à l'adresse : http://www.ams.org/msc/. Les titres des entrées principales s'étalent sur deux pages et le détail de la classification occupe 70 pages. Cette classification serait utile pour classer les problèmes de " 20 000 problems under the sea », mais elle est manifestement trop exhaustive pour ce que nous souhaitons faire. Cependant il sera bon de l'avoir à porté de 2 PISA : " Program International for Student Assessment » - programme de l'OCDE dans lequel plus de 40 pays sont impliqués. Les critères de recherche de la base EVAPMIB

Classification questions - A. Bodin Page 6/38 16/02/09 main lorsqu'il s'agira de trouver des mot-clés relatifs aux contenus relatifs à certains problèmes de niveau élevé. 5.2 Une classification plus modeste Dans la base EVAPMIB, il a été jugé suffisant de classer les contenus en thèmes : H Thème C: Tracés - Constructions géométriques H Thème D: Connaissance et utilisation des théorèmes en géométrie H Thème Y: Géométrie dans le plan muni d'un repère (géométrie analytique) H Thème E: Géométrie de l'espace H Thème N : connaissance des nombres - calcul numérique H Thème A : Calcul littéral - Algèbre H Thème P : Proportionnalité et situations affines H Thème V: Aires - Volumes H Thème S Statistiques et Probabilités H Thème F : Fonctions et Analyse Pour une base plus variée, il pourrait suffire d'affiner et de compléter ces catégories. Telles qu'elles elles conviennent bien pour las mathématiques scolaires. La base " 20 000 Problems Under the Sea » utilise la classification suivante pour les contenus Algebra ; Analysis ; Applied Math ; Combinatorics ; Game Theory ; Geometry ; Higher Algebra ; Linear Algebra ; Number Theory ; Probability ; Recreational Math ; Set Theory ; Solid Geometry ; Statistics ; Symbolic Logic ; Topology ; Trigonometry ; Toutefois, comme EVAPM elle complète en associant à chaque question des mots clés relatifs aux contenus. Le critère de classement " contenus » convient assez bien pour classer les exercices d'application (du cours). Dans ce cas l'étudiant est en effet incité à mettre en oeuvre telle(s) notion(s) particulière(s) identifiée(s) dans tel(s) domaine(s) particulier(s). Mais, sauf à lui interdire de faire preuve d'imagination et de s'aventurer hors du domaine ainsi balisé, pour trouver d'éventuelles solutions personnelles, les procédures de résolution ne sont pas assurées de respecter le classement utilisé. En ce qui concerne les problèmes, il s'agit de situations qui ne sont pas toujours associées à un domaine de contenu bien identifié. Ils peuvent être énoncés en termes non mathématiques ne suggérant pas de contenu mathématique particulier. Les associer à un domaine de contenu est déjà suggérer une démarche particulière de résolution. Il conv ient d'ailleurs de distingue r le langage utilisé dans l'én oncé du p roblème, qui peut relever d' un domaine, et une possible méthode de résolution qui peut, elle, relever d'un autre domaine. Qu'ils soient, ou non, énoncés en termes mathématiques, les problèmes supposent une mathématisation, voire une modélisation qui peut se faire dans des domaines différents. Leur résolution peut alors s'appuyer sur des contenus mathématiques qui dépendent des connaissances de la personne qui traite la question. Autrement dit le contenu n'est pas absolument intrinsèque à la question. 5.3 La classification TIMSS On trouvera en annexe 1 la classification concernant les contenus utilisée dans le cadre de la Troisième Étude Internationale sur l'E nseignement des Mathématiques et des Scien ces de l'IEA. Cette classification a l'avantage d'être indexée, détaillée, et de couvrir l'ensemble des mathématiques scolaires.

Classification questions - A. Bodin Page 9/38 16/02/09 8.1 Approche classique De façon classique, la difficulté d'une question est relative aux personnes et aux groupes de personnes. Telle question, difficile pour quelqu'un qui ne connaît rien à la géométrie projective, et qui, par exemple, sera amené à la traiter dans le cadre de la géométrie euclidienne, sera très facile pour quelqu'un qui pourra faire usage du modèle projectif. La mesure de la difficulté est donc relative à un groupe de personnes et se mesure habituellement par le pourcentage de personnes de ce groupe de référence qui ont su résoudre la question.` Considérons la question suivante. Énoncé 1 On définit une fonction f qui, pour tous les nombres réels x et y, vérifie f (x x y) = f (x) + f (y). Alors, f (1999) vaut :... A) : 0 B) 1 C) 2 D) 1999 E) On ne peut pas calculer f (1999) Question Kangourou Juniors 1999 3,7% de bonnes réponses en seconde, 3,5% en première Pour les élèves concernés, la question est indubitablement apparue difficile (moins de 4% de réussite), même si elle serait d'une facilité déconcertante pour, par exemple, un enseignant de mathématiques de lycée. Le fait que la question paraîtra facile à ces mêmes élèves dès qu'ils auront pris connaissance d'une solution concerne la complexité et non la difficulté de la question. Il leur est facile de comprendre une solution (et peut-être auront-ils même l'impression d'avoir été mystifiés) mais il leur était très difficile d'en produire une. Voici une autre question : Énoncé 2 À chaque nombre entier on applique le processus suivant : si le nombre est pair on le divise par 2, s'il est impair on lui ajoute 5. En commençant avec un nombre impair k, et en répétant le processus 3 fois, on aboutit à 35. Quelle est la somme des chiffres du nombre k ? A) : 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 Question Kangourou Juniors 1999 20% de bonnes réponses en seconde, 32% en première Cette question s'adressant au même public que la question précédente est beau coup mieux réussie. Elle est donc plus facile POUR EUX (on verra plus loin que le second problème doit être considéré comme plus complexe que le premier). Nous convenons alors de donner comme indice de FACILITÉ d'une question, par rapport à un groupe donné, le pourcentage de réussite à cette question obtenue par un échantillon représentatif de ce groupe. Cela suppose évidemment que la question a it pu être expérimentée. Dans le cas contraire, il fa udrait s'abstenir de parler de difficulté (mais on pourra parler de complexité). De nombreuses enquêtes ont montré que les enseignant pouvaient se tromper lourdement sur le niveau de difficulté d'une question. 8.2 Approche " théorie des réponses aux items »

Classification questions - A. Bodin Page 10/38 16/02/09 Il s'agit d'une méthode de traitement des données (résultats d'évalua tions). Cela suppose donc que l'on po ssède des données, et même, des donn ées de masse. Pour une explication rapide du modèle et de son intérêt pour la base de questions envisagée, supposons que l'on ait fait un questionnaire Kangourou 2001 à 10 000 élèves de seconde. On considère alors le score obtenu par ces élèves co mme une mesure de leur compétence en mathématiques (on pourrait d'ailleurs affine r cette mesure en prenant en compte par exemple les notes scolaires de l'année). On note alors θ la variable obtenue (définie sur l'ensemble des candidats) et l'on porte cette variable en abscisses. Étant donné une question particulière Q du questionnaire étudié, on définit la fonction ϕQ par : Pour tout θ, ϕQ (θ) est la probabilité (identifiée pour l'instant à un pourcentage) pour qu'un candidat de compétence θ réussisse la question Q. La courbe obtenue est la courbe caractéristique de la question Q (par rapport à la compétence θ). On compare alors cette courbe à la courbe idéale présentée ci-contre et l'on en déduit les paramètres de la question : indices de difficulté, de discrimination et de pseudo-chance. En particulier, la difficulté est définie ici comme le niveau de compétence (sur une échelle normale réduite) pour laquelle la probabilité de réussite à la question est 0,5 (correction faite pour la pseudo-chance). Continuons avec l'exemple du Kangourou des Mathématiques. Si l'on fait passe r des que stionnaires différents à des élè ves d e niveau scola ire différents, en as surant que deux questionnaires de niveau consécutifs aient une intersection non vide (7 ou 8 questions peuvent suffire), alors il sera possible de définir, par raccordements, une échelle de compétence quasi intrinsèque à l'ensemble des niveaux, et, par quelques calculs de probabilité (application du principe de maximum de vraisemblance) de définir un in dice de difficulté qui ne soit plus fonction des groupes concernés (indice intrinsèque). Cette méthode de traitement des données est utilisée dans lers enquêtes internationales telles que TIMSS et PISA. Elle est aussi utilisée par les grandes banque américaines telles qu'ETS (Educational Testing Service) dont l'influence s'étend au monde entier. 123

0.2 0.4 0.8 1.0 -2-1 Théorie des réponses aux items : modèle à trois paramètres c b f(θ)=c+(1-c) 1 2π a(θ-b) e t 2 2 dt 1 + c 2 a : indice de discrimination (coefficient directeur de la tangente au point d'inflexion b : indice de difficulté c : indice de pseudo-chance

Classification questions - A. Bodin Page 11/38 16/02/09 9. Classification selon le niveau de mathématisation attendu On trouvera en annexe 3 une classification selon les niveaux de mathématisation. Il s'agit de la classification de PISA qui parle alors, abusivement à notre avis, de " classes de compétences ». Nous préférons retenir l'expression " niveau de mathématisation » et ce critère nous paraît tout à fait pertinent. Voici les 3 niveaux H Questions de niveau 1 : Reproduction, définitions et calculs H Questions de niveau 2 : Mise en relation et intégration pour résoudre des problèmes H Questions de niveau 3 : Mathématisation, pensée mathématique, généralisation et compréhension en profondeur Cette classificatio n a un peu l'inconvénient de reco uper ce qui ser a désigné plus loin sous les termes d'activités et de processus, m ais il peut c ons tituer un prem ier indice de la profondeur du travail mathématique attendu. De toutes façons il est clair qu'il est difficile de construire des critères totalement indépendants. 10. Classification selon les activités et les processus sollicités Quel type d'activité mathématique un problème ou un exercice est-il susceptible de déclencher ? Est-il possible de proposer une typologie des types d'activité possible ? C'est ce que fait R.Gras qui propose une liste de 10 types d'activités : 1. CALCULATOIRE 2. CLASSIFICATOIRE 3. CREATIF 4. CRITIQUE 5. HEURISTIQUE 6. LOGIQUE 7. PREDICTIF 8. REINVESTISSEMENT 9. TECHNIQUE 10. TRADUCTIF C'est cette typologie qui est utilisée pour la base EVAPMIB. Elle nous semble particulièrement bien adaptée pour une base d 'énoncés de types variés telle que celle en visagée dans le cadre du Kangourou des Mathématiques. On trouvera le détail de cette typologie en annexe 6. PISA propose sous le nom de " processus » une typologie développée en annexe 8. Cette typologie comporte les catégories suivantes : 1. La pensée mathématique 2. Le raisonnement mathématique 3. La modélisation mathématique 4. Poser et résoudre des problèmes 5. La représentation

Classification questions - A. Bodin Page 12/38 16/02/09 6. Le langage symbolique et formel 7. La communication 8. Les outils et les instruments : Il ne s'agit pas vraiment de processus (voir paragraphe suivant), mais encore de démarches et de types d'activités. Nous utilisons cette typologie dans la nouvelle base EVAPMTEX. Son principal intérêt est son origine et sa diffusion : elle est en effet connue et utilisée dans plus de 40 pays. L'idéal serait une synthèse des deux typologies ci-dessous... 11. Classement selon la complexité Il convient de distinguer au moins deux types de complexité : H La complexité structurelle qui peut concerner la structure de l'énoncé ou la structure des traitements possibles. H La complexité cognitive qui concerne le niveau de l'activité mentale sollicitée (de l'automatisme à la création) Les taxonomies de la complexité dont nous parlerons se veulent hiérarchisées du moins complexe au plus complexe. 11.1 Complexité structurelle Les figures ci-desous monterent des organigrammes de raisonnement et de démonstration des énoncés 1 et 2 du paragraphe 8-1. Bien que la question 1 soit beaucoup plus difficile, pour les élèves considérés, que la question 2, il est clair que le graphe de démonstration de la question 2 est nettement plus complexe que celui de la question 1. La question 2 suppose des pas de raisonnements imbriqués, ce que ne suppose par la question 1. L'inconvénient pour faire de la complexité structurelle un critère de classement est que cette complexité n'est pas mesura ble. Il serait b on cependant d'introduire ce typ e de complexité dans un système de Idée :

prendre y = 0 f(x x 0) = f(0) f(x x 0) = f(x) + f(0) ∀x ∈ IR ∀x ; f(x) = 0

Organigramme solution énoncé 1

Idée :

fixer y et faire varier x

Identifier l'application

2 x pair x + 5x impair x

Par éliminations, seul k = 135 convient

35
30
70
140
65
280
135
130
60

Idée

Penser à remonter la chaîne

Organigramme solution énoncé 2

Classification questions - A. Bodin Page 13/38 16/02/09 classification. Par exemple : H Simple enchaînement de pas de raisonnement et de déduction - nombre de tels pas. H Arbre de raisonnement-déductions a plusieurs branches - nombre de branches - nombre maximum de pas sur une branche. 11.2 La taxonomie de Bloom Nous n'insisterons pas sur cette taxonomie qui est à l'o rigine de beau coup d'autres taxonomies. E n particulier en ce qui concerne les mathématiques, de la taxonomie NLSMA (New Standard for Mathematical Abilities) utilisée pour la Seconde Étude I nternationale sur l' Enseig nement des Mathématiques et d es Sciences de l'IEA. La taxonomie de Bloom a démontré son inadaptation aux mathématiques. Elle place en effet l'analyse après la compréhension et il est bien rare, en mathématiques, que l'analyse de la situation ne constitue pas un préalable à la compréhension. 11.3 Une taxonomie pour les mathématiques : la taxonomie de Gras, R. Cette taxon omie a l'avantage d'avoir é té spéc ifiquement validée pour les mathé matiques au niveau de l'enseignement secondaire (cf références). En voici les titres (voir taxonomie développée en annexe 6). A : connaissances de base Redire, refaire, effectuer , reconnaître, identifier, dans des c ond itions proches de l'enseignement... B : Analyse et traduction décomposer, repérer les éléments, changer de forme, modifier,... C : Compréhension Mettre en relation, interpréter,... D : Synthèse, et créativité Composer, démontrer, faire du neuf,.... E : Critique et évaluation Contrôler, critiquer, réfuter Cette taxonomie peut être recoupée avec le s typologies d' activités, mais e lle concerne davantage le fonctionnement intellectuel. Par ailleurs une activité de type calculatoire, par exemple, peut être menée à différents niveau du fonctionnement cognitif. Des exemples viendront illustrer ce point. Nous utilisons depuis plusieurs années cette taxonomie dans le cadre des études EVAPM et son utilisation a permis de vérifier quelques hypothèses importantes (en particulier la relative indépendance des différents niveaux - dans un sens à préciser). 12. Conclusion provisoire Devant toutes ces entrées possibles, que peut-on conseiller ? Redisons déjà que les moteurs de recherche actuels permettent facilement des recherches plein texte : ainsi on pourra retrouver directement tous les énoncés qui contiennent le mot " asymptote » dans le titre ou dans le corps de l'énoncé.

Classification questions - A. Bodin Page 14/38 16/02/09 Ensuite, la recherche par mots clés, avec une liste non limitative de mots clés concernant les contenus (explicites ou implicites) permet de retrouver les exercices mettant en jeu tel ou tel contenu. Enfin, la recherche multi-critère est aussi facile et permet d'installer des systèmes de critères éventuellement redondants mais dont chacun peut mieux correspondre aux besoins et aux habitudes d'un utilisateur donné. Ainsi il sera possible de trouver les exercices de la base adaptés à de enfants de 13 ans, mettant en jeu la symétrie axiale, impliquant une activité de modélisation, supposant compréhension et créativité (niveau de complexité cognitive), et d'indice de facilité égale ou inférieur à 0,30. En trouvant les énoncés correspondants, s'il en existe, on aura aussi des renseignements sur les objectifs contrôlés, le type d'énoncé et le niveau de mathématisation attendu. Mais il est clair que d'autres modalités de recherche seront possibles. Le présent texte se veut une vue d'ensemble sur les systèmes de classification des énoncés de mathématiques (problèmes et exercices). Cette vue d'ensemble est sans doute incomplète et nous chercherons à la compléter. Nous n'avons pas cherché à faire des choix définitifs qui pourraient s'imposer à qui voudrait organiser une banque d'énoncés, mais plutôt à éclairer les choix qui devront être fait. Nous considérons donc ce texte comme un document de travail préalable à une réflexion qui devrait associer les différentes parties intéressées par la constitution d'une telle banque.

Classification questions - A. Bodin Page 15/38 16/02/09 Références et bibliographie APMEP: 2003 (à paraître), Une approche des contenus d'enseignement par des problématiques pour le second cycle. Arsac, G. ; Germain, G. ; Mante, M. : 1998, Problème ouvert et situation-problème. Irem de Lyon Bodin A. : 1997, L'évaluation du savoir mathématique - Questions et méthodes. Recherches en Didactique des Mathématiques, Éditions La Pensée Sauvage, Grenoble.Bodin, A ; Straesser, R. ; Villani, V.: 2001, Niveaux de référence pour l'enseignement des mathématiques en Europe - Rapport international Reference levels in School Mathematics Education in Europe - International report http://www.emis.de/projects/Ref/ Bodin A.: 1993, 'What does to assess mean', Investigations into Assessment in Mathematics Education, An ICMI Study (ed Mogens NISS) - Kluwer Academic Publishers - Dordrecht Bodin, A : 1998, Reference Levels in Mathematics for European Union Countries Bodin, A : 2000, Vers des niveaux de référenc e en mathématiques,pour les pays d e la Communauté Européenne, Bulletin de l'APMEP, N°426, pp 61-77 Bodin, A. : 1996, 'Mesures pour le système éducatif' Actes des 7emes Entretiens de la Villette, 148-160, Centre National de Documentation pédagogique, Paris Gras R. : 1977, Contributions à l'étude expérimentale et à l'analyse de certaines acquisitions cognitives et de certains objectifs didactiques en mathématiques - Thèse- université de RENNES. Index to Mathematical Problems 1975-1979 edited by Stanley Rabinowitz and Mark Bowron (2002) Index to Mathematical Problems 1980-1984 edited by Stanley Rabinowitz (1992) Irem de Strasbourg : 1973, Le livre du problème - tomes 1 à 6 - Cedic Jaworski, B & Phillips, D. (ed) : 1999 , Comparing Standards Internation ally, research and pratice in mathemùatics and beyond, Syposium Books, Cambridge University Press, UK OCDE : 2000, Mesurer lesconnaissances et compétences des élèves. Lecture, mathématiques et sciences : l'évaluation de PISA 2000 (also in English). OECD : 1999, Measuring Student Knowledge and - The PISA 2000 Assessment of Reading, Mathematical and science litteracy - Education and Skills (also avalable in French). OECD : 2001, Knowledge and skills for life - first results of PISA 2000 (OECD Programme for international Student Assessment) - OECD - PARIS (also avalable in French). Steen, L. A (ed) : (1990), On the shoulders of the giants - new approaches to numeracy. National Academic Press (Washington) APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) Brochures EVAPM, contenant les épreuves, les résultats et les analyses des évaluations des programmes de mathématiques menées par l'APMEP (BODIN. A., et All ) : EVAPM6/87 - Evaluation du programme de Sixième 1987 (Paris 1987) EVAPM5/88 - Evaluation du programme de Cinquième 1988 (Paris 1988) EVAPM6/89-5/90 - Compléments 1991 des évaluations Sixième et Cinquième EVAPM4/89 - Evaluation du programme de Quatrième 1989 (Paris 1989) EVAPM3/90 - Evaluation du programme de Troisième 1990 (Paris 1990) EVAPM4/91-3/92 - Compléments 1991 des évaluations Sixième et Cinquième EVAPM2/91 - Evaluation du programme de Seconde 1991 (Paris 1991) EVAPM1/93 - Evaluation des programmes des classes de Première 1991 (Paris 1997) EVAPM Terminale 99 - Evaluation des programme des classes terminales (Paris 1999 - 2003) Sites Web Base EVAPM : http://ctug48.univ-fcomte.fr/evapmib/ 20 000 problems under the sea : http://problems.math.umr.edu/index.htm

Classification questions - A. Bodin Page 16/38 16/02/09 EMS référence levels in school mathematics : http://www.emis.de/projects/Ref/

Classification questions - A. Bodin Page 17/38 16/02/09 ANNEXE 1 Les contenus de TIMSS (Troisième Étude Internationale sur l'Enseignement des Mathématiques et des Sciences de l'IEA) Traduction A. Bodin 1.1 Nombres 1.1.1 Nombres entiers naturels (cf introduction) 1.1.1.1 Signification (utilisation des nombres, numération de position, classement et comparaison des nombres) 1.1.1.2 Opérations (addition, soustraction, multiplication, division ; calculs impliquant plusieurs de ces opérations) 1.1.1.3 Propriétés des opérations (commutativité, distributivité, etc..) 1.1.2 Écritures fractionnaires et décimales 1.1.2.1 Fractions ordinaires 3 (signification et représentation de fractions ordinaires, calculs impliquant des fractions ordinaires et des nombres mixtes4) 1.1.2.2 Écritures décimales5 (signification et représentation d'écritures décimales, calculs impliquant des écritures décimales) 1.1.2.3 Relations entre fractions ordinaires et les nombres en écriture décimale (conversions et ordre de fractions et de nombres donnés sous forme décimale) 1.1.2.4 Pourcentages (tous calculs et problèmes impliquant des pourcentages) 1.1.2.5 Propriétés des fractions ordinaires et des nombres écrits sous forme décimale (commutativité, distributivité, etc...) 1.1.3 Nombres entiers relatifs, nombres rationnels, nombres réels 1.1.3.1 Nombres négatifs, entiers relatifs, et leurs propriétés 1.1.3.2 Nombres rationnels et leurs propriétés (nombres rationnel dont l'écriture décimale est finie, nombre rationnel à écriture décimale infinie et périodique à partir d'un certain rang 6. 1.1.3.3 Nombres réels, leurs sous-ensembles, et leurs propriétés 1.1.4 Autres nombres et concepts numériques 1.1.4.1 Écriture des nombres et calculs en base 2 et/ou dans d'autres bases de numération. 1.1.4.2 Exposants, racines et radicaux (exposants entiers, rationnels, réels) 3 Common fractions 4 Mixed number 5 Decimal fraction (cf introduction) 6 Respectivement pour "Terminating decimal" et "Recurring decimal"

Classification questions - A. Bodin Page 18/38 16/02/09 1.1.4.3 Nombres complexes et leurs propriétés 1.1.4.4 Théorie des nombres (nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers, théorie élémentaire des nombres, etc...) 1.1.4.5 Dénombrements (permutations, combinaisons, etc..) 1.1.5 Estimation et sens des nombres 1.1.5.1 Estimation des quantités et des tailles 1.1.5.2 Arrondis et chiffres significatifs 1.1.5.3 Calculs approchés ( calcul mental et vraisemblance des résultats) 1.1.5.4 Exposants et ordres de grandeur 1.2 Mesure 1.2.1 Unités (concept de mesure et d'unités standardisées [ y compris système métrique], utilisation d'instruments adaptés [précision et exactitude], mesures usuelles (longueur, aire, volume, capacité, temps et le calendrier, monnaie, température, masse et poids, angles, quotients et produits d'unités [km/h, m/s, etc...], analyse dimensionnelle) 1.2.2 Périmètre, aire, et volume (concepts de périmètre, d'aire, aire d'une surface, volume, formules pour le calcul des périmètres, des aires, et des volumes) 1.2.3 Estimations et erreurs (estimation de mesures et erreurs de mesure, précision et exactitude des mesures) 1.3 Géométrie : position, visualisation et formes 1.3.1 Géométrie du plan : géométrie analytique7 (repère et coordonnées dans le plan, équations de droites, les coniques et leurs équations) 1.3.2 Géométrie du plan : éléments de base (Points, droites, segments, demi-droites8, angles, parallèles et perpendiculaires) 1.3.3 Géométrie du plan : polygones et cercles (triangles, quadrilatères, leurs classifications et leurs propriétés ; le théorème de Pythagore et ses applications ; autres polygones, cercles, et leurs propriétés) 1.3.4 Géométrie de l'espace (objets et surfaces à trois dimensions et leurs propriétés ; plans et droites dans l'espace ; perception spatiale et visualisation ; coordonnées dans l'espace ; équations de droites, de plans, et de surfaces, dans l'espace) 7 "Coordinate geometry" 8 "Rays"

Classification questions - A. Bodin Page 19/38 16/02/09 1.3.5 Vecteurs 1.4 Géométrie : symétries, isométries9 et similitudes10 1.4.1 Transformations (motifs répétitifs, pavages, frises, reproduction par calque ou autre, etc... ; symétries [par rapport à une droite, symétries de rotation, symétries dans l'espace, symétries en algèbre et formes numériques]11 ; transformations : symétrie et isométries, agrandissements [dilatations], composition de transformations géométriques, groupes de transformations, représentations matricielles de transformations) 1.4.2 Isométrie et similitude (Congruences [triangles isométriques et leurs propriétés ; Côté-Côté-Côté, Côté-Angle-Côté], quadrilatères et polygones isométriques et leurs propriétés, similitude [triangles semblables et leurs propriétés]) 1.4.3 Constructions utilisant la règle plate et le compas 1.5 Proportionnalité 1.5.1 Concepts relatifs à la proportionnalité (notion de rapport et de proportion, proportionnalité directe et inverse) 1.5.2 Problèmes relevant de la proportionnalité (recherche d'un terme d'une proportion dont les trois autres termes sont donnés, résolution de problèmes pratiques impliquant la proportionnalité, échelles [cartes et plans], proportions traduisant la similarité12. 1.5.3 Pente et trigonométrie (pente absolue et pente13 des droites dans le plan muni d'un repère, relations trigonométriques dans le triangle rectangle) 1.5.4 Interpolation et extrapolation linéaire 1.6 Fonctions, relations et équations 1.6.1 Formes numériques14, relations et fonctions (formes numériques, relations et propriétés, fonctions et propriétés, 9 Congruence 10 Similarity 11 Le mot symétrie est utilisé ici dans le sens que lui donne Hermann WEYL dans son classique "Symmetry" 12 Signalons à nouveau que le "théorème de Thalès" tel que nous ne connaissons en France n'existe pas dans de nombreux autres pays 13 Slope and gradient in straight line graphs

Classification questions - A. Bodin Page 20/38 16/02/09 représentations de relations et de fonctions, familles de fonctions [représentations graphiques et propriétés], opérations sur les fonctions, fonctions associées fonction inverse, fonction dérivée, etc...], liens entre fonctions et équations [par exemple zéros de fonctions comme racines d'équations], interprétations de représentations graphiques de fonctions, fonctions de plusieurs variables, récursivité) 1.6.2 Équations et formules (représentation de situations numériques ; solution explicites d'équations simples ; calcul algébrique15) ; expressions équivalentes [factorisation et simplification] ; équations linéaires et leurs solutions générales [solutions dans R] 16 ; équations du second degré et leurs solutions générales [solutions dans R] ; équations polynomiales et leurs solutions ; équations trigonométriques et identités ; équations logarithmiques et exponentielles, et leurs solutions ; solutions d'équations pouvant se ramener à des équations du second degré, équations comportant des radicaux, équations comportant des valeurs absolues etc... ; autres méthodes de résolution des équations [par exemple : approximations successives] ; Inégalités et relations graphiques associées ; systèmes d'équations et leurs solutions [incluant les solutions matricielles]17 ; systèmes d'inégalités ; méthode des variables intermédiaires, réorganisation de formules (!)18 ; équation générale du second degré) 1.7 Représentation de données, probabilités et statistiques 1.7.1 Représentation et analyse de données (recueil de données à partir d'expériences et d'enquêtes simples ; représentation des données ; interprétation de tables, tableaux, représentations graphiques discrètes et continues19 ; types d'échelles [nominal, ordinal, d'intervalles, de rapports] mesures de tendance centrale, mesure de dispersion ; échantillonnage, hasard et biais ; prédiction et inférences à partir de données ; ajustement de droites et de courbes aux données ; corrélations et autres mesures de relations ; bon et mauvais usage des statistiques) 1.7.2 Incertitude et probabilités (probabilités intuitives20 et vocabulaire des probabilités, probabilités numériques et modèles probabilistes, principes de dénombrement, événements mutuellement indépendants, probabilités conditionnelles et événements indépendants, théorème de BAYES, tables de contingence, distributions de probabilité de variables aléatoires discrètes, distributions de 14 Pattern (voir page 1) 15 Pour "operations with expressions" 16 Sens à vérifier : "linear equations and their formal [closed] solutions" 17 Pour "matrix solutions" 18 "substituting or rearranging formulas" 19 "plots and graphs" 20 "informal likelihoods"

Classification questions - A. Bodin Page 21/38 16/02/09 probabilité de variables aléatoires continues, espérance, échantillonnage, estimation des paramètres d'une population, tests d'hypothèse, intervalles de confiance, distributions de variables bi-dimensionnelles, processus de Markov, méthode de Monte Carlo et simulations par ordinateur) 1.8 Analyse élémentaire 1.8.1 Processus infinis (suites arithmétiques et géométriques, séries arithmétiques et géométrique, formule du binôme, autres suites et séries, limites et convergence de suites et de séries, limites et convergence de suites et de fonctions, continuité) 1.8.2 Variations21 (croissance et décroissante, dérivation, intégration, équations différentielles, dérivées partielles) 1.9 Validation et structures 1.9.1 Justification et validation (connecteurs logiques, quantificateurs ["pour tout" ; "il existe"], algèbre de Boole et tables de vérité, propositions conditionnelles, propositions équivalentes [incluant réciproque, contraposée, inverse22, inférences [par exemple modus ponens, modus tollens] ; preuves déductives directes, preuves indirectes et preuves par l'absurde, preuve par induction, cohérence des systèmes d'axiomes) 1.9.2 Abstraction et structures23 (ensembles, notations ensemblistes, opérations ensemblistes, relations d'équivalence, partitions et classes d'équivalence ; groupes, espaces vectoriels ; sous-groupes, sous-espaces, etc... ; autres systèmes d'axiomes [par exemple, géométries finies]) 1.10 Autres contenus 1.10.1 Informatique (fonctionnement des ordinateurs24, organigrammes25, apprentissage d'un langage de programmation, programmes, algorithmes avec applications informatiques, complexité ; histoire et nature des 21 Le mot utilisé est "CHANGE" 22"inverse" : sans doute [non p g non q] est il l'inverse de [p g q] (à vérifier) 23 Pour : "Structuring and abstracting" (à voir) 24 "operation of computers" - traduction à voir 25 "flow chart"

Classification questions - A. Bodin Page 22/38 16/02/09 mathématiques ; applications spéciales des mathématiques [cinématique, mécanique newtonienne, croissance d'une population - modèles discrets ou continus - application de la théorie des graphes, programmation linéaire, analyse du chemin critique26, exemples empruntés à l'économie] ; méthodes de résolutions de problèmes27 ; contenus scientifiques non mathématiques ; contenus non mathématiques et non scientifiques] 26 "critical path analysis" 27 "problem solving heuristics"

Classification questions - A. Bodin Page 24/38 16/02/09 D064 Connaître les propriétés caractéristiques du carré. D065 Connaître les propriétés caractéristiques du parallélogramme. D066 Connaître et utiliser dans une situation donnée le théorème de Thalès relatif au triangle. D067 Connaître et utiliser dans une situation donnée la réciproque du théorème de Thalès appliqué au triangle. D069 Connaître et utiliser, dans le triangle rectangle, les relations entre les longueurs de deux côtés et le cosinus d'un angle. D070 Connaître et utiliser, dans le triangle rectangle, les relations entre les longueurs de deux côtés et le sinus d'un angle, D071 Connaître et utiliser, dans le triangle rectangle, les relations entre les longueurs de deux côtés et la tangente d'un angle. D072 Savoir utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d'un angle et les longueurs des deux côtés adjacents. D073 Connaître et utiliser la conservation de l'alignement, des distances, des angles, dans le cas d'une symétrie orthogonale, explicitement donnée. D074 Connaître et utiliser la conservation de l'alignement, des distances, des angles, dans le cas d'une symétrie centrale explicitement donnée. D075 Connaître et utiliser la conservation de l'alignement, des distances, des angles, dans le cas d'une translation explicitement donnée. D076 Connaître et utiliser la conservation de l'alignement, des distances, des angles, dans le cas d'une rotation explicitement donnée. D077 Savoir relier l'égalité vectorielle au parallélogramme. D080 Connaître et utiliser dans une situation donnée le théorème de Thalès (forme générale). D081 Connaître et utiliser dans une situation donnée la réciproque du théorème de Thalès (forme générale). D082 Connaître et utiliser la forme vectorielle de l'énoncé de Thalès : s... (Théorème direct). D083 Connaître et utiliser la forme vectorielle de l'énoncé de Thalès : (Théorème réciproque dans le cas A = A') D084 Connaître et utiliser la forme vectorielle de l'énoncé de Thalès : ...(Théorème réciproque dans le cas A ≠ A'). D085 Connaître et utiliser la relation de Chasles relative à l'addition des vecteurs. D086 Savoir caractériser vectoriellement le milieu d'un segment. D087 Savoir caractériser le centre de gravité (isobarycentre) d'un triangle ABC : par la relation .... D089 Connaître et utiliser les liens existant entre l'addition vectorielle et le parallélogramme. D090 Connaître et utiliser les liens existant entre un vecteur du plan et la translation correspondante. D091 Connaître et utiliser les liens existant entre l'opposé d'un vecteur et la symétrie centrale. D092 Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour caractériser l'alignement de trois points. D093 Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour caractériser le parallélisme de deux droites.

Classification questions - A. Bodin Page 25/38 16/02/09 ANNEXE 3 Les démarches sollicitées et les produits attendus de TIMSS (Troisième Étude Internationale sur l'Enseignement des Mathématiques et des Sciences de l'IEA) Traduction A. Bodin 2.1 Savoir 2.1.1 Représenter (montrer une connaissance d'une représentation non verbale d'un objet ou d'une procédure mathématique, par sélection ou par construction, de façon formelle ou informelle ; les représentations peuvent être concrètes, iconiques, graphiques , algébriques , etc...) 2.1.2 Reconnaître des équivalences (sélectionner ou construire des objets mathématiquement équivalents [par exemple : écritures fractionnaires ou décimales représentant le même nombre] ; fonctions trigonométriques et développements en série28 équivalents ; représentations équivalentes de concepts - par exemple valeur d'un chiffre suivant sa place dans l'écriture d'un nombre29 ; systèmes axiomatiques équivalents]) 2.1.3 Évoquer les objets et des propriétés mathématiques (objets satisfaisant des conditions données) 2.2 Utilisation de procédures standard 2.2.1 Utilisation d'instruments (utiliser des instruments, utiliser des calculatrices et des ordinateurs) 2.2.2 Exécution de procédures standard (compter et calculer (calculs routiniers) ; représenter graphiquement ; transformer un objet mathématique en un autre par un procédé formel, par exemple, multiplier par une matrice ; mesurer) 2.2.3 Utilisation de procédures plus complexes (estimer pour arriver à une réponse approchée à une question ; recueillir, organiser, présenter, et autres façons d'utiliser des données quantitatives ; comparer et distinguer deux objets, deux quantités, ou deux représentations mathématiques, etc... ; classer des objets ou travailler en prenant en compte les propriétés sous jacentes à un système de classification) 28 "power series" 29 "place value"

Classification questions - A. Bodin Page 26/38 16/02/09 2.3 Recherche de problèmes30 2.3.1 Formuler et clarifier les problèmes et les situations (Formuler ou clarifier un problème lié à la vie courante 31ou autre situation concrète) 2.3.2 Développer des stratégies (développer une stratégie de résolution de problèmes ou une expérience supposant l'organisation du recueil des données et discuter la stratégie utilisée [pas seulement appliquer la stratégie ou conduire à terme l'expérience]) 2.3.3 Résoudre (exécuter une démarche connue ou ad hoc) 2.3.4 Prédire (annoncer un résultat [nombre, forme, etc...] , avant l'exécution d'une opération ou d'une expérience. 2.3.5 Vérifier (déterminer la correction d'une solution de problème ; interpréter les résultats par rapport aux données initiales pour évaluer la sensibilité des résultats aux variations des données, etc..] 2.4 Raisonnement mathématique 2.4.1 Développer des notation et du vocabulaire (développer de nouvelles notations et vocabulaire pour rendre compte des actions et des résultats relatifs à des problèmes à support concrets ou autres) 2.4.2 Développer des algorithmes (développer un algorithme formel pour exécuter un calcul ou pour résoudre un problème de type donné) 2.4.3 Généraliser (étendre le domaine auquel les résultats d'investigations mathématiques et de résolution de problèmes est applicable en énonçant les résultats en termes plus généraux et plus largement applicables) 2.4.4 Conjecturer (faire des conjectures et des conclusions appropriées lors de l'étude de formes et d'organisation, discuter des idées, travailler dans un système d'axiomes, etc...) 30 "Investigating and probleme solving". Toutefois, "problem solving" n'a pas tout à fait le sens que "résolution de problèmes" a pris en FRANCE. 31"related to a real world situation"

Classification questions - A. Bodin Page 27/38 16/02/09 2.4.5 Justifier et prouver produire des preuves de la validité d'une action ou de la véracité d'une proposition en s'appuyant sur des résultats et propriétés mathématiques, ou en s'appuyant sur la logique) 2.4.6 Axiomatiser (explorer un système axiomatique formel en mettant en relation des sous-systèmes, propriétés ou propositions du système ; considérer de nouveaux axiomes et leurs conséquences ; examiner la cohérence des systèmes d'axiomes, etc..) 2.5 Communication 2.5.1 Utilisation de vocabulaire et de notations (utiliser correctement la terminologie te les notations mathématiques) 2.5.2 Représentations associées32 (travailler avec des relations et des représentations mathématiques associées pour montrer les liens entre les idées mathématiques ou des objets mathématiques liés) 2.5.3 Décrire, discuter (discuter un objet mathématique, un concept, une forme, une relation, un algorithme, un résultat, ou un affichage de calculatrice ou d'ordinateur) 2.5.4 Critiquer (discuter et évaluer de façon critique une idée mathématique, une conjoncture, une solution de problème, une méthode de résolution, une preuve,...) 32 Pour "Relating représentations". La description donnée fait penser à "changement" de cadre", mais cette expression serait sans doute trop précise.

Classification questions - A. Bodin Page 28/38 16/02/09 ANNEXE 4 Les perspectives de TIMSS (Troisième Étude Internationale sur l'Enseignement des Mathématiques et des Sciences de l'IEA) Traduction A. Bodin 3.1 Attitudes envers les sciences, les mathématiques et la technologie (encouragement d'attitudes positives envers la science, les mathématiques, et la technologie) 3.2 Carrières impliquant les sciences, les mathématiques et la technologie 3.2.1 Promotion des carrières scientifiques, mathématiques et technologiques 3.2.2 Promotion de l'importance de la science, des mathématiques et de la technologie dans les carrières non techniques 3.3 Participation à la science et aux mathématiques des groupes sous-représentés (le curriculum encourage tous types d'élèves à étudier et à utiliser les science, les mathématiques et la technologie ; exemples de groupes concernés : les femmes et les minorités raciales et ethniques) 3.4 Science, mathématiques et technologie pour augmenter l'intérêt (le curriculum promeut l'intérêt et une compréhension croissante dans le domaines des sciences, des mathématique et de la technologie, en utilisant des expériences communes aux étudiants, ou des informations populaires ou intrigantes ; les exemples incluent l'utilisation du sport, des informations, personnes célèbres, histoire, littérature, et données intéressantes) 3.5 Développement de l'esprit scientifique (et mathématiques) (le curriculum encourage les démarches de pensée scientifiques et mathématiques tells que ouverture d'esprit, objectivité, acceptation du doute, inventivité et curiosité)

Classification questions - A. Bodin Page 29/38 16/02/09 ANNEXE 5 Les classes de compétences selon PISA " Program International for Student Assessment » de l'OCDE (voir § 9 les modifications de formulation proposées) Afin de décrire les niveaux de compétences mathématiques, PISA organise ces processus en trois classes définissant le type de réflexion sollicité : i) reproduction, définitions et calculs ; ii) mise en relation et intégration pour résoudre d es problèmes ; iii) mathématisa tion ' pens ée mathématique, généralisation et compréhension en profondeur. En général, ces processus se caractérisent par un ordre croissant de difficulté, mais il ne s'ensuit pas qu'il est indispensable de maîtriser une première classe pour pouvoir progresser dans la suivante : il est possible, par exemple, d'effectuer des raisonnements mathématiques sans pour autant exceller en calcul. 1.... Compétences de classe 1 : Reproduction, définitions et calculs La classe 1 recouvre des processus souvent évalués dans les tests standardisés, ainsi que dans les enquêtes comparatives internationales, ou ils sont p rincipalement mesurés à l'aide d'items à choix multip le. Les questions portent sur des c onnaissances factuelle s, ou demand ent de représenter, d'identifier des équivalences, de restituer des objets et des propriétés mathématiques, d'exécuter des procédures classiques, d'appliquer des algorithmes simples et de mettre en oeuvre des savoir-faire techniques. 2.... Compétences de classe 2 : Mise en relation et intégration pour résoudre des problèmes Les processus de classe 2 demandent de commencer à établir des liens entre les différents chapitres et domaines des mathématiques e t d'intégrer d iverses informations dans le but de ré soudre des problèmes simples. Bien que ces problèmes soient présumés non routiniers pour l'élève, ils n'exigent qu'un degré de mathématisation relativement élémentaire. Dans cette classe de compétence, on attend aussi des élèves qu'ils soient capables de manier diverses formes de représentation, en fonction de la situation et de l'objectif visé. La mise en relation demande encore que les élèves soient à même de distinguer et de relier différents énoncés (des définitions, des affirmations, des exemples, des assertions conditionnelles et des démonstrations). Le fait de pouvoir décoder et interpréter le langage symbolique et formel, ainsi que de saisir ses relations avec la langue naturelle, est aussi un aspect crucial de cette classe de compétences. Les problèmes y sont souvent contextualisés et demandent une prise de décision mathématique de la part de l'élève. 3.... Compét ences de classe 3 : Mathématisation, pe nsée mat hématique, généralisat ion et compréhension en profondeur Dans cette classe de compétence, il est demandé aux élèves de mathématiser des situations : ils doivent pouvoir identifier et extraire la structure mathématique inhérente à une situation donnée et se servir des mathématiques pour résoudre le problè me, pour analyse r, pour interpréter, pour élabore r leur s propres modèles et stratégies et pour développer une argumentation mathématique, y compris des démonstrations et des généralisations. Ces processu s font appel à la pensée critique, à l'analyse et à la réflexion. Les élèves devr aient non seulement être à même de résoudre des problèmes, mais aussi de les poser, de communiquer correctement à propos des situations, et de comprendre en profondeur la nature des mathématiques en tant que science. Ce niveau de compétences, qui est au coeur des mathématiques et de la culture mathématique, est difficile à évaluer. Les questions à choix multiple sont le plus souvent inadaptées. Les questions à réponse ouverte ont un format qui convient mieux à ce type d'épreuve, mais tant la conception des questions que la correction des réponses soulèvent de nombreuses difficultés.

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Classification questions - A. Bodin Page 31/38 16/02/09 ANNEXE 6 Taxonomie d'objectifs cognitifs de R. Gras Catégories Rubriques Objectifs Activités attendues A1 Connaissance de la terminologie et du fait spécifique Connaître Assembler A2 Capacité à agir sur une forme physique du concept ou à évoquer Bricoler Explorer Observer A3 Capacité à lire des cartes, desquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Mathématique : exponentielle

[PDF] Mathematique : Factorisation de fraction

[PDF] Mathématique : Faut que je démontre que que des droites sont parallèle mais j'arrive pas vu que cest dans un cercle & je nai pas de propriété pou

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