[PDF] mathématiques mardi 6 septembre 2016 Devoir surveillé no 1 durée

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Devoir surveille n

o1 duree : 4 heuresExercice 1. Un calcul de(2)Le but de cet exercice est de montrer la formule remarquable suivante

+1X k=11k 2=26

Cette valeur etonnante a ete decouverte par L. Euler en 1735, mais la demonstration qui suit | consideree

communement comme la plus elementaire de toutes | date de 1973. On xe un entier strictement positifnet on introduit le polyn^ome P n=nX p=0 2n+ 1 2p+ 1 (1)pXnp: On introduit la fonctioncotangente, denie sur ]0;[ par la formule cotan(t) =cos(t)sin(t):

1.Montrer l'egalite

(X + i)

2n+1(Xi)2n+1= 2iPn(X2):

2.Pour touttdans l'intervalle ]0;=2], montrer l'egalite

P n(cotan2(t)) =sin((2n+ 1)t)sin

2n+1(t):

3.En deduire que les racines du polyn^ome Pnsont les nombres cotan2(k2n+1), ou l'indicekparcourt [[1;n]].

4.En deduire l'egalitenX

k=1cotan

2k2n+ 1

=n(2n1)3

5.On denit sur ]0;=2] la fonction':t7!tcotan(t).

a.Pour touttdans [0;=2], prouver la majoration sin(t)6t. b.Pour touttdans ]0;=2], prouver l'egalite

0(t) =cos(t)sin(t)tsin

2(t): c.En deduire les variations de'sur ]0;=2] (on donnera notamment la limite en 0).

6.Pour touttdans l'intervalle ]0;=2], montrer l'encadrement

1t

216cotan2(t)61t

2:

7.En deduire la valeur de la somme attendue.

PC *| mathematiques | devoir surveille no12 Exercice 2.On xe R>0 et on se donne une fonctionf: [0;R[!Rde classeC1telle que

8n2N;8x2[0;R[; f(n)(x)>0:

On rappelle que la notationf(n)designe la derivee d'ordrende la fonctionf. Le but de cet exercice est de prouver l'identite suivante

8x2[0;R[; f(x) =+1X

k=0f (k)(0)k!xk:

Une telle fonction est ditedeveloppable en serie entiere. C'est une notion que nous etudierons en cours

durant l'annee.

1.Redemontrer la formule de Taylor avec reste integral

8n2N;8x2[0;R[; f(x) =nX

k=0f (k)(0)k!xk+Z x 0 f(n+1)(t)(xt)nn!dt:

2.Soitxdans [0;R[. Soitrdans ]x;R[.

a.Pour touttdans [0;x], prouver l'encadrement

06xtrt6xr

b.Pour toutndansN, en deduire la majoration Z x 0 f(n+1)(t)(xt)nn!dt6xr nZr 0 f(n+1)(t)(rt)nn!: c.Pour toutndansN, en deduire la majoration Z x 0 f(n+1)(t)(xt)nn!dt6xr nf(r): d.Prouver l'identite annoncee dans le preambule.

3.Dans cette partie, on traite plusieurs cas particuliers.

a.Verier que les fonctions ch et sh verient les hypotheses de cet exercice : leurs derivees successives

sont positives sur [0;+1[. b.Pour toutxdans [0;+1[, en deduire une ecriture de ch(x) et de sh(x) sous la forme d'une serie. c.Justier que ces ecritures sont valables pour toutxreel. d.Pour toutxreel, prouver l'egalite e x=+1X k=0x kk!:

4.Dans cette partie, on justie que la fonction tangente verie egalement les hypotheses de cet exercice :

ses derivees successives sont positives sur l'intervalle [0;=2[. a.Pour toutndansN, justier l'existence d'un polyn^ome reel Pna coecients positifs tel que

8x2[0;=2[;tan(n)(x) = Pn(tan(x)):

b.Conclure. PC *| mathematiques | devoir surveille no13

Exercice 3.Soit P un polyn^ome reel non constant. On notenson degre. On suppose que P est scinde surR,

ce qui signie que le polyn^ome P se factorise comme produit de polyn^omes reels de degre 1 (autrement dit,

toutes les racines complexes de P sont reelles). Le but de cet exercice est de prouver que le polyn^ome derive P

0est egalement scinde surR. On noter

le nombre de racines de P (distinctes). On notea1;:::;arles racines de P et on suppose qu'elles sont numerotees dans l'ordre croissant a

1< a2< ::: < ar:

a.Dans cette question, on suppose quervaut 1. Montrer que P0est scinde. Dans toute la suite de l'exercice, on suppose quervaut au moins 2. b.Rappeler l'enonce du theoreme de Rolle. c.Montrer qu'il existe des nombres reelsb1;:::;br1tous distincts tels que

8k2[[1;r1]];P0(bk) = 0;P(bk)6= 0:

d.Rappeler la denition de l'ordre de multiplicite d'une racine du polyn^ome P. Dans le cadre de cet exercice, on etend legerement cette denition : dire qu'un nombrexest une racine de P d'ordre 0 signie quexn'est pas une racine de P.

e.Rappeler la caracterisation de l'ordre de multiplicite d'une racine du polyn^ome P qui fait intervenir

les derivees successives du polyn^ome P. f.Soitxune racine de P. On notemson ordre de multiplicite. Montrer quexest une racine de P0d'ordre de multiplicitem1. g.Prouver nalement que P0est scinde. h.Dans cette question, on suppose que P0et P00possedent une racine communex. Montrer quexest egalement une racine de P.Exercice 4.Soitf2 C2([0;1];[0;1]). On fait les hypotheses f(0) = 0; f0(0) = 0; f(1) = 1; f0(1) = 0: Le but de cet exercice est de prouver l'existence decdans [0;1] tel quejf00(c)j>4. Pour cela, on raisonne par l'absurde, en faisant l'hypothese

8x2[0;1];jf00(x)j<4:

a.Pour toutxdans ]0;1[, prouver les inegalites f(x)<2x2etf(x)>12(1x)2: b.Qu'obtient-on pourf(1=2)? c.Conclure. PC *| mathematiques | devoir surveille no14

Exercice 5. Inegalite arithmetico-geometriqueLe but de ce probleme est de prouver pour tout entiern>2l'inegalite arithmetico-geometriqueAG(n),

qui s'ecrit

8(x1;:::;xn)2[0;+1[n;(x1xn)1=n6x1++xnn

Dans cette inegalite, le membre de droite est lamoyenne arithmetiquedes nombresx1;:::;xnet le membre de gauche est leurmoyenne geometrique.

1. Methode par recurrence

Dans cette partie, on utilise une forme de recurrence un peu inhabituelle pour resoudre le probleme vise.

a.Prouver l'enonce AG(2). b.Soit un entiern>2 pour lequel l'enonce AG(n) est vrai. Prouver que l'enonce AG(2n) est vrai egalement. c.Soit un entiern>3. Soientx1;:::xn1des elements de [0;+1[. Trouver un elementxnde [0;+1[ veriant l'egalite (x1xn1xn)1=n= (x1xn1)1=(n1): d.Soit un entiern>3 pour lequel l'enonce AG(n) est vrai. Prouver que l'enonce AG(n1) est vrai egalement. e.Prouver que pour tout entiern>2, l'enonce AG(n) est vrai.

2. Methode utilisant le logarithme

Dans cette partie, on prouve la propriete AG(n) par un calcul direct et on traite le cas d'egalite en prime.

On xe un entiern>2.

a.Pour toutt >0, prouver l'inegalite ln(t)6t1. Traiter le cas d'egalite. b.Soienty1;:::;yndans ]0;+1[ tels que le produity1ynsoit egal a 1.A l'aide de l'inegalite de la question precedente, prouver l'inegalite

16y1++ynn

c.Soientx1;:::;xnquelconques dans ]0;+1[. Prouver l'inegalite (x1xn)1=n6x1++xnn Pour cela, on leur associera des nombresy1;:::;ynveriant l'hypothese de la question precedente. d.Demontrer nalement l'enonce AG(n). e.Montrer que l'egalite (x1xn)1=n=x1++xnn a lieu si, et seulement si, les nombresx1;:::;xnsont egaux entre eux.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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