RÉSOLUTION DINÉQUATIONS PDF II.3 Inéquation quotient .

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

II.1 Signe deax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Inéquation produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Inéquation quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

est une expression de la formeax+b >0ouax+b≥0ouax+b <0ou

La résolution d"inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations du premier degré,

sauf pour le sens de l"inégalité qui peut changer :

Propriété 1

Lorsque l"on multiplie ou divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre négatif, on change le

sens de l"inégalité.

Exemple 1

Résoudre dansRles inéquations2x+ 3>0et3-5x?0:

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

??x >-3 ?? S=? -3

2;+∞?

.?? S=? -∞;35? http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

Suivant le signe du coefficient directeura, on obtient les tableaux de signes suivants : a >0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b-0 + a <0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b+ 0-

On utilise un tableau de signeslorsque l"on veut résoudre une inéquations composée d"unproduitou d"unquotient

de facteurs.

II.2 Inéquation produit

dans la première colonne, on met les différents fac- teurs de l"inéqua- tionon place en abscisses les solutions des équations x-∞ -5 2 +∞

2x-4-|-0 +

-x-5+ 0-|- (2x-4)(-x-5)????- 0 + 0????- pour déterminer les co- lonnes, on résout les

équations

2x-4 = 0??x= 2

-x-5 = 0??x=-5

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Résoudre dansRl"inéquation(2x-1)2<(2x-1)(x-4): ??(2x-1)[(2x-1)-(x-4)]<0 ??(2x-1)(x+ 3)<0

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞ -312+∞

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

(2x-1)(x+ 3)+ 0????-0 + ?2x-1 = 0??x=12 ?x+ 3 = 0??x=-3 ÔConclusion : on cherche les signes "-» dans la dernière ligne d"où :S=? -3 ;1 2? http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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II.3 Inéquation quotient

On souhaite par exemple résoudre l"inéquation-2x+ 4x+ 3≥0.

La seule différence avec l"inéquation produit, c"est qu"il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour

laquelle le dénominateur est nul. Dans le tableau de signes, cela se traduit par une double barre au niveau des valeurs interdites x-∞ -3 2 +∞ -2x+ 4+ | + 0-

1x+ 3-0 + | +

-2x+ 4 x+ 3-||? ???+ 0- ? -2x+ 4 = 0??x= 2 ?x+ 3 = 0??x=-3

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

ÔOn commence par transformer l"expression de manière à n"avoir QUE des produits ou des quotient d"un côté, et un zéro

de l"autre : 2x+ 3 (2x+ 3)(2x-3)-4x(x-1)

4x2-9-4x2+ 4x

4x-9

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞13294+∞

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

4x-9 (x-1)(2x-3)-||+||-32+ ?4x-9 = 0??x=94 ?x-1 = 0??x= 1 ?2x-3 = 0??x=3 2 ÔConclusion : on cherche les solutions négatives ou nulles

S= ]- ∞; 1 [??3

2;94? http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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III Résolution graphique d"une inéquation

Soientfetgdeux fonctions de courbes représentativesCfetCg.

Les solutions de l"équationf(x)< k[respectivementf(x)> k] sont les abscisses des points de la courbeC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] de la droite horizontale d"équationy=k.

Les solutions de l"équationf(x)< g(x) [respectivementf(x)> g(x)] sont les abscisses des points deC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] deC g.

Exemple 4

On considère les courbes représentativesCfet deCgde deux fonctionsfetg.

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3

12345
-1 -2 -3 -4 -5 -6 Cf Cg y= 5 y= 0 y=-4 y=-5 http://mathematiques.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

Propriété 1

Exemple 1

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

2;+∞?

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

II.2 Inéquation produit

2x-4-|-0 +

équations

2x-4 = 0??x= 2

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Ôconstruction du tableau de signes :

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

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II.3 Inéquation quotient

1x+ 3-0 + | +

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

4x2-9-4x2+ 4x

Ôconstruction du tableau de signes :

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

S= ]- ∞; 1 [??3

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III Résolution graphique d"une inéquation

Exemple 4

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3