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3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
1 I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.1) Définitions.
angles aigus. Nous avons déjà vu en 4ème Soit un triangle ABC rectangle en A et un de ses angles aigus, c c : cos c = côté adjacent à c hypoténuseavec 0 < cos c < 1 Sinus c : sin c = côté opposé à c hypoténuseavec 0 < sin c < 1 c : Tan c = côté opposé à c côté adjacent à cavec tan c > 0être supérieure à 1 )
3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
2Sur la figure ci-dessus :
cos b = ABBC cos
c = AC BC sin b = ACBC sin
c = AB BC tan b = ACAB tan
c = AB ACExemple :
cos m = MPMN = 6
10 = 0.6
tan n = MPNP = 8
6 1.33
sin m = PNMN = 8
10 = 0.8
2) Angles complémentaires.
Puisque ABC est un triangle rectangle en A,
c et b sont deux angles aigus complémentaires. ( c + b = 90 ° ).On remarque que
cos b = sin c , sin b = cos c , tan b = inverse de tan c = 1 tan c A C BHypoténuse Côté
opposé à cCôté
adjacent à cCôté
adjacent à bCôté
opposé à b 6 10 8 M P N3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
3 Prop complémentaire. complémentaire.Exemples :
Si cos 60 ° = 0.5 alors sin 30 ° = 0.5Si tan
a = 4 alors tan ( 90 a ) = 14 = 0.25
sinR = cos
S = TS
RS = 9
15 = 3
5 = 0.6
tanS = 12
9 = 4
3 donc tan
R = 3
4 = 0.75
3) Avec la calculatrice :
Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.On peut déterminer une valeur approchée
soit du sinus, du cosinus ou de la tangente : si = 50 ° alors sin = ? on tape sin 50 exe la calculatrice affiche 0.7660444 donc une valeur approchée à 0.01 près de sin est 0.77. sin 0.77 dont le sinus, le cosinus ou la tangente sont donnés. si tan = 2 alors = ? on tape shift tan 2 la calculatrice affiche 63.434949 ou 2ndà 0.1 près est 63.4 °
63.4 °
15 12 R S T 93ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
40° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
cos 1 0.98 0.94 0.87 0.77 0.64 0.5 0.34 0.17 0 sin 0 0.17 0.34 0.5 0.64 0.77 0.87 0.94 0.17 1 tan 0 0.18 0.36 0.58 0.84 1.19 1.73 2.75 5.67 4) . a) .Dans le triangle rectangle MON, ( je
connais la longueur MO du côté opposé àN, et la longueur MN de
hypoténuse, donc je peux utiliser le N.) sinN = OM
MNN = sin 1 ( 8
17 ) sinN = 8
17N 28.07°
8 cm 17 cm M O N E 15 cm 7 cm S TDans le triangle rectangle EST, ( je
connais la longueur ES du côté opposé àT, et la longueur ST du côté adjacent de
T donc je peux utiliser la tangente de T.) tanT = ES
STT = tan 1 ( 15
7 ) tanT = 15
7T 65°
P I E 25 cm19 cm
Dans le triangle rectangle PIE, (je
connais la longueur PI du côté adjacent de P je peux donc utiliser le cosinus de P.) cosP = PI
PEP = cos 1 ( 19
25 )cos
P = 19
25P 40.54°
3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
5 b) . c) Calcul de la longu. d) Problème de synthèse.1) Calculer BH
2) Calculer
BAC3) Calculer AC.
T H E 25 cm24°
Dans le triangle rectangle THE, ( je
T, la longueur
hypoténuse, et je cherche la longueur du côté adjacent deT, donc je
T.) cosT = TH
TE TH = 25 cos 24
cos 24 = TH25 TH 22.8 cm
9 cm R I Z32°
Dans le triangle rectangle RIZ, ( je
Z, la longueur RI du côté opposé àZ et je
Z.) sinZ = RI
RZ RZ = 9
sin32 sin 32 = 9RZ RZ 16.98 cm
RZ sin 32 = 9
8 cm 15 cm A B C H3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
61) Calcul de BH
Pythagore :
BC ² = BH ² + HC ² BH ² = 225 6415 ² = BH ² + 8 ² BH ² = 161
BH ² = 15 ² 8 ² BH = 161
BH 12,7 cm
2) Calcul de
BCH puis de BAC
Dans le triangle BHC rectangle en H,
cosBCH = HC
BCBHC = cos 1 ( 8
15 ) cosBHC = 8
15BHC 58 °
Dans le triangle ABC, rectangle en B, les angles aigus sont complémentaires, donc BCA +BAC = 90 °
doncBAC 90 58 donc
BAC 32°
3) Calcul de AC :
Dans le triangle rectangle ABC,
sinBAC = BC
AC AC = 15
sin32 sin 32 = 15AC AC 28,3 cm
3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
7 5) triangle rectangle. a) Relation entre sinus et cosinus. sin ² + cos ² = 1Dans le triangle ABC rectangle en A
sinB = AC
BC et cos
B = AB
BC donc sin ²B + cos ²
B = ( AC
BC ) ² + ( AB
BC ) ²
= AC ²BC ² + AB ²
BC ²
= AC ² + AB ²BC ²
or dans le triangle rectangle ABC, je peux appliquer le théorème dePythagore : AC ² + AB ² = BC ²
donc sin ²B + cos ²
B = BC ²
BC ²
donc sin ²B + cos ²
B = 1 ,
ceci quel que soitB compris entre 0° et 90°
Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin ² + cos ² = 1 b) Relation entre sinus cosinus et tangente. sin cos = tanDans le triangle ABC rectangle en A,
A C B3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
8 sin B cos B = AC BC AB BC = ACBC BC
AB = AC
AB = tan
B Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin B cosB = tan
B On donne cos = 0.6 en déduire sin et tan sans calculette. + cos ² = 1 donc sin ² + 0.6 ² = 1 donc sin ² = 1 0.6² = 1 0.36 = 0.64 donc sin = 0.64 = 0.8Je sais que tan = sin
B cosB donc tan = 0.8
0.6 = 8
6 = 4
36) Angles remarquables.
Soit un triangle ABC équilatéral de côté a, et sa hauteur [AH] Soit un triangle rectangle isocèle MNP de sommet M, avec MN = NP = a BC A H M N P a a3 2 a 2 a a a 260 °
30 °
45 °
45 °
3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
9 Dans le triangle équilatéral ABC, les trois angles valent chacun 60 °, donc ABC = 60 °. Dans le triangle ABH rectangle en H, les angles aigu sont complémentaires, doncBAH = 90
ABH = 90 60 = 30 °
vaut a 32, donc AH = a 3
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