TRIGONOMÉTRIE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. TRIGONOMÉTRIE C'est une droite qui « touche » le cercle en un point et un seul.
1S-02-TRIGONOMETRIE-cours.pdf
1ère SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES. 02 ? TRIGONOMÉTRIE. TRIGONOMÉTRIE Son demi-cercle a donc pour longueur ? et son quart de cercle a pour longueur.
Trigonométrie circulaire
Si vous suivez ces deux conseils vous sortirez de mathématiques l'unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique
Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Ainsi la moitié du cercle mesure ? ; le quart du cercle mesure ?/2
Chapitre II : Trigonométrie I Définition
Mathématiques PTSI Chapitre II. 2018-2019 Par exemple un quart de cercle vaut ? ... Remarque 3 : Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle.
Contrôle : correction Matière : Mathématiques Sujet : Trigonométrie
Matière : Mathématiques. Sujet : Trigonométrie. Exercice 1. (6 points). 1. Tracer un cercle trigonométrique et y placer les points associés aux nombres
Cercle trigonométrique
https://www.talma-math.com En partageant le quart de cercle IJ en trois parties d'égale longueur on obtient trois arcs de longueur chacun.
Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
du demi-cercle vaut donc ? et celle d'un quart de cercle vaut ?. 2 . Le cercle trigonométrique permet d'introduire une nouvelle unité de mesure d'angles
Trigonométrie
La longueur du cercle est 2 R d'un demi cercle est R et d'un quart de La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle ...
Mon Cours de Maths
I/ Rappels du collège : trigonométrie dans un triangle rectangle côté hypoténuse La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un quart de tour est.
Trigonométrie
1. Rappelsp14. Angles orientésp4
2. Nouvelle unité des anglesp25. Trigonométriep8
3. Enroulement de la droite numérique sur le
cercle trigonométriquep2Trigonométrie
1. Rappels.
1.1.. Mesure en degré d'un arc de cercle.
L'unité de mesure des angles est le degré.
c est le cercle de centre O et de rayon R. La mesure de l'arc de cercle est la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc. (Remarque : L'angle au centre peut être rentrant.)Exemples :
1.2. Longueur d'un arc de cercle.
c est le cercle de centre O et de rayon R. La longueur du cercle est2R, d'un demi cercle estRet d'un quart de cercle est 2RLa longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc (donc la
mesure de cet arc). Donc: Sixest la mesure en degré de l'angle au centreAOBalorsxest la mesure en degré de l'arc AB. Soit l la
longueur de l'arc AB (en unité de longueur), alors: l=x×2R360Exemples :
Six=90°alorsl=
2R Si x=60°alorsl= 3RSi x=240°alorsl=4 3RCas particulier : R = 1. dans ce cas:
l=x×Trigonométrie
Valeurs usuelles :
Mesure en degré
des arc0°30°60°90°120°150°180°Longueurs des
arcs06
322
35
6
2. Nouvelle unité de mesure des angles.
2.1. Définition.
c est le cercle de centre O et de rayon 1. Un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égal au rayon du cercle a pour mesure 1 radian (symbole rad) La mesure de l'arc IM est égale à l'unité de longueur.La mesure d'un angle plat en radians est :
2.2. Arc de cercle. c est le cercle de centre O et de rayon R. Siest la mesure en radians d'un arc (ou de l'angle au centre qui intercepte cet arc) et l la longueur de cet
arc: l=RSi de plus R=1, alors l=Conséquence : La mesure en radians d'un arc d'un cercle de rayon 1 est égale à la longueur de cet arc.3. Enroulement de la droite numérique sur un cercle trigonométrique.
3.1. Orientation d'un cercle.
Il existe 2 sens de parcours sur un cercle du plan.Orienter un cercle c'est choisir sur ce cercle un sens que l'on nomme sens direct (ou positif). L'autre sens est
nommé sens indirect (ou négatif)Trigonométrie
Par convention : le sens contraire du déplacement " des aiguilles d'une montre » est choisi comme sens
direct.Remarque :
Pour le logiciel géogébra, le sens positif est nommé sens " antihoraire ». Le sens négatif est nommé sens " horaire ».3.2. Définition d'un cercle trigonométrique.
Définition:
Un cercle trigonométrique est un cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens direct.3.3.. Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique.
c est le cercle trigonométriqueOI=i; OJ=j; IK=jOI=OJ=IK=1On note
xl'abscisse d'un point L de (IK) c'est à dire IL=xIK=xj ou siL∈[IK)alors x=ILou si
L∉[IK)alors x=-IL
La droite (IK) représente l'ensemble des nombres réels.On nomme cette droite : droite numérique
On suppose que l'on enroule la droite numérique autour du cercle trigonométrique.L vient en coïncidence avec le point M de c
x=ILet la longueur de l'arc IM est x(ou la mesure en radians)L' vient en coïncidence avec le point M' de c
x'=-IL'et la longueur de l'arc IM' est -x'(ou la mesure en radians)3.4. Remarque.
La longueur d'un cercle trigonométrique est2.Trigonométrie
Si on considère le point N de (IK) d'abscisse : x2, ce point vient aussi en coïncidence avec M lorsque l'on enroule la droite numérique sur c Soit R et S deux points de (IK) qui viennent en coïncidence avec M. Lorsque l'on enroule la droite numérique sur c alors xR-xS=k×2k étant un entier relatifConséquence
L'abscisse d'un point de (IK) venant en coïncidence avec M est : x2k(k∈Z)4. Angles orientés.
4.1. Définition.
Soitu et v deux vecteurs non nul et c le cercle trigonométrique de centre O, M et N les points tels que
u=OM et v=ON, M' et N' les points d'intersection de [OM) et [ON) avec c. Au couple OM',ON',
on associe une famille de nombre de la forme 2k,M' vers N' dans le sens direct.
Par définition, chacun de ces nombres est une mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs u,v.Trigonométrie
4.2. Mesure principale.
Propriété:
Un angle orienté OM,ON a une unique mesure appartenant à l'intervalle
]-;]; on l'appelle mesure principale de l'angle. On a alors MON=∣∣ en
radians.Notation:
OM,ON mesure modulo 2).4.3. Angles orientés et colinéarité.
Les points O; M et N sont alignés si et seulement si OMet ONsont colinéaires.Lorsque les vecteurs
OMet ONont le même sens alors OM;ON=02Lorsque les vecteurs
OMet ONsont de sens contraire alors OM;ON=2Conclusion:
uetvétant deux vecteurs non nuls.uetvsont colinéaires si et seulement siu;v=02ouu;v=2.
On peut aussi noter
4.4. Somme de deux angles orientés.
i. Relation de Chasles. u;vetw sont des vecteurs non nuls.Trigonométrie
ii. Remarque.Si vetVsont deux vecteurs colinéaires et de même sens donc V=kvavec k nombre réel strictement positif.
On a :
etDe même, si
U=k'uavec k' nombre réel strictement positif alorsU;V=u;v2
iii. Exemples. u=AB v=AC w=AD u;v=-342
v;w=42
u;w=-34
42
u;w=-22
u=AB v=AC w=AD u;v=562
v;w=32
u;w=56
32
(⃗u;⃗w)=7π6(2π)
On n'obtient pas la mesure principale de
u;wTrigonométrie
u;w=-562iv. Conséquences.
Exprimer:
v;u; u;-v; -u;v; -u;-ven fonction deu;v.
v;uv;uu;v=u;u2 Or,
u;u=02 Donc, u;-v u;v x (-⃗u;-⃗v)--u;-v=u;v2 -
4.5.. Somme des angles d'un triangle.
✗ABC est un triangle direct. (la mesure principale de AB;ACappartient à[0;])Trigonométrie
=2 ✗ABC est un triangle indirect. (la mesure principale de AB;ACappartient à]-;0[)AC;ABBA;BCCB;CA=24.6-. Théorème de l'angle inscrit.
Si M; A et B (M¹A et M¹B) trois points d'un cercle de centre O alors:5. Trigonométrie.
5.1. Cosinus et sinus d'un nombre réel.
c est le cercle trigonométrique.OI=i;OJ=j;O;i;jest un repère orthonormé direct du plan.
xest un nombre réel quelconque.L est le point d'abscissexde (IK') :
IL=xIK'Trigonométrie
M est le point du cercle c qui vient en coïncidence avec L lorsque l'on enrobe (IK') sur cUne mesure de l'angle IOMen radians estx
Le cosinus du nombre réelxque l'on nomme
cosxest l'abscisse du point M dansO;i;j(ou l'abscisse de H dans le repèreO;ide la droite (OI)
Le sinus du nombre réelxque l'on nomme
sinxest l'ordonnée du point M dansO;i;j(ou l'abscisse de K dans le repèreO;jde la droite (OK)
On a donc:
Mcosx;sinx
Hcosx;0
OH=cosxiK0;sinx
OK=sinxj5.2. Valeurs remarquables. ✔Si L = I alors M = I et x=0 cos0=1et sin0=0 ✔Si M = J, on peut choisir L tel que IL=2.IK'Donc
x= 2 cos2=0et sin
2=1Trigonométrie
✔Nous savons aussi que : ◦cos6=3
2etsin
6=1 2 cos4=2
2etsin
4=2
2◦cos
3=1 2et sin3=3
2✔On donne souvent ces résultats sous le forme de tableau.
Mesure
des angles0° 6 4 32cosinus0
322
2 1 21sinus11 2 2 2 3 20
5.3. Propriétés.
Pour tout réel
xon a: cos2xsin2x=1(a) cosx2=cosx(b) sinx2=sinx(c) (a) ✔Le triangle rectangle OMH est rectangle en H Donc iest comprise entre -1 et 1C'est à dire
Donc O;jest comprise entre -1 et 1C'est à dire
Nous avons vu
cosx=OHou - OH et sinx=OKou - OK Donc cos2x=OH2 etsin2x=OK2Trigonométrie
Le triangle rectangle OHM est rectangle en HOH2MH2=OM2or MH =OKOH2=cos2xMH2=OK2=sin2xet OM2=1Donc
cos2xsin2x=1(c)Les points L d'abscissexsur (IK') et N d'abscissex2coïncident avec le même point de c
cosx2=cosxet sinx2=sinx On dit que cos et sin sont des fonctions périodiques de période25.4.. Cosinus et sinus d'angles orientés.
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