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Skander Belhaj
Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie),Skander Belhaj est docteur en mathématiquesappliquées et spécialiste d'algèbre matricielle rapide. Chercheur à l'université de Tunis El Manar
(ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut
supérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l'université libre de Tunis.Sommaire
I. Analyse
1. Fonctions d'une variable réelle
2. Développements limités
3. Fonctions réelles à deux variables
4. Optimisation et recherche d'extremums
de deux variables5. IntégrationII. Algèbre1. Polynômes et fractions rationnelles2. Espaces vectoriels3. Applications linéaires, matrices4. Systèmes d'équations linéaires,
déterminant5. Diagonalisation d'une matrice carrée
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Maquette intérieure : Sébastien Mengin/Edilibre.netComposition et mise en page de l'auteur
Couverture : Linda Skoropad/Prescricom
ISBN 978-2-311-00273-7
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La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les " copies ou reproductions
strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les
courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, " toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le
consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1 er de l'article 40). Cette représentation oureproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du
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droit de copie :20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70 © Vuibert - novembre 2011 - 5, allée de la 2 eDB 75015 Paris
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ii belhaj 2011/10/20 16:16 page III #1 ii i ii iTable des matièresIntroduction VII
Analyse 1
1 Les fonctions numériques d'une variable réelle3
1.1 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Diérentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Développements limités29
2.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Fonctions équivalentes, dénition et opérations . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Fonctions réelles à deux variables43
3.1 Généralités et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Optimisation et recherche d'extremums de deux variables53
4.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ii belhaj 2011/10/20 16:16 page IV #2 ii i ii iIVTable des matières5 Intégration59
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Algèbre67
6 Polynômes et fractions rationnelles69
6.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Espaces vectoriels81
7.1 L'espace vectorielRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Applications linéaires, matrices91
8.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9 Systèmes d'équations linéaires, déterminant111
9.1 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10 Diagonalisation d'une matrice carrée125
10.1 Élément propre d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2 Diagonalisation d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Corrigés133
Corrigés du chapitre 1135
Corrigés du chapitre 2147
Corrigés du chapitre 3153
Corrigés du chapitre 4161
Corrigés du chapitre 5169
ii belhaj 2011/10/20 16:16 page V #3 ii i ii iTable des matièresVCorrigés du chapitre 6173
Corrigés du chapitre 7175
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