[PDF] REMISE À NIVEAU feuille nº 2 (exercices + corrigés)

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L2 & L3 MASS

Université de Nice-Sophia Antipolis

Sylvain Rubenthaler

REMISE À NIVEAU, feuille nº 2(exercices+corrigés)

1 Énoncés des exercices

1. Résoudre les systèmes suivants.

(a)

8>>><>>>:x+y=0

2xy+3z=3

x2yz=3 (b)

8>>><>>>:x+3y=1

2x+y=3

2x+2y=0

2. Qu"est-ce qui est faux dans le calcul suivant?

0=0+0+0+:::

=(11)+(11)+(11)+::: =1+(1+1)+(1+1)+(1+1)+::: =1

3. Déterminer si les séries suivantes sont convergentes ou divergentes. Si c"est possible, calculer

la somme. (a) P+1 n=1523 n1 (b) P+1 n=1(6)n15 n1 (c)P+1 n=1(3)n14 n (d)P+1 n=01( p2) n (e)P+1 n=0n3 n+1 (f)P+1 n=1en3 n1 (g)P+1 n=0nn+5 1 (h) P+1 n=03n (i)P n22n 21
(j)P+1 n=0(n+1)2n(n+2) (k)P k2k2k 21
(l)P+1 n=02n

2+4n+3

(m)P+1 n=1(1)npn +1n

4. Étudier la nature des séries de termes généraux suivants.

(a)un=1n! (b)un=1lnn (c)un=en2+n

5. Déterminer si les séries suivantes sont convergentes ou divergentes (on noteraunle terme

général). (a) P n11n 4 (b)P n11n 1=4 (c)P n1nn 2+1 (d)P n1lnnn 2 (e)P n1(1)nsinnn 2 (f)P n1(1)nsin2nn (g)P n1cos(n)n 3=4 (h)P n1sin(n=2)n! (i)P n1(1)nsin(=n) (j)P n1(1)ncos(=n) (k)P n1n5 n

6. Calculer les déterminants des matrice suivantes.

(a) "3 1 1 1# (b)

26666666642 0 1

3 1 1

1 0 13

777777775

(c)

26666666644 0 1

0 0 1 1 313

777777775

2

7. Calculer les intégrales suivantes.

(a)I=R5 1x5dx (b)I=R8

2(4x+3)dx

(c)I=R4

0(1+3yy2)dy

(d)I=R1

0x4=5dx

(e)I=R2 cosxdx (f)I=R2

0x(2+x5)dx

(g)I=R4 11px dx (h)I=R1

0(3+xpx)dx

(i)I=R1

0xexdx

8. Dire si les séries de terme généralunsont absolument convergentes, convergentes, divergentes.

(a)un=n22 n (b)un=(10)nn! (c)un=(1)nn5+n (d)un=(1)ne1=nn 3 (e)un=(1)n12nn 4 (f)un=(1)nnn 2+1

9. Vérifier que les formules suivantes sont correctes en calculant des dérivées.

(a) Rxpx

2+1dx=px

2+1+C (b)Rxcosxdx=xsinx+cosx+C (c)Rcos3xdx=xsinx13 sin3x+C (d)Rxpa+bxdx=23b2(bx2a)pa+bx+C(a;bdes constantes quelconques)

10. Calculer les primitives suivantes par changement de variable.

(a)

Rx3(2+x4)5dx, surx0

(b)Rx2px 3+1dx (c)Rdt(16t)4, surt>1=6 (d)Rcos3xsinxdx, surx2[0;=2] 3

2 Corrigés des exercices

1. (a) On calcule une suite de systèmes équivalents.

8>>><>>>:x+y=0

3y+3z=3

4z=0

8>>><>>>:x+y=0

3y+3z=0

4z=0: L"ensemble des solutions est donc le singletonf(1;1;0)g. (b) On calcule une suite de systèmes équivalents.

8>>><>>>:x+3y=1

5y=5 4y=2

8>>><>>>:x+3y=1

5y=5 0=2 Le système n"a pas de solution (autrement dit, l"ensemble des solutions est;).

2. Le passage de la 2ème à la 3ème ligne est faux car lim

n!+1Pn k=10,limn!0(1+Pn k=1(1+1)). 3. (a) Série géométrique de raison 2=3 (2]1;1[) donc elle est convergente, de somme 511+23 3. (b) Série géométrique de raison6=5 (<]1;1[) donc elle est divergente. (c) Sériegéométriquederaison3=4(2]1;1[)doncelleestconvergente,desomme14 11+34 17 (d) Série géométrique de raison 1=p2 (2]1;1[) donc elle est convergente, de somme111p2 p2p21. (e) Série géométrique de raison=3 (<]1;1[) donc elle est divergente. (f) Série géométrique de raisone=3 (2]1;1[) donc elle est convergente, de sommee11e3 33e.
(g) Le terme général!1 donc la série diverge. (h) Série de Riemann divergente. (i) La série est à termes positifs et nous avons 2n

21n!+12n

2qui est le terme général d"une

série de Riemann convergente. Donc la série converge. 4 (j) La série est à termes positifs et nous avons (n+1)2n(n+2)n!+11 donc la série diverge. (k) La série est à termes positifs et nous avons n2n1n!+11 donc la série diverge. (l) La série est à termes positifs et nous avons 2n

2+4n+3n!+12n

2qui est le terme général d"une

série convergente, donc la série converge. (m) Nous avons (1)npn +1n n!+11n 4. (a) On regarde un+1u n=n+1!n!+1+1donc, par le critère de d"Alembert, la série diverge. (b) Nous avons pourn2,un1n donc, par comparaison, la série diverge. (c) Nous avons (un)1=n=exp(n+1)!n!+10, donc, par critère de Cauchy, la série diverge. 5. (a) Série de Riemann convergente. (b) Série de Riemann divergente. (c) La série est à termes positifs et nn

2+1n!+11n

, terme général d"une série divergente, donc la série diverge. (d) Nous avons lnnpn !n!+10. Donc9n0tel que,8nn0,lnnn 21n

3=2qui est le terme général

d"une série convergente. Toutes les séries sont ici à termes positifs donc la série considérée

converge. (e) Nous avonsjunj 1n

2donc la série converge absolument.

(f) La suite (un) est de signe alternée etjunj=sin2nn !n!+10. Donc, par théorèmes des séries alternées, la série converge. (g) Nous avons cos(n)=(1)net 1=n3=4!n!+10. Donc, par théorèmes des séries alternées, la série converge. (h) Nous avonsjunj 1n!qui est le terme général d"une série convergente. Donc la série converge.a (i) Nous avons sin(=n)!n!+10 car la fonction sin est continue et sin(0)=0. Donc, par théorèmes des séries alternées, la série converge. (j) Nous avons cos(=n)!n!+11 car la fonction cos est continue et cos(0)=0. Donc la série diverge. (k) Nous avonsjunj=nn5 n6n5 n,8n6. Et6n5 n!n!+1+1, doncjunj !n!+1+1, donc la série diverge. 6. (a) 3 1 1 1 =31(1)1=4 5 (b) Développons suivant la dernière ligne : 2 0 1 3 1 1 1 0 1 =1 2 0 3 1 +(1) 0 1 1 1 =21=1: (c) Développons suivant la première colonne : 4 0 1 0 0 1 1 31 =4 0 1 31
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