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UNIVERSITÉ PARIS

DIDEROT (Paris 7)

SORBONNE PARIS

CITÉ UNIVERSITÉ DE

SZEGED

École doctorale " Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences et didactique des disciplines » Laboratoire de didactique André Revuz École doctorale de mathématiques et informatique Institut Bolyai

Doctorat

Didactique des mathématiques

Katalin GOSZTONYI

Traditions et réformes de l"enseignement des

mathématiques à l"époque des ‘mathématiques modernes" : le cas de la Hongrie et de la France Hagyomány és reform a matematikaoktatásban a 'New Math' idején : Magyarország és Franciaország Thèse dirigée par M. Alain KUZNIAK / M. József KOSZTOLÁNYI

Jury :

Mária B. SZENDREI, Université de Szeged, examinatrice Renaud d"ENFERT, Université de Picardie, examinateur Jean-Luc DORIER, Université de Genève, rapporteur Viviane DURAND-GUERRIER, Université Montpellier 2, examinatrice József KOSZTOLÁNYI, Université de Szeged, directeur Alain KUZNIAK, Université Paris Diderot, directeur 2

REMERCIEMENTS

Cette thèse n'aurait pas pu être réalisée sans le soutien scientifique et humain de

nombreuses personnes. Je suis avant tout reconnaissante à mes deux directeurs de thèse, Alain Kuzniak et József

Kosztolányi. Ils m"ont fait confiance ainsi qu"à mon projet, et ont accepté de m'accompagner

et de me guider pendant l'aventure de la recherche doctorale, même sans se connaître à

l"avance, et malgré les circonstances langagières et organisationnelles difficiles de cette thèse

en cotutelle. Mon directeur hongrois, József m'a soutenu surtout par ses connaissances

profondes de la réforme de Varga, alors que mon directeur français, Alain m'a guidé dans mes

choix théoriques, méthodologiques et thématiques, dans la mise en place des analyses... bref,

dans l"apprentissage du métier de chercheur. Je remercie Alain Bernard d"avoir accompagné ce travail du point de vue de l"historien des

mathématiques : c"est en grande partie grâce à son aide qu"une perspective historique pouvait

être intégrée dans ma recherche. C"est en outre la collaboration avec lui qui m"a permis de participer au projet de recherche interdisciplinaire du labex HASTEC, intitulé " Séries de problèmes au croisement des cultures », et de prendre contact avec des enseignants français

dans le cadre d"un stage ; son soutien amical m"a aidé à dépasser plusieurs moments difficiles

de la période doctorale.

Ma thèse n"aurait pas pu être réalisée sans le soutien de Michèle Artigue qui m"a accueilli

en tant que directrice du LDAR et de l"école doctorale à l"époque où j"ai décidé de me lancer

dans des études doctorales. Elle m"a aidée de nombreux conseils, m"a présentée aux

personnes qui pouvaient me soutenir davantage, y compris mon futur directeur de thèse. Les

discussions avec elle étaient et restent toujours enrichissantes et particulièrement formatives.

Je suis reconnaissante à András Máté que je connais depuis le début de mes études

universitaires. C"est lui qui m"a formé en philosophie des mathématiques ; et les discussions

menées avec lui concernant l"épistémologie mathématique de certains mathématiciens

hongrois ont joué un rôle essentiel à la définition de l"idée fodamentale de ma thèse.

La première personne qui m"a encouragé à commencer une thèse était Catherine Goldstein,

lors de mon premier court séjour en France, dans le cadre d"un programme d"échange entre enrichissantes avec elle depuis cette première rencontre. ii Je suis reconnaissante à de nombreux chercheurs qui ont pris du temps pour discuter avec moi et me conseiller : Christine Chambris, Marie-Jeanne Perrin, Christophe Hache, Janine és Marc Rogalski, Viviane Durrand-Guerrier, Claire Margolinas, Hélène Gispert, Renaud d"Enfert, Karine Chemla, sans être exhaustive. Je remercie particulièrement à ceux et celles qui, en tant qu"acteurs des réformes que j"ai

étudiées, ont partagé avec moi leur souvenirs et ont donné leurs avis sur mes analyses : Mária

Halmos, Éva Szeredi, Mara Kovács, Erzsébet Csahóczi, Eszter C. Neményi, Lóránt Pálmay

en Hongrie ; Jeanne Bolon et Josette Adda en France. Merci à toute la communauté des deux laboratoires et écoles doctorales : l"Institut Bolyai et l"École Doctorale Mathématique et Informatique à Szeged, le Laboratoire de Didactique André Revuz et l"École Doctorale Savoirs Scientifiques de m"avoir chaleureusement

accueillie malgré le fait que j"ai passé seulement la moitié de mes années doctorales dans

chacun de ces établissements. J"y ai découvert des milieux inspirant et une ambiance

conviviale. Je suis particulièrement reconnaissante à la communauté des jeunes chercheurs du

LDAR pour le travail collectif stimulant et pour les moments amicaux qui m"ont soutenue et m"ont apporté beaucoup de plaisir lors de mes séjours parisiens. Merci à mon grand-père, Ervin Deák qui, faisant lui-mème des recherches en didactique des mathématiques, m"a fait découvrir ce domaine depuis mon jeune âge, et qui m"a sans doute transmis, en partie sans que je m"en rende compte, son attitude et ses perspectives de chercheur. Je remercie finalement mes amis et ma famille pour leur présence, pour leur patience quand j"étais loin d"eux et pour leur soutien pratique et émotionnel qui m"a accompagnée pendant toute cette aventure.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE ................................................................................... 9

PARTIE I LE CONTEXTE HISTORIQUE DES DEUX REFORMES .............................. 27

1 Introduction ........................................................................................................................ 29

2 Le mouvement des " mathématiques modernes » à l"échelle internationale .................... 31

2.1 Les débuts de la coopération internationale sur l"enseignement des

mathématiques au début du 20 e siècle ..................................................................... 31

2.2 La dynamique internationale à l"époque des " mathématiques modernes » ........... 32

3 La réforme des " mathématiques modernes » en France : éléments du contexte

historique ........................................................................................................................... 34

3.1 Une réforme précédente importante : la réforme de 1902....................................... 34

3.2 Transformations du système éducatif et discours sur l"enseignement des

mathématiques après la seconde guerre mondiale .................................................. 35

3.2.1 La modernisation du système éducatif, et le rôle des mathématiques dans

la formation des citoyens .................................................................................. 36

3.2.2 Enseigner les " mathématiques modernes » ..................................................... 38

3.2.3 L'influence de Piaget et des pédagogies nouvelles .......................................... 39

3.3 La réforme des " mathématiques modernes » ......................................................... 41

3.4 La suite de la réforme dans les années 1970 ........................................................... 46

4 La réforme de Tamás Varga en Hongrie : éléments du contexte historique hongrois ...... 48

4.1 L"établissement du système éducatif public en Hongrie et l"émergence d"une

culture mathématique au tournant des 19 e et 20e siècles ......................................... 49

4.1.1 Le contexte historique : la Monarchie Austro-hongroise ................................. 49

4.1.2 L'établissement et réformes du système éducatif public................................... 51

4.1.3 L'émergence d'une culture mathématique ....................................................... 52

4.2 Mathématiciens au cercle de Karácsony, après la seconde guerre mondiale .......... 55

4.2.1 Une courte période démocratique .................................................................... 55

4.2.2 Le cercle de Karácsony et les mathématiciens ................................................. 56

4.2.3 L'installation de la dictature communiste ........................................................ 60

4.3 Le mouvement de réforme dirigé par Varga entre 1963 et 1978 ............................ 61

4.3.1 Le contexte historique et le système éducatif .................................................... 61

4 4.3.2 Les expérimentations et le mouvement de réforme de Tamás Varga ............... 63

4.3.3 La réforme de l'enseignement des mathématiques en Hongrie ........................ 67

5 Conclusion ......................................................................................................................... 70

PARTIE II ÉPISTEMOLOGIE : CONCEPTIONS SUR LA NATURE DES MATHEMATIQUES ET REFLEXIONS SUR SON ENSEIGNEMENT A L 'ARRIERE-

PLAN DES REFORMES ........................................................................................... 75

1 Introduction ........................................................................................................................ 77

2 Une épistémologie " bourbakiste » en France ................................................................... 79

2.1 L"épistémologie de Bourbaki .................................................................................. 79

2.1.1 La méthode axiomatique et les structures mathématiques ............................... 80

2.1.2 Abstraction et langage formel .......................................................................... 82

2.1.3 Modernité et vérités éternelles.......................................................................... 83

2.1.4 La méthode axiomatique comme formateur de l'esprit .................................... 86

2.2 Les discours sur la nature des mathématiques autour de la réforme ....................... 87

3 Une épistémologie " heuristique » en Hongrie .................................................................. 89

3.1 Les principes des mathématiciens hongrois ............................................................ 90

3.1.1 Une science en plein développement ................................................................ 90

3.1.2 Intuition, " quasi-empiricisme » et le " raisonnement plausible » en

mathématiques .................................................................................................. 91

3.1.3 L'heuristique, ou la logique de la découverte .................................................. 95

3.1.4 Les mathématiques comme activité par essence dialogique............................. 96

3.1.5 Prudence face au langage formel ..................................................................... 97

3.1.6 L'aspect ludique et créatif des mathématiques, les liens avec des arts ............ 99

3.2 L"exemple du Jeux avec l'infini de Rózsa Péter, et des " séries de problèmes ».... 99

3.3 La conception " heuristique » à l"arrière-plan de la réforme de Varga ................. 105

4 Conclusion ....................................................................................................................... 107

PARTIE III UNE ANALYSE DIDACTIQUE DES DEUX REFORMES ........................ 111

Introduction .......................................................................................................................... 113

Chapitre 1 Les outils théoriques de l'analyse didactique ................................................ 121

1 L"analyse des programmes - l"approche écologique ....................................................... 121

2 L"analyse des pratiques - la Théorie des Situations Didactiques .................................... 122

5 2.1

Un problème de vocabulaire ................................................................................. 127

3 L"analyse des manuels scolaires et des livres de professeurs .......................................... 130

4 Autres outils théoriques ................................................................................................... 131

4.1 Dialectique outil-objet et phases de Douady ......................................................... 131

4.2 Paradigmes de géométrie et de probabilités .......................................................... 131

4.2.1 Les paradigmes de géométrie ......................................................................... 131

4.2.2 Les paradigmes de probabilité ....................................................................... 133

Chapitre 2 L'analyse générale des programmes ............................................................... 135

1 La construction des textes des programmes .................................................................... 135

2 Le contenu et la structure des programmes ..................................................................... 136

2.1 Les programmes français ...................................................................................... 136

2.2 Le programme hongrois ........................................................................................ 139

3 Conclusion ....................................................................................................................... 142

Chapitre 3 L'introduction de la notion de nombres au début de l'école élémentaire ... 145

1 L"analyse écologique des programmes : la notion de nombre et les grandeurs .............. 147

1.1 Les programmes français ...................................................................................... 147

1.1.1 Le programme de 1970 ................................................................................... 148

1.1.2 La notion de nombres dans les fiches de travail françaises ........................... 150

1.1.3 Le programme de 1977 ................................................................................... 152

1.2 Le programme et hongrois .................................................................................... 152

1.2.1 Le programme et le livre du maître ................................................................ 152

1.2.2 Les fiches de travail hongroises ..................................................................... 155

2 Les livres du maître et les pratiques pédagogiques envisagées en France ...................... 158

2.1 Les livres " Math et calcul » d"Eiller .................................................................... 158

2.1.1 La construction des livres du maître .............................................................. 158

2.1.2 Analyse de situations ...................................................................................... 162

2.2 Le projet ERMEL .................................................................................................. 166

2.2.1 La construction des livres ERMEL ................................................................. 166

2.2.2 Analyse de situations ...................................................................................... 171

3 Les livres du maître et les pratiques pédagogiques envisagées en Hongrie .................... 174

3.1 La construction des livres du maître...................................................................... 175

3.2 Analyse de situations ............................................................................................. 178

6 3.2.1

Mettre les objets en ordre ............................................................................... 178

3.2.2 Devinette avec le matériel cuisenaire ............................................................. 179

3.2.3 Mettre la table : la correspondance terme à terme ........................................ 182

3.2.4 La fiche 11 : introduction des signes de nombres .......................................... 184

3.2.5 Préparer sa droite numérique ........................................................................ 185

4 Conclusion ....................................................................................................................... 189

Chapitre 4 Un exemple de l'école moyenne : le théorème de Pythagore......................... 195

1 Les programmes de la géométrie ..................................................................................... 196

1.1 Les programmes français ...................................................................................... 196

1.1.1 Les programmes de 1969/1970 ....................................................................... 196

1.1.2 Les programmes de 1977 ................................................................................ 199

1.2 Le programme hongrois ........................................................................................ 201

2 Le théorème de Pythagore dans les programmes de la géométrie ................................... 203

2.1 Les programmes français ...................................................................................... 203

2.2 Le programme hongrois ........................................................................................ 204

3 Les manuels scolaires et les livres de professeurs de l"école moyenne en France .......... 207

3.1.1 Les manuels scolaires français du programme " mathématiques

modernes » ...................................................................................................... 207

3.2 Le traitement du théorème de Pythagore dans les manuels et livres de

professeurs ............................................................................................................. 212

3.2.1 Les manuels français des " mathématiques modernes » ................................ 212

3.2.2 Un exemple de 1977........................................................................................ 217

4 Les manuels scolaires et livres de professeur de l"école moyenne en Hongrie ............... 222

4.1 Le théorème de Pythagore dans le manuel scolaire hongrois ............................... 225

4.1.1 L'introduction du théorème dans le manuel scolaire ..................................... 225

4.1.2 L'introduction de la démonstration dans le livre du professeur .................... 231

4.1.3 La série des tâches dans le manuel scolaire associée au théorème de

Pythagore ........................................................................................................ 232

5 Conclusion ....................................................................................................................... 234

Chapitre 5 Une spécificité thématique du programme de Varga : l'enseignement de

la combinatoire et des probabilités ..................................................................................... 239

1 Le programme de Varga : construction et considérations épistémologiques .................. 241

7 1.1

Les raisons d"enseigner ces domaines ................................................................... 241

1.2 Le programme de la combinatoire......................................................................... 244

1.3 Le programme des probabilités ............................................................................. 246

1.4 Paradigmes de probabilité dans le programme de Varga ...................................... 247

1.5 Quelques exemples de situations de probabilités .................................................. 250

1.5.1 Jeu de soustraction avec lancement de dé ...................................................... 250

1.5.2 Le jeu avec trois disques : comparaison des stratégies, développement des

représentations ............................................................................................... 252

1.5.3 Arriver à l'école à l'heure : estimations concernant les problèmes de la

vie courante .................................................................................................... 254

2 " Séries de problèmes » chez Varga : l"exemple de la combinatoire .............................. 256

2.1 Combinatoire au début de l"école élémentaire : une " série de problèmes » à

caractère ludique ................................................................................................... 257

2.1.1 La construction des tours colorées - le développement des outils de

représentation ................................................................................................. 261

2.2 Deux autres exemples de l"école moyenne ........................................................... 264

3 L"émergence de ces domaines en France dans les années 1970 ...................................... 265

3.1 Problèmes de combinatoire dans les manuels de 1977 : l"exemple de Math et

calcul ..................................................................................................................... 267

3.2 La combinatoire dans ERMEL .............................................................................. 270

3.3 Les publications françaises de Varga - l"échange des idées entre les deux pays . 272

3.4 L"expérimentation de Brousseau sur l"enseignement des probabilités ................. 273

3.4.1 Une comparaison des processus longs de Brousseau et de Varga ................. 279

4 Conclusion ....................................................................................................................... 285

CONCLUSION GENERALE ................................................................................... 291

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................. 321

9

INTRODUCTION GENERALE

Cette recherche s"est inspirée des expériences personnelles que nous avons vécues en tant qu" " apprentie-enseignante », étudiante dans la formation des enseignants de mathématiques en Hongrie. Futurs enseignants de mathématiques, nous avons souvent entendu parler de l"existence d"une certaine " tradition hongroise » de l"enseignement des mathématiques, qui

serait centré sur la résolution des problèmes et qui chercherait à " faire découvrir des

mathématiques » aux élèves. Les succès de cette tradition concerneraient avant tout la

formation des élèves surdoués ce dont témoignent leurs excellents résultats aux Olympiades

Internationales. Puis, toujours selon cette histoire, cette tradition s'est étendue sur

l"enseignement général grâce à la réforme de Tamás Varga, dans les années 1960 et 1970.

Dans les discours de la communauté hongroise de l"enseignement des mathématiques, Tamás Varga apparaît comme un des plus grands maîtres hongrois de l"enseignement des mathématiques. On lui rend hommage, entre autres, à travers le nom du colloque annuel desquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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