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Lexique Mathématiques et Sciences de la nature. 40. 2. MAThéMATIquES ET PhYSIquE – MEP. PLAN D'éTuDES ROMAND – SPéCIFICITé VAuD

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MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE SOUS. L'ANGLE D'ARKTOTE ARCHIMEDE ET. CHÂTELET. FRANÇOIS LAGACÉ. En 1926

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Le 1er semestre de ce portail de licence est pluridisciplinaire et conduit aux mentions de Mathématiques d'Informatique et de Physique

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27 juin 2016 Quelle synergie entre mathématiques et physique au sein de l'enseignement universitaire? Michel Roland. To cite this version: Michel Roland.

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Mathématiques et Physique. Le langage de la. Nature est-il mathématique? Didier Robert Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

1 / 54 Mathématiques et physique

(Roger Balian et Jean Zinn-Justin) Les rapports entre mathématiques et physique ont toujours été étroits, et floue la frontière qui les sépare. Il n"existe aucun domaine de la physique qui ne fasse appel, sous une forme ou sous une autre, aux mathématiques. En sens inverse, les progrès de celles-ci ont souvent été, et sont encore stimulés par des difficultés rencontrées par des physiciens. Aujourd"hui, les relations entre physique et mathématiques ont atteint un tel degré d"intensité, une telle diversité, et ont un caractère si évidemment fructueux qu"il est impensable de leur consacrer dans le présent rapport une place proportionnelle à leur importance, malgré la longueur de ce chapitre ; si l"on souhaitait ne serait-ce que les recenser, il faudrait passer en revue les deux sciences en quasi-totalité (voir rapport de conjoncture des Sections 01 et 02 du CNRS). On se borne donc dans ce chapitre à des indications générales, précisées par quelques exemples. La physique est un vaste domaine, aux frontières floues. On laisse ici de côté l"astrophysique, la géophysique interne et externe, la physico-chimie, la biophysique, ainsi que la physique appliquée ; on aborde certains aspects de la mécanique, bien que cette science soit souvent considérée en France comme extérieure à la physique. La première section décrit la nature et la complexité des interactions existant entre physique et mathématiques. La deuxième section est consacrée à la théorie quantique des champs, dont le rapide développement au cours des cinquante dernières années illustre l"influence mutuelle des deux disciplines dans les recherches de pointe ; cette section présente un caractère technique qui était inévitable, et un glossaire est inclus. La troisième section présente un autre exemple contemporain, la turbulence. La quatrième section met en évidence des bénéfices variés que l"on pourrait retirer d"une intensification des interactions, tant dans l"enseignement que dans la recherche.

1 Des relations étroites, multiformes et fécondes.

Le but de cette section est de mettre en évidence ce qui rapproche physique et mathématiques, ce qui les distingue, et de montrer la variété de leurs interactions.

1.1 Omniprésence des mathématiques en physique.

2 / 54 1.1.1 Les mathématiques, langage de la physique.

Parmi toutes les sciences, la physique est la plus proche des mathématiques. L'une des raisons de cette parenté tient à un caractère spécifique de la physique : elle ne peut être pensée et véritablement comprise sans faire appel à un langage précis relevant des mathématiques. Celles-ci ne fournissent pas seulement des outils à la physique, comme elles le font pour d'autres disciplines ; elles en constituent le langage même, comme Galilée l'affirmait déjà avec force : " On ne peut comprendre ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux, l'Univers, si l'on n'apprend pas d'abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit : il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont des figures géométriques sans l'intermédiaire desquelles il est impossible d'en comprendre un mot ». Le fait que l'on ne puisse penser la physique qu'en termes mathématiques s'est imposé définitivement vers le début du XIXème siècle, où l'on a constaté que les mots ne suffisaient plus. Le mémoire où Carnot énonce en 1824 le deuxième principe de la thermodynamique est l'un des derniers ouvrages importants de physique ne comportant pas de formule. Un an auparavant, J.-B. Biot écrivait dans la préface de son " Précis élémentaire de physique expérimentale » destiné à fournir une culture générale à des étudiants d'autres disciplines : " Ce n'est pas sans regrets que je me suis résolu à présenter aux élèves un ouvrage où la physique est dépouillée de ce qui fait sa principale utilité et sa certitude, je veux dire les expressions et méthodes mathématiques. En renonçant aux secours du langage algébrique, on abandonne avec lui les conséquences les plus éloignées des théories, et leurs vérifications les plus sûres. » Cette imprégnation de la physique par les mathématiques n'a cessé depuis lors de se renforcer. La nécessité croissante d'exprimer les lois de la physique en termes mathématiques les rend malheureusement de plus en plus difficiles d'accès au grand public. Elle continue à émerveiller le physicien, qui pense comme Heisenberg que " l'idée que les mathématiques peuvent s'adapter aux objets de notre expérience est remarquable et passionnante ; notre connaissance de la nature est représentée par des formules ». En effet, les équations de Maxwell, de Boltzmann ou de Newton ou d'Einstein, résument chacune une loi fondamentale de la physique, qu'il serait fastidieux, imprécis ou même impossible de traduire en mots.

1.1.2 Les mathématiques, outil quotidien du théoricien.

Depuis plusieurs siècles, la physique progresse grâce à des outils fournis par les mathématiques. Les théories physiques reposent sur de

3 / 54 nombreux concepts et techniques appartenant à la plupart des branches des

mathématiques : analyse, géométrie, algèbre, topologie, probabilités ou arithmétique. Ainsi, la théorie des groupes sert de fondement à la classification des états de la matière (cristaux, quasi-cristaux, mésophases), à celle des configurations des édifices nucléaires, atomiques ou moléculaires et à celle des particules élémentaires. L'algèbre linéaire, la théorie des distributions, sont consubstantielles à la physique quantique. Les milieux continus, à toute échelle, sont caractérisés par des équations aux dérivées partielles. Leurs défauts structurels s'analysent à l'aide de la topologie. Des phénomènes dynamiques divers, qu'ils soient mécaniques ou électromagnétiques, thermiques ou associés à une diffusion de particules, font intervenir la réponse d'un système à une sollicitation extérieure ; en régime linéaire, la propriété physique de causalité s'exprime par l'analyticité en termes d'une variable complexe des fonctions de réponse. Deux branches fondamentales de la physique du XXème siècle, la mécanique quantique et la physique statistique, sont basées sur les probabilités. Même l'arithmétique est présente : l'effet Hall quantique, par exemple, fait intervenir de façon inattendue des entiers et des fractions rationnelles simples ; il en est de même pour les quasi-cristaux, et pour la stabilité des orbites dans les systèmes dynamiques. Les mathématiques utilisées par le physicien peuvent selon le cas être aussi bien traditionnelles qu'avancées. Il lui arrive d'exhumer certaines mathématiques considérées comme désuètes. Qu'il soit chercheur ou ingénieur, il a besoin de disposer d'un vaste arsenal mathématique. Le théoricien crée même parfois les mathématiques qui lui sont nécessaires.

1.1.3 L'informatique.

Un aspect encore plus évident de l'emploi des mathématiques en physique est l'analyse numérique et le calcul. Les progrès de la physique, tant théorique qu'expérimentale, lui permettent de décrire ou de prévoir de nombreux phénomènes avec une précision considérable. Contrôler des résultats exprimés avec de nombreux chiffres significatifs, typiquement une dizaine en métrologie atomique, suppose une maîtrise de méthodes numériques avancées, recouvrant aussi bien le maniement ou la résolution algébrique des équations qui gouvernent les phénomènes en jeu que leur mise en oeuvre informatique. Théoriciens et expérimentateurs sont ainsi de gros consommateurs de mathématiques appliquées et de calcul sur ordinateur, dans toutes les branches de la physique. Un autre type d'emploi de l'ordinateur par des physiciens s'est considérablement développé depuis un demi-siècle, la simulation. L'une des caractéristiques de la physique, parmi les diverses sciences de la nature, est la mise en évidence de phénomènes aussi généraux que possible, cachés sous la complexité des choses qui nous entourent. Afin d'isoler de tels

4 / 54 phénomènes, l'expérimentateur contrôle autant que faire se peut les

paramètres des objets qu'il étudie. Cependant, les résultats cherchés sont susceptibles de ressortir plus clairement grâce à une simulation numérique : il s'agit d'une étude sur ordinateur de modèles, objets abstraits, simplifiés, régis par les seules lois de comportement supposées pertinentes pour le phénomène étudié. La simulation se pratique dans les domaines les plus divers de la physique. Selon le cas, elle peut servir à préparer ou guider une expérience, à recouper ou valider ses résultats. Elle peut même s'y substituer, au risque de se couper de la réalité au cas où le modèle mathématique étudié serait trop éloigné de celle-ci. Mentionnons aussi le calcul algébrique formel sur ordinateur. Il a été introduit en physique théorique, bien avant l'existence de logiciels de calcul, afin d'engendrer des termes d'ordre de plus en plus élevé dans les séries perturbatives de la théorie des champs (section 2.2.1). Ces termes, représentés par des diagrammes, sont dénombrés et construits de façon automatique, puis calculés sous forme d'intégrales multiples. Le physicien a de plus en plus souvent besoin d'élaborer des algorithmes lui permettant d'adapter ses problèmes à l'ordinateur. L'informatique est également devenue un outil quotidien pour le physicien expérimentateur, qui s'en sert tant pour piloter ses appareils que pour recueillir et manipuler ses résultats. Il fait souvent appel dans ce cas simultanément aux mathématiques et à l'informatique. Ainsi, les utilisateurs les plus précoces des gros ordinateurs ont été les expérimentateurs des particules, qui ont besoin non seulement de très grands instruments de physique mais aussi de programmes informatiques extrêmement élaborés. La préparation des expériences, qui peut prendre des années, repose sur des simulations aussi réalistes que possible, où sont contrôlés systématiquement les multiples paramètres des détecteurs. La prise des données, le dépouillement et l'analyse des résultats, nécessitent le maniement d'une quantité d'information gigantesque. Il a fallu par exemple, pour découvrir les particules W et Z, responsables de l'interaction dite faible, faire un tri quasi instantané de quelques événements rares lors de l'enregistrement de milliards de collisions ; la probabilité de produire ces particules étant extrêmement faible, le tri ne peut qu'être automatique. En pareil cas on doit allier une programmation de pointe à une analyse statistique subtile d'une masse de données considérable. Il n'est donc pas surprenant que certains expérimentateurs des particules, habitués à manipuler d'aussi énormes quantités de données, se soient reconvertis vers d'autres domaines, comme l'astrophysique, l'imagerie ou l'informatique, où ils ont apporté leurs compétences. Notons en passant que le réseau mondial de communication et de publication scientifiques par voie électronique est également né dans la communauté, fortement structurée, des physiciens des particules. Chaque

5 / 54 expérience rassemble en effet un très grand nombre de chercheurs, basés

dans des laboratoires géographiquement dispersés, et il est vital pour eux d'être reliés en permanence ; il leur était naturel d'employer à cet usage les gros ordinateurs nécessaires par ailleurs à leurs observations. La variété d'emploi de l'informatique en physique est donc grande : calculs numériques de précision, résolution d'équations, simulations, algorithmique, pour le théoricien ; simulations en vue de tester les performances des appareils, prise et traitement des données pour l'expérimentateur ; échanges scientifiques pour tous.

1.2 Synergie entre mathématiques et physique.

Tous les physiciens ont donc crucialement besoin de mathématiques. Il faut souligner qu'il leur suffit, dans la majorité des cas, de s'appuyer sur des mathématiques existantes, de grande importance pratique pour eux mais n'ayant plus guère d'intérêt pour les mathématiciens. Cependant, les problèmes de pointe de la physique théorique butent souvent sur des questions de nature mathématique. De pareilles difficultés constituent un puissant stimulant et une source de progrès pour les mathématiques. Tantôt, le problème est déjà connu, mais non résolu ; son importance pour la physique incite des chercheurs des deux disciplines à y travailler, avec une imagination aiguisée par l'éclairage nouveau apporté par la physique. Tantôt, la question n'a encore jamais été posée. La physique suscite alors l'intérêt des mathématiciens pour tel ou tel domaine encore en friche et contribue à la création de nouvelles branches des mathématiques. Elle peut aussi inspirer de nouvelles voies d'approche, car des méthodes heuristiques ou empiriques basées sur l'expérience ou la simulation peuvent apporter des éléments de solution à des problèmes ouverts de mathématiques. C'est ainsi que le calcul différentiel et intégral a progressé grâce à des échanges avec la mécanique et la thermodynamique, que la résolution des équations aux dérivées partielles a été stimulée par l'étude de la propagation d'ondes, la théorie des groupes par des questions de classification signalées ci-dessus. La théorie mathématique de la résurgence, initialement inspirée par les systèmes dynamiques classiques non linéaires, est parvenue à maturité vers 1980 en liaison étroite avec des progrès dans la compréhension de la limite classique de la physique quantique. Certaines équations non linéaires aux dérivées partielles issues de la physique, comme les équations de Boltzmann, de Navier-Stokes ou de Yang-Mills, posent des problèmes qui continuent à susciter un intérêt soutenu chez les mathématiciens. Le plus souvent, les deux disciplines progressent alternativement grâce à un va-et-vient qui s'instaure entre elles. Ainsi, Fourier s'est d'abord attaqué en physicien au problème de la propagation de la chaleur : il en a

6 / 54 établi les lois, basées sur une équation de conservation et sur une équation

de réponse exprimant que le flux de chaleur est proportionnel au gradient de température. Ayant ainsi mis le phénomène en équations, il s'est heurté au problème de leur résolution. En tant que mathématicien, il a imaginé pour cela la théorie des séries de Fourier, est revenu à la physique en essayant d'appliquer celle-ci au problème de la chaleur, a échoué, puis a inventé les intégrales de Fourier qui lui ont enfin apporté le succès. Non seulement le problème initial avait ainsi été résolu grâce à des allers et retours entre les deux disciplines, mais un immense domaine des mathématiques avait été créé, qui continue à irriguer toute la physique. Ce va-et-vient n'est pas achevé, comme en témoigne la récente histoire des ondelettes (section

4.6.1).

De même, c'est un problème d'hydrodynamique, la propagation sans déformation d'une onde solitaire, qui a initié la théorie des solitons dans les équations aux dérivées partielles non linéaires ; les solitons apparaissent actuellement dans de tout autres domaines de la physique, par exemple pour décrire certaines particules à l'échelle infra-nucléaire. Un va-et-vient prolongé marque aussi le domaine des systèmes dynamiques dits chaotiques, où des équations déterministes donnent naissance à des phénomènes mal prévisibles. Initiées par Poincaré dans le cadre de la mécanique céleste, ces études, dont l'impact s'étend aujourd'hui à d'autres disciplines comme la cinétique chimique, la climatologie ou la dynamique des populations en biologie, ont bénéficié au cours du dernier demi-siècle d'idées nouvelles issues de la physique, comme l'intermittence ou l'universalité des régularités observées dans les processus de bifurcation lors d'itérations. Aujourd'hui, cette forte interaction se focalise sur le chaos spatio-temporel ou ce qu'on appelle le " chaos » quantique, questions importantes pour la physique et mal résolues malgré les idées apportées par les simulations. Quant à la turbulence, phénomène dynamique pour lequel le désordre des mouvements provient non seulement de la non-linéarité des équations comme dans la dynamique chaotique proprement dite, mais aussi du nombre infini des degrés de liberté, sa compréhension reste un défi. Le parallélisme de bien des progrès de la physique et des mathématiques est illustré par les noms de nombreux savants qui dans le passé se sont distingués dans les deux disciplines, de Newton à Gauss, de Poisson à Ampère, de Laplace à von Neumann. Cependant, au cours du XXème siècle, entre les années 20 et 50, physique et mathématiques ont semblé diverger, tout en progressant rapidement grâce à leur dynamique propre ; la spécialisation croissante des chercheurs a contribué à les isoler. D'un côté, l'explosion de la microphysique n'avait guère besoin que de mathématiques déjà établies. La mécanique quantique, même si elle a accéléré la mathématisation de la physique, s'appuyait surtout sur des disciplines existantes, analyse complexe, équations aux dérivées partielles,

7 / 54 algèbre linéaire, théorie de Fourier. De même, la relativité générale, qui

n'est autre qu'une théorie géométrique de la gravitation, introduisait en physique le concept de variété riemannienne, connu des mathématiciens depuis un demi-siècle ; il est cependant probable que les progrès ultérieurs de la géométrie différentielle ont été impulsés par l'existence d'une application aussi spectaculaire. De leur côté, les mathématiques, elles aussi, progressaient rapidement, par elles-mêmes, grâce à un immense travail d'unification, de systématisation et de clarification ; cette autonomie a été particulièrement marquée en France où s'est épanoui le bourbakisme. Et pourtant, même pendant cette période, des notions mathématiques récentes fertilisaient la physique. Ainsi, la mécanique quantique a intégré les notions d'espaces de Hilbert, d'algèbres d'opérateurs et d'analyse spectrale. Elle a anticipé sur la théorie des distributions. En parallèle avec la relativité restreinte, elle a nécessité une compréhension en profondeur de la théorie des groupes, dont Poincaré venait de souligner l'intérêt pour la physique. L'importance accrue de cette théorie dans le cadre de la microphysique tient au fait que, plus un système est élémentaire, plus il est gouverné par des propriétés de symétrie associées à des groupes. S'il y a eu divorce relatif entre physique et mathématiques, il s'est estompé au cours des dernières décennies. Nous signalerons plus loin quelques points de convergence entre mathématiques en devenir et physique en devenir. Tous les rapports d'activité en mathématiques soulignent que la plupart des domaines (algèbre, théorie des nombres, géométrie et topologie algébrique, combinatoire, probabilités, analyse, équations aux dérivées partielles, systèmes dynamiques, etc.) ont connu des percées spectaculaires récentes sous l'effet d'idées issues de la physique. Durant ce rapprochement remarquable, l'utilisation massive de mathématiques plus traditionnelles estquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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