[PDF] Géométrie et géométrie analytique

View - Download Géométrie et géométrie analytique

Previous PDF

Next PDF

Facult

e des Sciences Appliquees G eometrie etgeometrie analytique

Notes th

eoriques et applicationsa destination des etudiants preparant l'examen d'admission aux etudes d'ingenieur civil de l'Universite de Liege

Ir ThomasBelligoi

Pr FrancoiseBastin

F evrier 2011

Avant-propos

Avant toutes choses, nous tenons a remercier chaleureusement M. YvanHaine, moni- teur de bachelier ingenieur civil a l'ULg et enseignant a l'Athenee Liege I, et Mme Eveline Moitroux, enseignante a l'Athenee Liege I et monitrice pedagogique en didactique des sciences mathematiques a l'ULg, pour le temps qu'ils ont passe a lire et relire attentive- ment ces notes, pour leurs commentaires constructifs et leurs suggestions qui ont permis d'ameliorer et de completer considerablement ce document. Sincerement merci. Certaines parties ont ete inspirees de manuels de cours. Merci particulierement a Mm eJa cquelineCrasbornpour son excellent recueil d'elements de mathematiques de l'enseignement secondaire (disponible i ci Mm eF rancoiseBastinpour certaines parties de geometrie analytique, inspirees de son cours de complements de mathematiques generales (disponible i ci M. Pi erreLecomtepour l'emprunt de quelques passages de geometrie synthetique de son cours de geometrie elementaire (disponible i ci M. Yv anHaineet Mme EvelineMoitrouxpour leurs notes de geometrie vecto- rielle et geometrie analytique (cf. bibliographie). L'etudiant preparant l'examen d'admission trouvera dans ces notes des notions qu'il est important de ma^triser pour aborder l'examen de geometrie et geometrie analytique et, plus largement, le cours de geometrie de premier bachelier. La plupart des notions reprises ci-apres font partie du programme de l'examen d'admission (le document peut ^etre consulte i ci ).Ces n otesn ed oiventp as^ etre etudieesp arco eurm aisl am a^trised es concepts theoriques et la connaissance des enonces des principaux theoremes, propositions et resultats sont indispensables. Les demonstrations ne sont pas reprises dans ce docu- ment. L'etudiant est renvoye a ses cours de l'enseignement secondaire pour une preuve des theoremes, propositions et resultats. Ce recueil n'a pas, repetons-le, la pretention d'^etre complet. Des sections sont consa- crees a la resolution d'exercices mettant en pratique les concepts theoriques. Dierentes approches peuvent generalement^etre adoptees pour repondre aux exercices poses. La reso- lution ne presente qu'une d'entre-elles. Toutes les methodes de resolution sont cependant acceptees a l'examen d'admission pour autant qu'elles soient correctement justiees. Malgre nos lectures et notre vigilance, il se peut qu'il subsiste des coquilles ou des erreurs. Merci de rapporter toute coquille, toute remarque ou toute suggestion a l'adresse ExamenAdmission.Inge@ulg.ac.be an d'ameliorer ce document.

Ir ThomasBelligoi

Pr FrancoiseBastin

Fevrier 2011

i

Chapitre 1

Geometrie synthetique dans le plan

1.1 Le cercle

1.1.1 Denition

Dans un plan, le cercleCde centreCet de rayonr(r >0) est l'ensemble des points situes a la distancerdu pointC(gure1. 1).Un ed enitionan alytiqueest d onnee al a section

3 .7.1

.CrC

Fig.1.1 { CercleCde centreCet de rayonr

1.1.2 Tangente a un cercle

On appelle tangente a un cercleCen un pointPla droite passant par ce pointPet perpendiculaire au rayon d'extremiteP. Ce point est appele point de tangence (gure 1.2 ).P CrtC

Fig.1.2 { Tangenteten un pointPdu cercleC

1 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.1.3 Corde d'un cercle

Denition

Une corde d'un cercle est le segment de droite joignant deux points du cercle.

Proprietes

1.

L am ediatrice

1de toute corde d'un cercle passe par le centre de ce cercle.

2. R eciproquement,u nd iametrep erpendiculaire au necor deest m ediatriced ecet te corde (gure 1 .3 (a)). 3.

L 'arc

dABest partage par la mediatrice du segment [A;B] en deux arcs egaux (gure 1.3 (a)). 4. D esco rdes egalesd 'unm ^emec ercleso us-tendentd esar cs egaux( dec em ^emecer cle) et reciproquement (gure 1. 3 (b)). 5. D esd roitesp arallelesi nterceptentd esa rcs egauxd 'unm ^emec ercleet r eciproque- ment (gure 1 .3 (c)).CBA (a)CBB 0AA

0(b)Cd

d 0(c)

Fig.1.3 { Proprietes des cordes d'un cercle

1.2 Les angles

1.2.1 Angles opposes par le sommet

Denition

Deux angles sont dits opposes par le sommet s'ils ont le m^eme sommet et des c^otes dans le prolongement l'un de l'autre.

Propriete

Deux angles opposes par le sommet sont egaux.

Exemple: soient deux droitesdetd0secantes en un pointO. Les anglescO1etcO3sont opposes par le sommet (gure 1 .4 ).1 On appelle mediatrice d'un segment la droite perpendiculaire a ce segment passant par le milieu de ce dernier. 2 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANdd 0c O3c

O1Fig.1.4 { Angles opposes par le sommet

1.2.2 Angles correspondants

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits correspondants s'ils sont situes du m^eme c^ote de la droited00et du m^eme c^ote des droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA1etcB1sont correspondants (gure1 .5(a)).

Propriete

Deux droitesdetd0sont paralleles si et seulement si des angles correspondants qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les anglescA1etcB1sont egaux (gure 1 .5 (b)).dd 0d 00c A1c

B1(a)dd

0d 00c A1c B1(b)

Fig.1.5 { Angles correspondants

1.2.3 Angles alternes-internes

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits alternes-internes s'ils sont situes de part et d'autre de la droite d

00et s'ils sont compris entre les droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA1etcB3sont alternes-internes (gure1. 6(a)). 3 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANdd 0d 00c B3c

A1(a)dd

0d 00c A1c B3(b)

Fig.1.6 { Angles alternes-internes

Propriete

Deux droites sont paralleles si et seulement si des angles alternes-internes qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les angles alternes-internescA1et cB3sont egaux (gure1 .6(b)).

1.2.4 Angles alternes-externes

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits alternes-externes s'ils sont situes de part et d'autre de la droite d

00et s'ils sont a l'exterieur des droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA3etcB1sont alternes-externes (gure1. 7(a)).

Propriete

Deux droites sont paralleles si et seulement si des angles alternes-externes qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les anglescA3etcB1sont egaux (gure 1 .7 (b)).dd 0d 00c A3c

B1(a)dd

0d 00c A3c B1(b)

Fig.1.7 { Angles alternes-externes

4 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.2.5 Angles a c^otes respectivement paralleles

Denition

Deux angles sont dits a c^otes respectivement paralleles lorsque leurs c^otes sont paral- leles deux a deux. Remarque: deux angles a c^otes respectivement paralleles ne possedent pas necessai- rement le m^eme sommet.

Propriete

Deux angles a c^otes respectivement paralleles sont egaux (gure 1 .8 (a))ou s upple- mentaires (gure 1 .8 (b)) bA=bBetbC= 180bD:b Ab B(a)b Cb D(b) Fig.1.8 { Angles a c^otes respectivement paralleles

1.2.6 Angles a c^otes respectivement perpendiculaires

Denition

Deux angles sont dits a c^otes respectivement perpendiculaires lorsque leurs c^otes sont perpendiculaires deux a deux. Remarque: deux angles a c^otes respectivement perpendiculaires ne possedent pas necessairement le m^eme sommet.b Ab B(a)b Cb D(b) Fig.1.9 { Angles a c^otes respectivement perpendiculaires

Propriete

Deux angles a c^otes respectivement perpendiculaires sont egaux (gure 1. 9 (a))ou supplementaires (gure 1 .9 (b)) b

A=bBetbC= 180bD:

5 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.2.7 Angles au centre, inscrit et tangentiel

Denitions

Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les c^otes sont des rayons de ce cercle (gure 1. 10 (a)). Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les c^otes sont des cordes du cercle (gure 1 .10 (b)). Un angle tangentiel a un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle, dont un c^ote est tangent au cercle et dont le second c^ote est une corde de ce cercle (gure 1.10 (c)).OA Br (a)A BC (b)t BAC (c) Fig.1.10 { Angles au centre, inscrit et tangentiel

Proprietes

1.

L am esured el 'arc

_ABvaut : rourest le rayon du cercle etest l'amplitude de l'angle au centre interceptant l'arc_AB(gure1 .10(a)). 2. D ansu ncer cle,l 'amplituded 'una nglei nscritest egale al am oitied ec elled el 'angle au centre qui intercepte le m^eme arc (gure 1 .11 (a)). Corollaire: des angles inscrits egaux interceptent des arcs egaux et reciproquement.

Exemple: les angles inscrit

\ADBet au centre[AOBinterceptent le m^eme arc_AB (gure 1 .11 (a)). Par consequent,

ADB=[AOB2

3. D euxan glesi nscritsi nterceptantl em ^emea rcso nt egaux.

Exemple: les angles inscrits

[CAB,\CDBet\CEBdans le m^eme cercle interceptent l'arc_CB(gure1 .11(b)). Par consequent,

CAB=\CDB=\CEB:

6

TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN4.Un a nglei nscritd ansu nd emi-cerclees tu na ngled roit.C elasi gnieq uel 'angle

droit intercepte un diametre. 5. T outt riangler ectangleest i nscriptibled ansu nd emi-cercled ontl ecen tres esi tue au milieu de l'hypotenuse (gure 1 .11 (c)). 6. L 'amplituded 'una nglet angentielest egale al am oitied ecel led el 'anglea ucen tre interceptant le m^eme arc.

Exemple: les angles tangentiel

[CABet au centre[AOB(gure1 .11(d))s ont egaux

CAB=[AOB2

:OA BD (a)A BE DC (b)CA BO (c)t BAC O (d) Fig.1.11 { Proprietes des angles au centre, inscrit et tangentiel

1.3 Les polygones reguliers

1.3.1 Denitions

Un polygone est une gure geometrique plane fermee formee de segments de droite. On distingue les polygones convexes, concaves et croises un polygone est convexe lorsque s'il est situe dans un m^eme demi-plan delimite par chaque droite comprenant les c^otes du polygone (gure 1 .12 (a)); un polygone est croise si deux de ses c^otes non consecutifs sont secants (gure 1.12 (b)); un polygone est concave s'il est non convexe et non croise (gure1 .12(c)).(a)(b)(c)(d) Fig.1.12 { Polygones : (a) convexe, (b) croise, (c) concave, (d) regulier 7

TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANUn polygone convexe est dit regulier lorsque tous ses c^otes sont de la m^eme longueur

et si tous les angles formes par deux c^otes consecutifs ont la m^eme mesure (gure 1. 12 (d)). Les polygones reguliers a trois, quatre, cinq, six, etc. c^otes sont respectivement appeles triangle equilateral, carre, pentagone regulier, hexagone regulier, etc.

1.3.2 Polygones reguliers et symetrie

Si le nombrende c^otes d'un polygone est pair (gure1 .13(a)),l esc ^otesso ntd eux a deux paralleles. De plus, le polygone possedenaxes de symetrie :n=2 axes joignent deux sommets opposes etn=2 sont les mediatrices des c^otes. Si le nombrenest impair (gure1. 13(b)), au nc^ otee stop poseu nsom met.L ep olygone possedenaxes de symetrie : ce sont les droites joignant le milieu d'un c^ote au sommet oppose. Les axes de symetrie, que le nombre de c^otes soit pair ou impair, sont concourants en un point : le centre de gravite du polygone regulier.(a)(b) Fig.1.13 { Axes de symetrie d'un polygone regulier

1.3.3 Proprietes des angles d'un polygone regulier

Denitions

On appelle diagonale d'un polygone regulier un segment de droite joignant deux angles non adjacents. Ainsi, un polygone regulier anc^otes possede (n3)n2 diagonales: On appelle angle au centre d'un polygone regulier anc^otes l'angle dont le sommet est le centre de gravite du polygone et qui intercepte un c^ote du polygone. On appelle angle exterieur d'un polygone convexe l'angle supplementaire d'un angle interieur. 8 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANProprietes Tout polygone convexe anc^otes peut ^etre decompose au moyen den2 triangles en tracant les diagonales de ce polygone (gure 1 .14 (a)).Ai nsi,l aso mmed esa ngles interieurs d'un polygone convexe anc^otes est (n2) 180: Puisque les angles interieurs d'un polygone reguliers anc^otes sont de m^eme amplitude (gure 1 .14 (b)), la mesure d'un angle de ce polygone est de n2n 180:
De plus, la somme des mesures des angles exterieurs d'un polygone regulier est de 360 et, en particulier, la mesure d'un angle exterieur est egale a la mesure de l'angle au centre. Si un polygone anc^otes est regulier, il est inscriptible dans un cercle dont le centre co ncide avec le centre de gravite du polygone (gure1 .14(c)). De ce fait, la mesure d'un angle au centre interceptant un c^ote est 360
n Ainsi, tout polygone regulier anc^otes peut ^etre decompose enntriangles isoceles iso- metriques dont deux c^otes sont egaux au rayon du cercle et dont le troisieme c^ote est un c^ote du polygone.(a)n2n

180(b)360

n (c) Fig.1.14 { Proprietes des angles d'un polygone regulier

1.3.4 Perimetre et aire d'un polygone regulier

On appelle apotheme d'un polygone regulier la longueur du segment abaisse du centre de ce polygone sur un des c^otes perpendiculairement a ce dernier (gure 1 .15 Le perimetrePd'un polygone regulier anc^otes est egal an loulest la longueur d'un c^ote. En utilisant les relations dans les triangles, on peut montrer que le perimetre d'un polygone regulier anc^otes s'exprime aussi par

P= 2nRsinn

9 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANa R

Fig.1.15 { Apotheme d'un polygone regulier

ouRest le rayon du cercle circonscrit au polygone.

L'aireAd'un polygone regulier anc^otes est

A=P a2

=n la2 ouaest la longueur de l'apotheme du polygone. En utilisant les relations dans les triangles, on montre que l'aire est aussi egale a

A=nR2cosn

sinn =n2

R2sin2n

1.3.5 Les quadrilateres inscriptibles dans un cercle

Les deux resultats suivants sont des consequences logiques des proprietes des angles inscrits interceptant un m^eme arc. 1. Un q uadrilatereco nvexeest i nscriptibled ansu ncer clesi et se ulementsi d euxan gles opposes (et, et) sont supplementaires (gure1. 16(a)). 2. Un q uadrilaterecr oiseest i nscriptibled ansu ncer cles iet seu lementsi d euxa ngles opposes (et, et) sont egaux (gure1. 16(b)). (a) (b) Fig.1.16 { Quadrilateres convexe et croise inscriptibles dans un cercle 10 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.4 L'arc capable d'un segment

1.4.1 Denition

On appelle arc capable d'un segment donne et d'angledonne l'ensemble des points sous lequel on peut voir ce segment sous l'angle. L'arc capable d'un segment est constitue de deux arcs de cercle de m^eme rayon syme- triques par rapport au segment considere (gure 1 .17 ).Fig.1.17 { Arc capable d'un segment

1.4.2 Construction

La determination de l'arc capable de l'angleconstruit sur le segment [A;B] se fait en plusieurs etapes. Considerons un angleaigu. Apres avoir trace la mediatrice du segment [A;B], on reporte, a partir deAou deBl'angle qui mesure 90sur le segment [A;B]. On appelle Ol'intersection de la mediatrice avec l'autre c^ote de l'angle (celui qui n'est pas sur la droiteAB). Le pointOest le centre d'un cercleCpassant parAetB. L'angle[AOBest un angle au centre du cercleCdont la mesure vaut 2. Ainsi, tout angle inscrit dans le cercleCinterceptant l'arcdABa une amplitude de. L'arc capable de l'angleest l'arc de cercle du cercleCcoloree en bleu.O 90
BA

Fig.1.18 { Arc capable d'un segment

Si l'angle est obtus, on commence avec l'angle qui mesure 180 11

TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANRemarque: on a trace l'arc de cercle pour la portion du plan situee au dessus du

segment [A;B]. L'arc capable (dans son entierete) est constitue de cet arc et de son symetrique par rapport au segment [A;B].

1.5 Les triangles

1.5.1 Generalites sur les triangles

Denition

Un triangle est un polygone ayant trois c^otes. Un exemple est donne a la gure 1 .19 .Fig.1.19 { Exemple de triangle

Proprietes

1. L as ommed est roisa nglesi nterieursd 'untr ianglev aut18 0 2. O nd istinguep rincipalementtr oisg randst ypesd et riangle: l estr ianglesa cutangles dont les trois angles sont aigus (gure 1 .20 (a)),l est rianglesr ectanglesd ontu na ngle vaut 90 (gure1. 20(b))et l est rianglesob tusanglesd ontu nan gleest o btus( gure 1.20 (c)).(a)(b)(c) Fig.1.20 { Triangles acutangle (a), rectangle (b) et obtusangle (c) 3. Au p lusg randc^ otees top posel ep lusg randa ngle( gure 1 .21 (a)). 4.

D ansto utt riangle,l al ongueurd 'unco tees t:

inferieure a la somme des longueurs deux autres c^otes,quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Mathématiques : Géométrie et calcul

[PDF] MATHEMATIQUES : Géométrie Plane 2nde exercice :

[PDF] MATHEMATIQUES : Geométrie Plane : exercie 2nde

[PDF] Mathématiques : Inéquation

[PDF] Mathématiques : L'algorithme d'Euclide PGCD

[PDF] Mathématiques : L'algorithme De Différences PGCD

[PDF] Mathématiques : La Géometrie dans l'espace

[PDF] Mathématiques : le cosinus

[PDF] Mathématiques : le idéal P d'une personne selon la formule de LORENTZ

[PDF] Mathématiques : les fonctions

[PDF] mathématiques : les fonctions affines

[PDF] Mathématiques : Montrer que pour tout x de R, f(x) inférieur ou égal à 8 Pour quelle(s) valeur(s) a-t-on f(x)= 8

[PDF] Mathématiques : Narration de recheche

[PDF] Mathématiques : Narration de recherche

[PDF] Mathématiques : nombres entiers consécutifs