Cours de mathématiques discrètes PDF

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Math´ematiques pour l'informatique

Christophe GUYEUX

guyeux@iut-bm.univ-fcomte.fr

21 avril 2008

Table des mati`eres

I Th´eorie des ensembles13

1 Introduction`a la th´eorie des ensembles14

I. Rappels de th´eorie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Notion premi`ere d'ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 R`egles de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Sous-ensembles, ensemble des parties. . . . . . . . . . . . . 16

4 Repr´esentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II. Op´erations sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1´Egalite de deux ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 R´eunion, intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Compl´ementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Produit cart´esien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Relations binaires entre ensembles23

I. D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II. Application d'un ensemble dans un autre. . . . . . . . . . . . . . . . 24

1 D´efinition d'une application, d'une relation fonctionnelle. . . 24

2 Image et ant´ec´edent d'un ´el´ement. . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Applications injectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Applications surjectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Applications bijectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III. Cardinal et puissance d'un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1 Cas des ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Cas des ensembles infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Nombre d'infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV. Relations d'ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Ordre partiel, ordre total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4´El´ements maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Treillis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

V. Relations d'´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Classes d'´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Ensemble-quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

VI. Compatibilit´e entre une op´eration et une relation binaire. . . . . . . 46

3 Relationsn-aires48

I. D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1 Relations orient´ees et non orient´ees. . . . . . . . . . . . . . 48

2 Relations ´equivalentes, relations ´egales. . . . . . . . . . . . 50

3 Interpr´etation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 SGBD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II. Projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Th´eor`eme des projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III. Op´erations sur les relationsn-aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 R´eunion et intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Produit cart´esien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV. S´election d'une relationn-aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 V. D´ependances fonctionnelles et cl´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1 D´ependances fonctionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Th´eor`eme des d´ependances fonctionnelles. . . . . . . . . . . 55

3 Cl´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II Arithm´etique57

4 Ensembles de nombres entiers58

I. Nombres entiers naturels (N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Op´erations et relation d'ordre dansN. . . . . . . . . . . . . 60

3 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Relation de divisibilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Entiers relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

II. Division euclidienne dansZet applications. . . . . . . . . . . . . . 64

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2 Repr´esentation des nombres entiers. . . . . . . . . . . . . . 65

3 Arithm´etique modulon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Division??enti`ere??informatique et division euclidienne. . . 70

5 Arithm´etique modulo2ndans les ordinateurs. . . . . . . . . 71

III. Algorithmes d'Euclide et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1 PGCD de deux entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2 Algorithme d'Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Th´eor`eme de B´ezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Algorithme d'Euclide g´en´eralis´e. . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Repr´esentation des nombres r´eels en machine81

I. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II. Les formats IEEE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1 La norme IEEE 754. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2 Format??single??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3 Format??double??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Format??extended??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 D'une mani`ere g´en´erale.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Format??extended??des microprocesseurs.. . . . . . . . . . 86

III. R´eels repr´esentables et pr´ecision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Cryptologie et arithm´etique90

I. M´ethodes de cryptage??`a cl´e publique??. . . . . . . . . . . . . . . . 90

1 Principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2 Utilisation de l'indicatrice d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . 91

II. Choix d'un nombre n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2 D´ecomposition en facteurs premiers. . . . . . . . . . . . . . 94

7 Tests de primalit´e95

I. Th´eor`eme de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 II. Test de Miller-Rabin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 III. Tests de Lucas, Selfridge et Pocklington. . . . . . . . . . . . . . . . 96

8 D´ecomposition en facteurs premiers98

I. Divisions successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 II. Algorithme de Monte-Carlo (1975). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1 Pr´esentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2 L'algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

III. Algorithme du crible quadratique QS de Pomerance. . . . . . . . . . 100 IV. Algorithme(p-1)de Pollard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 V. Algorithme de Lenstra (courbes elliptiques). . . . . . . . . . . . . . 103

1 Introduction aux courbes elliptiques. . . . . . . . . . . . . . 103

2 Algorithme de Lenstra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

III Logique105

9 Alg`ebre de Boole106

I. Propri´et´es g´en´erales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2 R`egles de calcul dans une alg`ebre de Boole. . . . . . . . . . 108

II. Fonctions bool´eennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2 Fonctions bool´eennes ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Correspondance entre maxtermes et mintermes. . . . . . . . 113

4 Principaux r´esultats concernant mintermes et maxtermes. . . 114

5 Formes canoniques d'une fonction bool´eenne. . . . . . . . . 115

III. Repr´esentation et simplification des fonctions. . . . . . . . . . . . . 118

1 Diagrammes de Karnaugh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2 M´ethode des consensus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

IV. Compl´ement : R´esolution d'´equations bool´eennes. . . . . . . . . . . 129

1 Pr´esentation de la m´ethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2 Exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

V. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10 Calcul Propositionnel133

I. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1 Objets de la logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2 Production automatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3 Des probl`emes de l'´evidence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

II. Les fondements de la logique des Propositions. . . . . . . . . . . . . 134

1 Les Propositions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

2 Les connecteurs logiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3 Variables et Formes Propositionnelles. . . . . . . . . . . . . 143

III. Premier point de vue : la Logique des valeurs de v´erit´e. . . . . . . . 148

1 Fonctions de v´erit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2 Tautologies, antilogies, cons´equences logiques. . . . . . . . 150

3 Simplification du calcul des fonctions de v´erit´e. . . . . . . . 155

4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

IV. Deuxi`eme point de vue : th´eorie de la d´emonstration. . . . . . . . . 162

1 Pr´esentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2 Les axiomes logiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3 Les r`egles d'inf´erence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4 D´emonstrations et d´eductions sous hypoth`eses. . . . . . . . 165

5 Th´eor`eme de la d´eduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6 Quelques th´eor`emes classiques et quelques r`egles d'inf´erence

annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4

7 Technique de l'hypoth`ese suppl´ementaire. . . . . . . . . . . 173

8 M´ethodes de d´emonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10 Tableaux de Beth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

V. Compl´etude du calcul propositionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1 Th´eor`eme de compl´etude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2 Th´eor`eme de compl´etude g´en´eralis´e. . . . . . . . . . . . . . 184

11 Calcul des pr´edicats185

I. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

1 Insuffisances de la formalisation en Calcul Propositionnel. . 185

2 Univers du discours, sujets et individus. . . . . . . . . . . . 187

3 Groupes op´eratoires et termes. . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4 Groupes relationnels et atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5 Les quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6 Formules du calcul des pr´edicats. . . . . . . . . . . . . . . . 194

7 Champ d'un quantificateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

II. Th´eorie de la validit´e en calcul des pr´edicats. . . . . . . . . . . . . . 195

1 Extension des valeurs de v´erit´e au calcul des pr´edicats. . . . 195

2´Equivalences classiques entre formules. . . . . . . . . . . . 199

3 Substitutions libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4´Elimination et introduction des quantificateurs. . . . . . . . 201

III. Th´eorie de la d´emonstration en calcul des pr´edicats. . . . . . . . . . 202

1 Axiomes et r`egles d'inf´erence. . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2 Validit´e des r´esultats ´etablis en calcul propositionnel. . . . . 202

3 Le ( m´eta- ) th´eor`eme de la d´eduction. . . . . . . . . . . . . 202

IV. Le syst`eme formel??PR??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2 Calcul des pr´edicats ´egalitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 203

3 Interpr´etations de??PR??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4 (M´eta-)Th´eor`eme de compl´etude. . . . . . . . . . . . . . . . 204

5 Satisfiabilit´e et insatisfiabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . 204

V. Traitement des formules de??PR??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1 Forme pr´enexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

2 Forme de Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3 Forme clausale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

VI. Syst`eme de Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2 Univers, atomes, syst`eme de Herbrand. . . . . . . . . . . . . 209

3 Th´eor`eme de Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

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Christophe GUYEUX

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Table des mati`eres

I Th´eorie des ensembles13

1 Introduction`a la th´eorie des ensembles14

1 Notion premi`ere d'ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 R`egles de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Sous-ensembles, ensemble des parties. . . . . . . . . . . . . 16

4 Repr´esentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1´Egalite de deux ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 R´eunion, intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Compl´ementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Produit cart´esien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Relations binaires entre ensembles23

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1 D´efinition d'une application, d'une relation fonctionnelle. . . 24

2 Image et ant´ec´edent d'un ´el´ement. . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Applications injectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Applications surjectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Applications bijectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Cas des ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Cas des ensembles infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Nombre d'infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Ordre partiel, ordre total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4´El´ements maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Treillis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Classes d'´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Ensemble-quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Relationsn-aires48

1 Relations orient´ees et non orient´ees. . . . . . . . . . . . . . 48

2 Relations ´equivalentes, relations ´egales. . . . . . . . . . . . 50

3 Interpr´etation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 SGBD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Th´eor`eme des projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 R´eunion et intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Produit cart´esien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1 D´ependances fonctionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Th´eor`eme des d´ependances fonctionnelles. . . . . . . . . . . 55

3 Cl´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II Arithm´etique57

4 Ensembles de nombres entiers58

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Op´erations et relation d'ordre dansN. . . . . . . . . . . . . 60

3 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Relation de divisibilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Entiers relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2 Repr´esentation des nombres entiers. . . . . . . . . . . . . . 65

3 Arithm´etique modulon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Division??enti`ere??informatique et division euclidienne. . . 70

5 Arithm´etique modulo2ndans les ordinateurs. . . . . . . . . 71

1 PGCD de deux entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2 Algorithme d'Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Th´eor`eme de B´ezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Algorithme d'Euclide g´en´eralis´e. . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Repr´esentation des nombres r´eels en machine81

1 La norme IEEE 754. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2 Format??single??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3 Format??double??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Format??extended??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 D'une mani`ere g´en´erale.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Format??extended??des microprocesseurs.. . . . . . . . . . 86

6 Cryptologie et arithm´etique90

1 Principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2 Utilisation de l'indicatrice d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . 91

1 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2 D´ecomposition en facteurs premiers. . . . . . . . . . . . . . 94

7 Tests de primalit´e95

8 D´ecomposition en facteurs premiers98