Mathématiques pour linformatique 1
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Cours de mathématiques discrètes
3 nov. 2010 Mathématiques pour l'informatique. Christophe GUYEUX et Jean-François COUCHOT guyeux[arobase]iut-bm.univ-fcomte[point]fr.
Cours de mathématiques discrètes
21 avr. 2008 Mathématiques pour l'informatique. Christophe GUYEUX guyeux@iut-bm.univ-fcomte.fr ... 21 Exercices sur les grammaires langages et automates.
mathematiques-discretes-1-livre-traduit-.pdf
Je voulais donner aux étudiants qui étudient l'informatique tous les bases mathématiques dont ils ont besoin pour leurs études futures.
MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR LINFORMATIQUE
22 févr. 2013 MATHÉMATIQUES. POUR L'INFORMATIQUE. Cours et exercices corrigés. Jacques Vélu. Professeur honoraire au. Conservatoire national des arts et ...
Fiche de poste
19 mars 2021 Mots-clés enseignement : Analyse Algèbre
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES
On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles. I.3.1 Union et Intersection. Définition I.4 (Union). L'
Introduction aux mathématiques discrètes
Ce cours est un voyage au pays des mathématiques discrètes. Bibliographie. ? André Arnold Irène Guessarian. Mathématiques pour l'informatique.
Outils Formels pour lInformatique
Ce cours abordera : les mathématiques pour l'informatique (mathématiques discrètes logique
MAT 115 – Logique et mathématiques discrètes
[7] MARCHAND M. : Outils mathématiques pour l'informaticien : mathématiques discrètes : cours et exercices corrigés. Bruxelles : De Boeck
Outils Formels pour
l'InformatiqueJean-Marc Fédou
fedou@unice.frPrésentation
Ce cours abordera :
les mathématiques pour l'informatique (mathématiques discrètes, logique, dénombrement) la formalisation des objets informatiques (induction, langages formels, théorie des graphes) l'étude des performances des ordinateurs (complexité)Bibliographie
Concepts fondamentaux de l'informatique
Aho & Ullman, éd. Dunod.
Mathématiques pour l'informatique
A. Arnold & I. Guessarian, éd. EdiScience.
Méthodes mathématiques pour l'informatique
J. Vélu, éd. Dunod.
Introduction à l'algorithmique
Cormen, Leiserson & Rivest, éd. Dunod.
Mathématiques discrètes et informatique,
N.H. Xuong, éd. Masson.
Organisation du semestre
Début des cours le mardi 9 Septembre
Début des TD le mardi 16 Septembre
Cours et TD du Mardi 11 Novembre
remplacés le 18 NovembreQuelques interrogations écrites de 10mn en
TD, dont la moyenne sera pondérée par
l'asssiduité et la participationEvaluation
Deux devoirs surveillés (coeff 1/3 chacun)
Mardi 18 Novembre
Mardi 16 Décembre
Quelques interrogations écrites de 10mn en
TD, dont la moyenne sera pondérée par
l'asssiduité et la participation (coeff 1/3)Supports
Polycopiés distribués en cours
Transparents
Feilles de TD
Supports disponibles également sur
votre espace jalonVotre espace "Jalon"
Votre espace "Jalon"
Votre espace "Jalon"
Travaux Dirigés
Filière Math-Info
Groupe 1. J-M. Fédou
Mercredi 8h30 - 10h M1-4
Mercredi 14h45-16h15
M2-7Groupe 2. S. Julia
Mercredi 8h30 - 10h
M1-6Mercredi 13h-14h30 M1-1
Filière MPIE
Groupe 1. J-M. Fédou,
Mardi 8h30 -11h45 , M2-4
Groupe 2. B. Beauquier
Lundi 13h-14h30
M2-3Jeudi 8h30-10hM2-4
Groupe 3. B. Beauquier
Mardi 10H15- 11h45 M2-3
Jeudi 8h30-10h M2-5
Motivations
Mathématiques discrètes
et Informatique L'informatique ne manipule que des suites FINIES de 0 et de 1 Textes. Une page A4 comporte environ 2500 caractères, chacun codé sur 8 bits en ISO 8859-1 (Latin1) Images. Une image standard contient aujourd'hui 8 millions de pixels Sons. Un morceau de musique de 6mn au format MPeg 3 nécessite 8Mégaoctets
Vidéos. Une vidéo de 6mn sur youtube nécessite 15 Mo Programmes. Le programme qui a permis d'écrire ce document a une taille de 283,7 MégaoctetsLa géométrie de l'ordinateur
n'est pas euclidienne 12La géométrie informatique
n'est pas euclidienneDeux droites non parallèles
peuvent n'avoir aucun points d'intersection ou peuvent en avoir plusieursLimites de
l'informatique Certains problèmes n'ont pas de solutions, comme le problème de l'arrêt. D'autres ont des solutions, mais algorithmiquement inefficaces (Sac à dos, Voyageur de commerce)Certains algorithmes sont meilleurs que d'autres
Langages
Au début étaient les cartes perforées, l'assembleur et ce n'est que dans les années 50-60 que sont apparus des langages de programmation plus pratiques à utiliser La théorie des langages est à la base des compilateurs ou interpréteurs que vous utilisez : analyse lexicale, analyse syntaxique, analyse sémantique ... La théorie des langages a des applications dans bien d'autres domainesCryptographie, codes
Compression
Biologie (Etude du génome)
Théorie des graphes
Les graphes modélisent les réseaux de communication, les bases de données, le web, .... Les algorithmes de graphes sont utilisés partout enInformatique
La recherche dans le domaine des graphes et des réseaux est très activeThéorie des graphes
Image du web
Théorie des graphes
Réseaux sociaux
Théorie des graphes
Systèmes de fichiersGraphes de dépendancesStructure RNAPlan du cours
1. Ensembles et Dénombrabilité
2. Relations, Fonctions et Ordres
3. Récurrence et Induction
4. Logique Propositionnelle
5. Logique des Prédicats
6. Dénombrement
7.Suites Récurrentes
8.Graphes et Arbres
9.Complexité des Algorithmes
10.Langages Rationnels
11.Automates finis
12.Algorithmique de graphes
Ensembles
et dénombrabilitéEnsembles et éléments
Un ensemble d'éléments est une collection d'objets distincts. Un ensemble est défini par les éléments qu'il contient et qui lui appartiennent.La relation d'appartenance d'un élément à un ensemble est notée ∈ (ex: x ∈ E).
L'unique ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté ∅ Les éléments d'un ensemble ne sont pas ordonnés entre eux. Un ensemble peut être élément d'un autre ensemble, mais pas de lui-même ! (voir le paradoxe de Russell)Calcul ensembliste
Opérations sur les ensembles:
Union : x∈A∪B ssi (x∈A ou x∈B) Intersection : x∈A∩B ssi (x∈Aet x∈B)Complémentaire : x∈A = C(A) ssi x∉A
Différence : A\B=A∩B
Différence symétrique : A∆B=A\B∪B\A Produit cartésien : (x,y)∈A×B ssi x∈A et y∈B Note: deux ensembles sont dits disjoints si leur intersection est vide. BAA∩B
Calcul ensembliste
Soient A, B et C trois ensembles.
Commutativité : A∪B = B∪A A∩B=B∩A
Associativité : (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B) ∩C=A∩(B∩C)
Distributivité:
De l'union par rapport à l'intersection ( à gauche et à droite)A∪(B∩C) =(A∪B) ∩(A∪C) (A∩B) ∪C=(A∪C) ∩(B∪C)
De l'intersection par rapport à l'union ( à gauche et à droite)A∩(B∪C) =(A∩B) ∪(A∩C) (A∪B) ∩C=(A∩C) ∪(B∩C)
Lois de Morgan : A∪B = B∩A A∩B = B∪A
Fonction caractéristique
La fonction caractéristique d'une partie A d'un ensemble E est définie par X A : E {0,1} X A (x) = 1 si x ∈ A X A (x) = 0 si x∉AOn remarque que
XA∩B(x)= X
A (x) X B (x) XA∪B
(x)= X A (x)+ X B (x)-XA∩B(x)XA(x)= 1-X
A (x)Définition d'un ensemble
Un ensemble peut être défini :
en extension: par la liste exhaustive de ses éléments ex. {2,4,6,8} en compréhension: par une propriété vérifiée par ses éléments (en général déjà définis dans un (sur-)ensemble donné) ex: les entiers naturels pairs (dans le sur-ensemble IN)Exemples
Dans la sémantique de Java, un type primitif correspond à un ensemble de valeurs. le type boolean s'interprète comme l'ensemble {VRAI, FAUX} le type int, comme l'ensemble des entiers d'un intervalle [ -2 32, 2 32
le type long, comme l'ensemble des entiers d'un intervalle [ -2 64
, 2 64
le type float, comme l'ensemble des nombres flottants à double précision (représentés sur 32 bits)
le type double, comme l'ensemble des nombres flottants à double précision (représentés sur 64
bits) . Attention, ce n'est pas l'ensemble R, puisque c'est un ensemble fini (il n'y a que 2 64valeurs possibles), qui contient seulement certains nombres réels
Inclusion d'ensemble
On dit qu'un ensemble E est inclus dans
un ensemble F lorsque tout élément de E est également élément de F.La relation d'inclusion entre deux
ensembles est notée ⊆ :A ⊆ B ssi (x ∈ A 㱺 x ∈ B)
donc A=B ssi (A ⊆ B et B ⊆ A)Ensemble des parties
d'un ensembleEtant donné un ensemble E, l'ensemble de ses
parties est noté P(E)P(E)={A/ A ⊂ E}
Attention, si x ∈ E, alors
{x} ⊂ E {x} ∈ P(E) P(E) contient au moins ∅ et E comme élémentsParadoxe de Russell
Considérons la définition E={F tel que F est un ensemble}, Autrement di, E est l'ensemble de tous les ensembles.On a une contradiction en remarquant que :
"F est un ensemble» est bien une propriété mais ici le sur- ensemble serait E lui-même... Et donc, si E était un ensemble bien défini alors on aurait E∈E! Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il avait été découvert par Ernst Zermelo, autour de 1900, qui ne l'a pas publiéParadoxe de Russell
Raisonnement par l'absurde: si E est bien un ensemble, alors on peut aussi définir l'ensembleA={G∈E tel que G∉G}
De deux choses l'une:
soit A∈A et alors A∉A 㱺 contradiction soit A∉A et alors A∈A 㱺 contradiction aussiD'où le paradoxe
L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas !
Le cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments . On dira que deux ensembles ont même cardinalité lorsqu'il peuvent être mis en bijection.On distingue en particulier
Les ensembles finis (dénombrables au sens large), sont les ensembles qui peuvent être mis en bijection avec {1,2,...,n} Les ensembles infinis dénombrables, en bijection avec IN, de cardinal noté 㲙 0 Les ensembles infinis non-dénombrables, impossibles à mettre en bijection avec IN.Cardinalité
L'ensemble [0,1[ est
infini non dénombrableArgumentation : diagonale de Cantor
Si [0,1[ était dénombrable alors [0,1[={x
i ,i ∈ IN}.Tout réel x
i admet un écriture décimale illimitée x i =0,x i 1 x i 2 ...x i i ... où i k ∈{0,1,2,...,9}Considérons alors une suite d'entier y
n de {0,1,2,...,8} tq y n x n n pour tout entier nAlors y=0, y
0 y 1 y 2 ... y n ... est différent de chacun des x iL'ensemble IN
2 est dénombrable Le cardinal d'un ensemble E fini est noté |E |. Remarquons que |E | = Є x∈E X E (x)Si E et F sont deux ensembles disjoints alors
|E∪ F | = |E |+ |F | Si (E i )est une partition d'un ensemble E alors |E | = Є i |E i Si E et F sont deux ensembles quelconques alors |E∪ F |= |E |+ |F | - |E ∩ F | Formule du Crible (généralisation à n ensembles (E i 1 i nCardinaux finis
Soient E, F des ensembles finis.
Principe multiplicatif
|E × F |= |E |∗ |F |Généralisation à n ensembles
Principe d'égalité
Il existe une bijection entre E et F ssi |E|= |F|Cardinaux finis
Soient E et F deux ensembles finis.
Principe d'inégalité ou principe des tiroirs : (pigeon-hole principle) Si |E |> |F | alors il n'existe pas d'injection de E dans F.Interprétation équivalente :
Si n objets sont dans m tiroirs et si n>m, alors il existe au moins un tiroir qui contient au moins deux objets. Si n pigeons nichent dans m trous, alors il y a au moins deux pigeons dans un même trouCardinaux finis
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