[PDF] Module Mathématiques I : Alg`ebre

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Universit´e Mohammed V - Agdal

Facult´e des Sciences

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014

Rabat, Maroc

.:: Module Math´ematiques I : Alg`ebre ::.

Fili`ere :

Sciences de Mati`ere Physique (SMP)

et

Sciences de Mati`ere Chimie(SMC)

Chapitre III: Polynˆomes surRetC

Chapitre IV: Fractions rationnelles

Par

Prof: Jilali Mikram

Groupe d"Analyse Num´erique et Optimisation

http://www.fsr.ac.ma/ANO/

Email : mikram@fsr.ac.ma

Ann´ee : 2005-2006

1

TABLE DES MATIERES

1 Polynˆomes 3

1.1 Pr´esentation des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Lois sur|[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Z´eros d"un poynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Polynˆome d´eriv´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Formules de Mac-Laurin et de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Ordre de multiplicit´e d"une racine . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Th´eor`eme de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . 13

2 Fractions rationnelles 14

2.1 Degr´e, partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Pˆoles et partie polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Pratique de la d´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . 19

2

Chapitre 1

Polynˆomes

1.1 Pr´esentation des polynˆomes

D´efinition 1.1.1

On se place sur un corps commutatif|. Un polynˆome est d´efini par la donn´ee de ses coefficientsa0;;:::;an´el´ements de|.X´etant une lettre muette, on noteP(X) =a0+a1X+:::anXnouP k¸0a kXk, ´etant entendu que la somme ne comporte qu"un nombre fini deaknon nuls. On distingue parfois le polynˆomeP(X) (qui, par construction, est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls (*)) de la fonction polynˆomiale associ´ee:

P:|¡!|

x¡!a0+a1x+:::anxn=P(x) Celle-ci est nulle si et seulement si :8x2|;P(x) = 0(**)

On a bien ´evidemment l"implication :

P(X) = 0 =) 8x2|; P(x) = 0:

Mais la r´eciproque est loin d"ˆetre ´evidente. Nous allons montrer que, lorsque|est ´egal `aRouC, il y a ´equivalence, ce qui permet de confondre polynˆome et fonction polynˆomiale. La phraseP= 0 gardera cependant de pr´ef´erence le sens (*).

Proposition 1.1.1

3 i) SoitPun polynˆome `a coefficients dansRouC. Alors si la fonction polynˆomiale associ´ee `aPest identiquement nulle.Pa tous ses coefficients nuls. ii) SoitPetQdeux polynˆomes dansRouC. Alors, si les fonctions polynomiales associ´ees sont ´egales (prennent les mˆemes valeurs), les deux polynˆomes sont ´egaux (ont leurs coefficient ´egaux).

D´emonstration:

i)|contenantR, nous supposons que la variable x ne prend que des valeurs dansR. Soit P=P k¸0a kXktel que8x2|;P(x) = 0

Alors, pourx= 0, on obtienta0= 0. Donc:

8x2R,a1x+:::+anxn= 0

=) 8x6= 0 ,a1+:::+anxn¡1= 0 On ne peut plus prendrex= 0, cependant, on peut prendre la limite lorsquextend vers 0, ce qui donnea1= 0, etc... ii) se prouve en appliquant i) `aP¡Q. SiP6= 0, on appelle degr´e dePle maximum desk, tels queak6= 0. Si

P= 0 , on posedeg(P) =¡1

SiPest de degr´en,anXnest le terme (ou monˆome) dominant. Sian= 1, le polynˆome est dit unitaire ou normalis´e. On note|[X] l"ensemble des polynˆomes sur le corps|.

1.2 Lois sur|[X]

a)

Somme de deux polynˆomes:

SiP=P k¸0a kXketQ=P k¸0b kXk, alorsP+Q=P k¸0(ak+bk)Xk

On a :

deg(P+Q)·max(deg(P), deg(Q). L"´egalit´e a lieu si les polynˆomes sont de degr´es diff´erents, ou s"ils sont de mˆeme degr´e et que les termes de plus haut degr´e ne s"´eliminent pas. 4 b)

Produit de deux polynˆomes:

SiP=P k¸0a iXketQ=P k¸0b kXk, alorsPQ=P k¸0P i=0a ibk¡i+bkXk

On a :

deg(P:Q) =deg(P) +deg(Q)

Remarque

SiPQ= 0 alorsP= 0 ouQ= 0.

c)

Produit d"un polynˆome par un scalaire:

SiP=P k¸0a kXk, alors¸P=P k¸0¸a kXk

On note|n[X] =fP2|[X]deg(P)·n)g.

1.3 Division euclidienne

(Ou division suivant les puissanes d´ecroissantes)

Donnons un exemple :

2X4+X3¡X2+X+ 1

2X2¡X¡2

2X4¡X3¡2X3

X

2+X+ 1

2X3+X2+X+ 1

2X3¡X2¡2X

2X2+ 3X+ 1

2X2¡X¡2

4X+ 3

Nous affirmons alors que :

2X4+X3¡X2+X+ 1|

{z

Dividende= (2X2¡X¡2 )|

{z diviseur(X2+X+ 1 )| {z quotient+ (4X+ 3)| {z Reste

Ce r´esultat est g´en´eral :

Proposition 1.3.1

SoitAetBdeux polynˆomes tel queB6= 0. Alors

il existe un unique couple(Q:R)tels que : 5

A=BQ+R;avecdeg(R)< deg(B)

Qest le quotient,Rest le reste.

Lorsque le reste est nul, on dit queBdiviseA. Un polynˆome qui n"est divisible que par lui mˆeme (`a une constante multipliative pr`es) ou par les constantes est dit irr´eductible. Par exemple ,X¡3 dansC, ouX2+1 dans R. On notera l"analogie dans l"´enonc´e avec la division euclidienne dansZ. Les d´emonstrations; en ce qui concerne l"unicit´e, sont ´egalement analogues.

D´emonstration:

Montrons l"unicit´e :

SiA=BQ+R=BQ0+R0avec deg(R)Montrons l"existence:

Supposons que deg(A) =net deg(B) =p

1 ercas: sin < palors on prendQ= 0 etR=A. 2 `emecas: sin¸p. On proc`ede par r´ecurrence sur le degr´endeA. Supposons que la propri´et´e est vraie jusqu"`an¡1.

SoitA=anxn+:::+a0etB=bpxp+:::+b0

On d´efinitA"=A¡an

bp xn¡p:B: A" est degr´en¡1 et donc d"apr`es l"hypoth`ese de r´ecurrence on a :

A" =BQ"+R" avec deg(R)"

OrA=A" +an

bp xn¡pB =BQ"+R"+an bp xn¡p:B =B(Q"+an bp xn¡p) +R" =BQ+R" avecdegR"< degBC.Q.F.D 6

1.4 Z´eros d"un poynˆome

D´efinition 1.4.1

On dit quea, ´el´ement de|, est un z´ero ou une racine du polynˆomePsi a annule la fonction polynˆomiale associ´ee `aP, c"est `a dire

P(a) = 0.

On a alors le r´esultat suivant:

Proposition 1.4.1

aest un z´ero dePsi et seulement siPest divisible parX¡a.

D´emonstration:

SiPest divisible parX¡a, alors il existeQtel queP(X) = (X¡a)Q(X).

On a alorsP(a) = 0.

R´eciproquement, siP(a) = 0, consid´erons la division euclidienne deP parX¡a. On a : P(X) = (X¡a)Q(X) +Ravecdeg(R)< deg(X¡a) = 1, doncRest une constante. On obtient alors

0 =P(a) =RdoncR= 0 etPest divisible parX¡a.

Une autre d´emonstration consiste `a ´ecrire que, siP(X) =P k¸0a kXket si

P(a) = 0 alors

P(X) =P(X)¡P(a) =X

k¸0a k(Xk¡dk) dont chaque terme se factorise parX¡a: Il se peut quePse factorise par une puissance deX¡a. Sikest la puissance maximale deX¡apar laquelle le polynˆomePse factorise (de sorte queP= (X¡a)kQavecQ(a)6= 0);on dit quekest l"ordre de multiplicit´e de la racinea.

1.5 Polynˆome d´eriv´e

On d´efinit le polynˆome d´eriv´e deP=P k¸0a kXkcomme ´etant ´egal `a P 0=Xk k¸1a kXk¡1: 7 On peut d´efinir de la mˆeme fa¸con les d´eriv´ees successive.

P.G.C.D, et ALGORITHME d"EUCLIDE.

D´efinition 1.5.1

On dit qu"un polynˆomeBdivise un polynˆomeAs"il existe un polynˆomeQtel queA=BQ. On dit alors queBest un diviseur deAou encore queAest un multiple deB.

Diviseurs communs `a deux polynˆomes.

On a souvent `a r´esoudre le probl`eme suivant: ´etant donn´e deux polynˆomes AetB, quels sont leurs diviseurs communs? Ceci peut servir, par exemple, `a trouver les racines communs aux deux ´equationsA(x) = 0 etB(x) = 0, ou `a simplifier la fraction rationnelleA=B. Pour r´esoudre ce probl`eme on utilise `a r´epetition le lemme suivant: Lemme: Les diviseurs communs `a deux polynˆomesAetBsont les mˆemes que les diviseurs communs `aBetRo`uRest le reste de la division deApar B.

D´emonstration:

SoitA=BQ+RavecdegR < degB.

SoitCun diviseur commun `aAetB.

on aA=CQ1etB=CQ2.

R=A¡BQ

=CQ1¡CQ2Q =C(Q1¡Q2Q)

DoncCest un diviseur commun `aBetR

R´eciproquement :

SoitCun diviseur commun `aBetR

On a :B=CQ1etR=CQ2

CommeA=BQ+R

DoncA=CQ1Q+CQ2

=C(Q1Q+Q2)

DoncCest un diviseur commun `aAetB.

Algorithme d"Euclide:

C"est le proc´ed´e qui consiste `a r´ep´eter le lemme pr´ec´edent. Pour l"exposer, il est commode de changer un peu les notations. Mais faisons tout d"abord la remarque suivante: 8 Remarque: Les divseurs communs `aAet 0 sont les diviseurs deA.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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