[PDF] PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES





Previous PDF Next PDF



FONCTION EXPONENTIELLE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE. I. Définition Supposons qu'il existe une fonction g telle que.



VARIATIONS DUNE FONCTION

On considère la représentation graphique la fonction : Page 4. 4 sur 11. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle 



NOMBRE DERIVÉ

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. NOMBRE DERIVÉ. I. Limite en zéro d'une fonction 2) Soit la fonction g définie sur ??;0.



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET Propriété : f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I.



LES FONCTIONS DE REFERENCE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La fonction g représentée par la droite (d') est définie par g(x) = -05x - 1.



Exercices de mathématiques - Exo7

Deuxième méthode : expliciter directement la bijection réciproque. Soit la fonction g : Z ? Z définie par g (m) = m?1 alors g ?g(n) = n (pour tout 



GENERALITES SUR LES FONCTIONS

est une valeur interdite pour la fonction f. g(x) = ?3x + 6. On doit avoir ?3x + 6 0 soit x 2 donc : Dg = ] – ; 2 ]. Remarques :.



DÉRIVATION

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Alors la fonction g définie sur I par g(x) = f (ax + b) est dérivable sur tout intervalle J.



FONCTION DERIVÉE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION DERIVÉE. I. Dérivées des fonctions usuelles. Exemple : Soit la fonction f définie sur 



Outils Mathématiques et utilisation de Matlab

formel et rigoureux du point de vue mathématiques et je présenterai donc uni- peut alors créer une variable g qui va prendre la valeur de la fonction ...

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1

PRIMITIVES ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/bQ-eS1zZCdw Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Primitive d'une fonction

1) Définition et propriétés

Exemple :

On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1

Si on dérive , on constate que :

=2+3=

Lorsque

=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :

Remarque :

Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction

Vidéo https://youtu.be/7tQqY9Vkmss

Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2

Correction

a)

2

2

Donc est une primitive de .

b) =1× +1

Donc est une primitive de .

c) 1

×-ln()×1

2

1-ln()

2

Donc n'est pas une primitive de .

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2

Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une

constante.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/oloWk2F4bI8

Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.

La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .

On nomme cette constante. Ainsi :

-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .

Démonstration :

est une primitive de .

On pose

()+0=

Donc est une primitive de .

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 et

Donc, la fonction définie par

2 2 +5 est également une primitive de .

En effet :

2

2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. - Démontrée dans le chapitre Intégration - Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulière

Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI

Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3

Correction

a) ′ Donc '= et donc la fonction est une primitive de . b) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit : 1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.

Donc :

1 1

Et donc :

1 +=0

Soit :

+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :

2

2) Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 1 1 avec >0 ln() 2 cos() sin() sin() -cos()

3) Linéarité des primitives

Propriété :

Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.

Démonstrations :

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4

Méthode : Déterminer une primitive (1)

Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw

Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw

Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 1 5 d) 3 sur

0;+∞

e) =-sin() f) 2

Correction

a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×S- 1

T=

3 c) 1 5 1 -4 1

4

4 d) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est

0;+∞

, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. e) =-sin() -cos =cos() f) 2 =2× 1 =2×2 =4

4) Primitives de fonctions composées

est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 2 avec >0 ln() cos() sin() sin() -cos() Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5

Méthode : Déterminer une primitive (2)

Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)

2-5

-5+4 b) 4. c) d) =cos

5

-3sin

3-1

Correction

a)

2-5

-5+4 du type ′ , avec =2.

En effet :

-5+4 → =2-5

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 3 -5+4 b) 4. 4. du type 5 5

En effet :

+1→ =2

Une primitive de

5 5 est de la forme 2

Soit :

1 2 ×2 +1= +1 c) 1 3

×3

du type ′

En effet :

=3

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 3 d) =cos

5

-3sin

3-1

1 5

×5cos

5

-3sin

3-1

Donc

1 5

×sin

5

+cos

3-1

Partie 2 : Équations différentielles

1) Définition d'une équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et

où interviennent des dérivées de cette fonction.

Exemples :

a) L'équation =5 est une équation différentielle.

L'inconnue est la fonction .

En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation différentielle peut

se noter : =5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 6 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.

2) Équation différentielle du type '=

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .

La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si

Propriété :

Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation

différentielle '=.

En effet, '=.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction définie sur

0;+∞

par =3 +ln() est solution de l'équation différentielle =6+

Correction

=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle : =6+

3) Équations différentielles du type '=

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/FQlxi8JKmg4

• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.

Alors,

0# 0#

Donc

est donc solution de l'équation différentielle '=.

• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.

Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : '

Ainsi :

&0# &0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#

Et donc :

0# Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3 +5=0.

1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que

1 =2.

Correction

1) a) 3

+5=0

3

=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :

2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :

Donc

1

Or,

1 =2. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 8

Donc :

=2 =2 2 =2

Et donc :

=2 =2 =2

Propriété : Si et sont deux solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ,

alors + et ,∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.

Démonstrations :

4) Équations différentielles du type '=+

Propriété : La fonction ⟼-

7 8 est solution de l'équation différentielle

'=+ (≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.

Démonstration :

On pose :

7 8 . Alors =0.

Or,

+=×S-

T+=-+=0=

Donc :

est donc solution de l'équation différentielle '=+.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=+ (≠0)sont les fonctions

de la forme ⟼ 0# 7 8 , où ∈ℝ. Solution de l'équation Solution particulière '= constante de l'équation

Remarque : L'équation '=+ est appelée équation différentielle linéaire du premier

ordre à coefficients constants. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=+

Vidéo https://youtu.be/F_LQLZ8rUhg

Vidéo https://youtu.be/CFZr44vny3w

On considère l'équation différentielle 2 -=3. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 9 a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation. b) Déterminer l'unique solution telle que 0 =-1.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
[PDF] Mathématiques fonction exercice

[PDF] mathématiques fonction logarithme

[PDF] Mathématiques Fonctions (graphique)

[PDF] Mathematiques fonctions affines

[PDF] mathématiques fraction devoir calcul

[PDF] Mathematiques fraction probleme 5e

[PDF] mathématiques générales dunod pdf

[PDF] mathématiques geogebra tracer une trajectoire d'un point avec le logiciel geogebre

[PDF] Mathématiques géometrie

[PDF] mathématiques géométrie déterminer

[PDF] Mathèmatiques Géomètrie et Phytagore

[PDF] mathématiques géométriie

[PDF] Mathématiques histoire de calcul

[PDF] Mathématiques Image Antécedent etc

[PDF] Mathématiques Inéquation/Tableau de signes