[PDF] Facteurs de réussite en problèmes mathématiques: daprès l

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THESE pr´esent´eea

L'´ECOLEPOLYTECHNIQUE

pourobtenirletitrede

DOCTEURENSCIENCES

sp´ecialit´e

MATH´EMATIQUESAPPLIQU´EES

par

Gr´egoireDERVEAUX

Sujetdelathese:

Directeurdethese:PatrickJOLY

AntoineCHAIGNEExaminateur

DominiqueCHAPELLEExaminateur

DominiqueHABAULTExaminatrice

PatrickJOLYDirecteur

PatrickLETALLECExaminateur

SergePIPERNORapporteur

OlivierPIRONNEAURapporteur

BernardRICHARDSONExaminateur

aSoazigetEnora

MERCIBEAUCOUP

petitesquestions. dem'avoirfaitpartdevosremarques. aujurydethese. m'ontbienaid´eafranchirlepas. qualit´e.Jenelesoublieraijamais. longcouloirtordudubˆatiment13.

TABLEDESMATIERES

Tabledesmatieres

Introduction1

IUnmodelenum´eriquedeguitare9

2Analysemath´ematiquedumodele41

vii

TABLEDESMATIERES

2.1Discr´etisationspatialeduprobleme

???.......................96

2.2Discr´etisationspatialeduprobleme

??????......................97

2.3Approximationdesespaces

???????et

2.4Approximationdel'espace

???????.........................107

2.5Approximationdel'espace

5R´esultatsnum´eriques207

1Analyseducouplageplaque-corde227

viii

TABLEDESMATIERES

2Analyseducouplageplaque-air259

3R´esolutionduproblemecomplet287

3.4R´esolutiondusch´ema

???...............................294

IVR´esultatsnum´eriques309

1Exp´eriencesdevalidation311

2Modelenum´eriquedeguitare323

ix

TABLEDESMATIERES

Bilanetperspectives343

Annexes345

B.2Echecdelacondensationdemassedans

?????................370 x

Introduction

Introduction

Lesenjeuxdelaconstructiond'uneguitare

1

Introduction

Lecontextescientique

Chaigne[10]).

enparticulieralasynthesesonore1. 2

Introduction

temporel. m´eriquesmodernes. laguitareacoustique.

Unmodelephysiquedelaguitare

(pourprendreencomptelesraidisseurs), 3

Introduction

nodimensionnelle, uide,l'autred'originevisco´elastique.

R´esolutionnum´eriquedumodele

suivantes: mationspatialequetemporelle, -stabilit´edelam´ethode, 4

Introduction

[54].L'introductiond'unenouvelleinconnue ?,quis'interprˆetecommelesautdepres-

Lagrange

tiondecordementionn´eecidessus. 5

Introduction

d´evelopp´eeici. plages. connuedans ?.Pourcontournerceprobleme,onpropose ?n'estpasx´eparles pourcetespace,asavoir ?L'introductiondumoment decondensationdemasse. lecasdel'approximationdel'espace ?estunproblemebienconnu,iln'enestpas demˆemepourl'approximationdel'espace 6

Introduction

propos´es. isotropeetenprenant ?dans sent´eealasection2.6. spectrale.

Organisationdudocument

Cedocumentestcompos´edecinqparties:

mesures. 7

Introduction

8

Premierepartie

Unmodelenum´eriquedeguitare

Chapitre1

Laguitare,unedescriptionetun

modelephysique (voirsection1.1.2). 11 soulign´ees(commecela soulign´ees(commececi engras( ?repr´esenterala corde,l'indice

Onsedonneunrepere

1.1Unmotsurlefonctionnementdelaguitare

1.1.1Principeg´en´eral

FIG.1.1:Vue´eclat´eed'uneguitare

12

1.1Unmotsurlefonctionnementdelaguitare

unecavit´e. 13

´electronique.

peud'informations.. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0123456

pression acoustique normalisee temps (en s) Mi6 sacordegrave(Mi6). estfaible). decorde. 14

1.2Lacorde

cordegrave(Mi6).

1.2Lacorde

1.2.1Cordevibrantenonamortie

rapportsimple(1:2,1:3,2:3etc

1.2.1.aEquationdecordevibrante

̩,soumiseaunetensionة

??.Ons'int´eresseauxd´e-

Unpoint

ࠩ.Lemouvementdela (voirlagure(1.5)).Onnoteainsi:

Latangenteen

?alacordefaitavecl'axe ??unangleᄩ 15

FIG.1.5:G´eom´etriedelacorde

petit.Onauradonc:

Lacontrainteexerc´eeaupoint

?parlacordesuruneportiondecorde

̩estr´egiparl'´equa-

tiondescordesvibrantesnonamorties: ouleterme

̩,l'unedanslesensdes

?croissants, l'autredanslesensdes d'onde. ????.Dans cecasled´eplacementd'unpoint deuxcomposantes ?etഩ

´equationdecordevibrante(1.4).

16

1.2Lacorde

1.2.1.bConditionsauxbords

Lalongueurdelacorde

???ࠩ)(1.5) contentonsicideconsid´ererque

ȩ̩estunparametrex´e.

gravit´e,not´e ?????(t),onaura: ?ࠩ???ࠩ)(1.6) ???ࠩ?(1.7) 17 (1.8) baseestdonn´eepar: ???pour ??????ȩ̩?et? ????)(1.9)

Etona:

??(1.10) ou etontrouveais´ement: ???????ࠩ???(1.12) ou

ȩ̩.Lepremier

peuts'ecrire: 18

1.2Lacorde

?????et ?????quipermet- ?et c'estadiretoutesolutiondelaforme solutionstationnairessontdonn´eespar: desolutionsstationnaires. ?,pour ?????)??)Les ([20]). 19 nelesprenonspasenconsid´eration. pasd'effetsurl'air. untermed'amortissementvisqueux:

̩.Usuellement,l'amortisse-

metpasl'amortissementvisqueux. 20

1.2Lacorde

brante(1.8)devient: desvaleurstypiquesde ?et ?̩,(typiquement ?et exponentiel(voirannexeC): ou ??et tissement,puisquelefacteurdeperturbation ?esttresprochede1 ?etcroitdonc introduitparletermedetypeuidevaut ?ettouchedoncdelamˆememaniere touteslesfr´equences. visqueux.Eneffet,pour ?,soit,danslecasdenotreexemple,pourune ?.Lecoefcientd'amortissement fr´equenceestuneparabole( ?et 21
casd'unecorde,onintroduitlacontrainte normaledelatension,soit

̩.LemodeledeWiecherts'´ecrit:

(1.17) ?et?༩ ?,avec ?et

Danscecas,lacontrainte

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