[PDF] Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique

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UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I

THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER

Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"Information

Présentée et soutenue publiquement par

Ayse SAGLAM

Le 29 octobre 2004

Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoir

Composition de jury :

CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, président

DUFAYARD

Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteur

Thèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et

des Technologies (LIDSET)

UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I

THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER

Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"Information

Présentée et soutenue publiquement par

Ayse SAGLAM

Le 29 octobre 2004

Les Équations Différentielles en Mathématiques et en

Physique

Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoir

Composition de jury :

CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, président DUFAYARD Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteur

Thèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et

des Technologies (LIDSET)

N Attribu par la bibliothque

à ma maman qui m"a appris l"amour tout en m"aimant autant... remerciements

C"est un grand plaisir d"être au moment de remercier ceux et celles qui étaient avec moi tout au long

de ces années soit en m"aidant vraiment soit simplement en me demandant de temps en temps "ça se

passe bien avec ta thèse ?". Je tiens à remercier sincèrement madame Maggy Schneider et monsieur Alain Dumon qui m"ont fait l"honneur d"avoir bien voulu rapporter sur mon travail. Je remercie également monsieur Jean Luc

Dorier pour avoir accepté de faire partie du jury et de l"avoir présidé. Merci encore pour ses remarques

intéressantes et surtout pour son amitié.

Je tiens également à remercier mes directeurs de thèse d"avoir bien voulu accepter de diriger ce travail

tout en m"accordant leurs confiances. J"ai des pensées particulières pour chacun d"eux sans doute...

Merci à Jean qui a su m"accorder généreusement son temps pendant toute la rédaction et m"a aidé à

structurer mes idées par ses questionnes constructives.

Un grand merci à Daniel pour ses conseils, son aide et ses idées originales. Les moments passés à la

recherche des éléments de réponses à mes questions sont inoubliables pour moi.... Celles-ci ont

souvent débouché sur des discussions à la fois très riches et philosophiques. Il m"a toujours laissé ma

liberté sans m"imposer son point de vue tout en me disant "c"est ta thèse Ayşe, c"est toi qui vas la

soutenir".

Mille merci à Hamid pour m"avoir conduit vers le monde de la merveille où se réunissent mes deux

passions : maths et physique. En m"ouvrant la porte d"un tel monde, il s"est trouvé tout naturellement

dans mon travail qui a été suivi, par lui, jusqu"au bout malgré certains obstacles. Sa méthode, ses

aides, ses idées et ses remarques m"étaient essentielles...

Je tiens à remercier aussi le Ministère d"Education Turc d"avoir financé ce travail de thèse durant

toutes ces années.

Un grand merci à tous les enseignants et à tous les étudiants de l"Université Joseph Fourier pour leurs

contributions à ce travail. Je dois remercier très vivement l"ensemble du laboratoire LIDSET qui m"ont accueilli dans une

ambiance chaleureuse et très sympa. J"ai gravé des bons souvenirs sur mon "cerveaux" et sur mon

"cœur" concernant la disponibilité et les aides de Herminia en tant que directrice de laboratoire, les

disputes (!) inoubliables avec Claire, la volonté d"aide de Isabelle Girault et le plaisir de partager mon

bureau avec Cédric.

Sans doute j"ai des pensées très particulières pour Hang. J"oublierai jamais les moments qu"on a

passés ensemble sur les pelouses, dans le couloir, au bureau, au téléphone et "les choses" qu"on a

partagées.... Merci de me soutenir, de m"encourager, de m"écouter parfois sans dire même "un seul

mot"...

Je remercie aussi Claude dont les remarques lors de la première journée de thésards m"ont été

nécessaires pour réorienter mon travail. Merci également de m"avoir aidé durant la rédaction finale de

la thèse et d"avoir réagi sur mon travail sans manquer à m"encourager.

Je tiens à remercier également Denise Grenier pour ses remarques et ses conseils précieux sur mon

travail.

Je remercie chaleureusement tous mes amis dont j"ai ressenti la présence d"une façon ou l"autre. Je ne

pourrais pas les citer un par un mais j"aimerais qu"ils sachent que je les ai pas oubliés. Notamment

merci à Nuray pour son soutien, ses encouragements qui venaient "par e-mail" ou "par téléphone"

durant toutes ces années difficiles... Comme je te dis "je t"oublierai pas ( !)".

Je ne pourrais pas finir cette cérémonie précieuse sans remercier l"ensemble de ma famille de m"avoir

respecté et soutenu dans toutes mes décisions et notamment en ce qui concerne le fait de faire une

thèse à l"étranger. Merci maman, merci papa d"être toujours "parfaits" pour moi.

Enfin à mon merveilleux époux, Salahattin, pour avoir patiemment "supporté" mes stresses, mes

absences, pour ses encouragements mais aussi pour ses aides. Je ne pourrais pas oublier les moments

qu"on a passés ensemble à la bibliothèque municipale les week-ends, à la table qui se trouve au plus

joli coin de salle de séjour, devant les ordinateurs des heures et des heures. Tu sais j"attends impatiemment la petite sœur de ma petite fille qui s"appellera probablement "les équations différentielles...approche qualitative". The life is difficult! Isn"t it ?

Table des matières

PARTIE A

Problématique et Méthodologie

Chapitre A

1

: Introduction à la problématique.......................................................................5

1. Relations mathématiques/physique..........................................................................................5

2. Modèles et modélisation............................................................................................................5

2.1. Le modèle.........................................................................................................................................6

2.2. Le processus de modélisation............................................................................................................8

2.3. Les démarches de construction du modèle.........................................................................................8

3. Aperçu des travaux existant sur les équations différentielles..................................................9

3.1. La prédominance de l"approche algébrique dans l"enseignement actuel..............................................9

3.2. La place de la modélisation dans l"enseignement des équations différentielles..................................10

3.3. Les études visant l"évolution de l"enseignement...............................................................................10

3.4. Notre position.................................................................................................................................11

4. Statuts de la notion d"équation différentielle........................................................................11

4.1. Objet "équation différentielle".........................................................................................................12

4.2. Modèle "équation différentielle"......................................................................................................12

4.2.1. Les équations différentielles dans la modélisation passive.........................................................12

4.2.2. Les équations différentielles dans la modélisation active...........................................................13

4.3. Analyse du statut des équations différentielles dans l"enseignement actuel......................................13

4.3.1. Les équations différentielles en mathématiques........................................................................14

4.3.2 Les équations différentielles en physique..................................................................................15

4.3.3. Conclusion ..............................................................................................................................16

Chapitre A

2

: De l"objet de l"étude au plan de l"étude..........................................................17

1. Introduction à notre objet d"étude.........................................................................................17

2. Reformulation de l"objet d"étude dans le cadre théorique de la théorie anthropologique du

3. Organisation de la recherche..................................................................................................20

3.1. Etude épistémologique....................................................................................................................20

3.2. Etude des rapports institutionnels....................................................................................................21

3.3. Etude des rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle.....................................21

3.4. Organigramme de la thèse...............................................................................................................22

PARTIE B

Chapitre B : Aperçu épistémologique du concept d"équation différentielle.........................25

1. Naissance du concept d"équations différentielles...................................................................26

1.1. Du calcul différentiel aux équations différentielles...........................................................................26

1.2. Problèmes initiaux ..........................................................................................................................28

1.2.1. Problème "inverse tangente"....................................................................................................28

1.2.2. Problème "isochrone"..............................................................................................................30

1.2.3. Problème "brahystochrone"......................................................................................................32

2. L"évolution du concept d"équation différentielle...................................................................34

PARTIE C

Rapports Institutionnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles

Introduction et méthodologie...............................................................................................41

Chapitre C

1 : Etude des caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielle

en classe de Terminale S......................................................................................................47

1. Etude des manuels de mathématiques de la classe de terminale...........................................47

1.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................47

a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................47

b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................48

1.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................49

a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................49

b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................53

2. Etude des manuels de physique de la classe de terminale......................................................55

2.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................55

2.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................55

a. Manuel "Nathan"...........................................................................................................................55

b. Manuel "Durandeau".....................................................................................................................59

3. Conclusion sur l"étude des manuels de la classe de Terminale S...........................................60

Chapitre C

2 : Etude de caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielle au niveau de DEUG 1

ère

1. Etude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en mathématiques ..............63

1.1. Présentation générale du cours magistral..........................................................................................63

1.2. Analyse praxéologique des exercices proposés.................................................................................64

a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................64

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................66

1.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................76

a. Détermination des différents types de tâches traités........................................................................77

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................79

2. Étude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en physique..........................81

2.1. Présentation générale.......................................................................................................................81

2.2. Analyse praxéologique des feuilles de travaux dirigés......................................................................81

a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................82

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................83

2.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................88

3. Conclusion...............................................................................................................................90

PARTIE D

Rapports Personnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles

Chapitre D

1 : Rapport des étudiants "aux équations différentielles" en tant qu"objet........97

1. Les analyses de l"Exercice 1....................................................................................................99

1.1. Analyse a priori de l"exercice..........................................................................................................99

1.1.1. Présentation de l"exercice.........................................................................................................99

1.1.2. Réponses attendues a priori....................................................................................................104

1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................108

1.2.1 Classement global des réponses...............................................................................................109

1.2.2. Analyse des réponses des étudiants........................................................................................ 111

2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................117

2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................117

2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................117

2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................118

2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................120

2.1.4. Analyse a priori de la Question 3 ...........................................................................................123

2.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................125

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 125

a. Résultats globaux....................................................................................................................125

b. Interprétation des réponses......................................................................................................125

2.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 127

a. Résultats globaux....................................................................................................................127

b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................127

2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 134

a. Résultats globaux....................................................................................................................134

b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................135

3. Les analyses de l"Exercice 3..................................................................................................137

3.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................137

3.1.1 Présentation de l"exercice .......................................................................................................137

3.1.1. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................138

3.1.2. Analyse a priori de la Question 2 ...........................................................................................139

3.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................140

3.2.1. Résultats globaux...................................................................................................................140

3.2.2. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 141

3.2.3. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 143

Chapitre D

2 : Rapports des étudiants aux "équations différentielles" en tant que modèle151

1. Les analyses de l"Exercice 1..................................................................................................153

1.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................153

1.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................153

1.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................155

1.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................157

1.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................158

1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................160

1.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 160

a. Résultats globaux....................................................................................................................160

b. Interprétation des réponses des étudiants.................................................................................160

1.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 162

a. Résultats globaux....................................................................................................................162

b. Interprétation des réponses......................................................................................................163

1.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 165

a. Résultats globaux....................................................................................................................165

b. Interprétation des réponses......................................................................................................165

2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................169

2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................169

2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................169

2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................170

2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................171

2.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................173

2.1.5. Analyse a priori de la Question 4............................................................................................174

2.2. Analyse a posteriori de l"exercice .................................................................................................174

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 174

a. Résultats globaux....................................................................................................................174

b. Interprétation des réponses......................................................................................................175

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 2.....................................................................................177

a. Résultats globaux....................................................................................................................177

b. Interprétation des réponses......................................................................................................177

2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 180

a. Résultats globaux....................................................................................................................180

b. Interprétation des réponses......................................................................................................180

2.2.4. Analyse a posteriori de la Question 4 ..................................................................................... 182

a. Résultats globaux....................................................................................................................182

b. Interprétation des réponses......................................................................................................182

Chapitre D

3 : Typologie des rapports personnels des étudiants aux équations différentielles

1. Différents modèles de rapports personnels..........................................................................187

2. Etude des différents rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle...189

2.1. Méthodologie d"analyse................................................................................................................189

2.2. Interprétation des réponses d"étudiants..........................................................................................189

2.2.1. Le groupe "RC".....................................................................................................................190

2.2.2. Le groupe "RS" .....................................................................................................................194

2.2.3. Le groupe "RM"....................................................................................................................196

2.2.4. Le groupe "RN".....................................................................................................................199

Bilan de l"étude des rapports personnels d"étudiants aux équations différentielles...............202

PARTIE E

Conclusion et Bibliographie

Chapitre E

1

: Conclusion générale....................................................................................209

1. Résultats principaux de l"étude............................................................................................209

2. Perspectives...........................................................................................................................215

Chapitre E

2

: Références Bibliographiques.......................................................................219

ANNEXES

Annexes A..........................................................................................................................227

Annexes B..........................................................................................................................235

Annexes C..........................................................................................................................241

Annexes D .........................................................................................................................249

PARTIE A

Problématique et méthodologie

Chapitre A

1 : Introduction à la problématique

Chapitre A

2 : De l"objet d"étude au plan d"étude

Chapitre A

1 - 4 -

Chapitre A

1 - 5 -

Chapitre A

1 : Introduction à la problématique

1. Relations mathématiques/physique

Le rapport entre les mathématiques et la physique relève d"une problématique d"ordre philosophique

et épistémologique. Depuis longtemps des mathématiciens et des physiciens ont eu différentes

positions sur ce rapport. L"idée prétendant que les mathématiques constituent le langage de la

physique, est l"une des explications données sur le problème des relations entre ces deux disciplines. A

ce propos Poincaré déclare que :

"Toutes les lois sont tirées de l"expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale ; le

langage ordinaire est trop pauvre, il est d"ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si

délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se

passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu"il puisse parler". (Poincaré,

1910).

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