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à rendre pour le vendredi 15 mai.

Exercice 1

SoitH=?2(N)etSle shift défini par

S(x0,x1,x2,...) = (x1,x2,...).

Calculer la norme-opérateur deS+S?.

Exercice 2 (unicité de la racine carrée)

SoitHun espace de Hilbert. SiA?L(H)est un opérateur auto-adjoint positif, le calcul fonctionnel continu permet de construire un opérateurB?L(H), auto-adjoint positif tel queB2=A. Supposons réciproquement queB??L(H)est un opérateur auto-adjoint positif tel queB?2=A; nous allons montrer queB?=B.

1. Montrer queBetB?commutent.

2. Pourquoi existe-t-il des opérateurs auto-adjoint positifsCetC?tels queC2=BetC?2=B??

Montrer que six?Hety= (B-B?)x, alors?C(y)?2+?C?(y)?2= 0.

3. Montrer queCB=CB?etC?B=C?B?. Conclure.

Exercice 3

SoitHun espace de Hilbert complexe etA?L(H). Le but de cet exercice est de montrer l"équivalence entre (a) Il existeN?Ntel que?AN?<1. (b) Pour toutx?H, la série? n?N?Anx?est convergente.

1. Montrer l"implication (a)=?(b).

2. En supposant (b), montrer queA-λIdest injectif lorsque|λ|?1.

3. En supposant (b), montrer queA-λIdest surjectif lorsque|λ|?1. Pourx0etudes éléments fixés

deH, on pourra introduire la suite(xk)définie par récurrence en posant x k+1=1λ

A(xk) +1λ

u et montrer qu"elle est convergente.

4. Montrer l"implication (b)=?(a).

Question bonus :Donner un exemple d"opérateurAtel que?AN?= 1pour toutN, etlimn→∞?Anx?=

0pour toutx?H.

Exercice 4 (spectre d"une perturbation compacte)

SoitHun espace de Hilbert complexe,Aun opérateur surHetKun opérateur compact surH. Soit λun élément deσ(A)\σp(A). Montrer qu"alorsλ?σ(A+K). Vous pouvez rendre le devoir soit en le scannant et en l"envoyant par e-mail, soit en me le postant

(vous pouvez passer par l"intermédiaire du secrétariat pour ne pas payer les frais d"envoi) à l"adresse

Institut Camille Jordan

Université Claude Bernard Lyon 1

43 boulevard du 11 novembre 1918

69622 Villeurbanne cedex

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