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Club de mathématiques 2
Le théorème de Pythagore et les triplets
Pythagoriciens.
Et comment tracer des triangles si on connait les
trois côtés. Ce club de mathématique peut être adapté à différent niveaux scolaires, les préalables pour le début sont :Pour les plus petits, on peut se contenter de :
1. faire certains calculs sur des rectangles donnés (pas tous
rectangle) pour voir que la relation de Pythagore ne2. Énoncer le théorème de Pythagore (en expliquant ce
3. Introduire la notion de triplets pythagoriciens et donner
quelques exemples. de tracer le triangle correspondant sur du papier quadrillé.5. On peut ensuite leur montrer à tracer des triangles avec
un compas Pour les plus vieux, on peut par ordre de difficulté croissante1. Faire une preuve du théorème de Pythagore
2. Donner une formule qui donne les triplets pythagoriciens
3. Parler de la formule de la distance dans le plan et de
quadruplets pythagoriciens.5. Présenter une généralisation du théorème de Pythagore
Tous ces sujets sont présentés dans ce qui suit. Dans tous les cas, on peut faire travailler les participants pour leur faire découvrir les choses par eux-mêmes.Le théorème de Pythagore : Introduction
Voici quelques triangles dont on a indiqué la longueur des Triangle a : 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25) Égalité : OUI Triangle b : 32 + 32 32 (9 + 9 9) Égalité : NON Triangle c : 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) Égalité : OUI Triangle d : 32 + 42 62 (9 + 16 36) Égalité : NON Triangle e : 42 + 52 62 (16 + 25 36) Égalité : NON des triangles rectangles. ce ne sont pas des triangles rectangles. Ainsi, si on considère des triangles de côtés a, b et c.On a ceci :
Si a2 + b2 = c2 (Égalité)
Le triangle est rectangle
Si a2 + b2 c2 (Pas
égalité)
rectangle Un théorème est un énoncé mathématique qui est toujours vrai. Un théorème très simple serait par exemple : 1 + 1 = 2. beaucoup aux théorèmes qui généralement ne sont pas aussi simples que 1 + 1 = 2. Un triangle rectangle est un rectangle ayant un angle droit. Le Le théorème de Pythagore dit ceci : dans un triangle longueur a).Le théorème de Pythagore nous dit que
222a b c
Un triplet pythagoriciens est un triplet de trois nombres entiers (a, b, c) tels que222a b c
Vérifiez que (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25) sont des triplets pythagoriciens. Essayez de tracer des triangles dont les longueurs des côtés sont Essayez de tracer des triangles dont les côtés sont les nombres des triplets suivants. Vous pouvez utiliser du papier quadrillé, mais pour les triangles qui ne sont pas rectangles vous aurez donneront des triangles rectangles, ils forment un triplet pythagoricien (222a b c
). Les autres ne donneront pas des triangles rectangles. (3, 4, 6), (4, 5, 6), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (6, 7, 8). Comment tracer un triangle avec un compas, connaissant trois côtés? TOUJOURS VRAI) : un côté est toujours plus petit que la somme des deux autres. car 8 est plus grand que 3 + 4 Mais, (4, 5, 8) va donner un triangle car tous les côtés sont plus petits que la somme des deux autres. Il suffit de vérifier avec le plus grand : 8 est plus petit que 4 + 5. longueurs a (BC), b (AC) et c (AB). On trace un des côtés sur le papier quadrillé en utilisant les mesures déjà sur le papier. (par exemple on place le côté AB de longueur c). Ensuite avec le point A comme centre, on trace un cercle de rayon b (le côté AC mesure b) Et avec le point B comme centre, on trace un cercle de rayon a (le côté BC mesure a). Les deux cercles se rencontrent au point C. Il suffit de compléter le triangle en traçant les segments AC et BC. (Il y a deux points où les cercles se rencontrent, on en choisit un) Par exemple : on veut tracer le triangle de côtés (4, 5, 6) Premièrement on a vérifié que le plus grand nombre 6 est plus petit que la somme des deux autres 4 et 5 (6 > 4 + 5) Ensuite, on a tracé un des côtés en utilisant le papier quadrillé (le côté AB qui mesure 6) Puis on a tracé un cercle centré en A de rayon 5.Et un autre cercle, centré en B de rayon 4.
puisque les cercles se rencontrent en deux points. On en a choisit un des deux. Finalement on trace AC et BC et on a le triangle ABC. un triplet pythagoricien :2224 5 16 25 41 36 6
Sujets plus avancés :
Preuve du théorème de Pythagore
Formule pour les triplets pythagoriciens
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