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Les débouchés des mathématiques de la statistique et de l'informatique sont étonnamment variés. Avec les progrès récents et rapides dans.
Mathématiques pour linformatique
Université catholique de Louvain - Mathématiques pour l'informatique - cours-2017-lsinf1250. UCL - cours-{ANAC}-lsinf1250 - page 1/3 lsinf1250.
Mathematiques pour informaticien
MAT-1919
Francois Laviolette, Josee Desharnais,
Pascal Germain
Automne 2014
(Derniere modication : 2 septembre 2014)Remerciements
Une partie de la matiere de ce cours etait autrefois enseignee dans le cadre du cours Logique et techniques de preuve. Merci a Jules Desharnais de nous avoir permis d'emprunter certains elements et exercices des notes de cours qu'il a lui-m^eme redigees. Nous remercions egalement les etudiants des sessions precedentes qui ont signale des co- quilles dans les notes de cours ou suggere des ameliorations a celles-ci, contribuant ainsi a la qualite du document que vous avez sous les yeux : Simon Arsenault, Michael Audet, Ab- doul Aziz A. LOM, Vincent Blais, Charles-Alexandre Cantin,Eric Chamberland, Pier-Luc
Cormier-Maltais, Sylvain Fillion, Olivier Garant, Jean Bruno Jauvin, Charles Joly Beaupar- lant, Patrick Landry, Alexandre Laroche, Benjamin Lemelin, Christian Martin, Olivier Petit, Karim Sghari, Sandra Sirois et Joel Trottier-Hebert. Finalement, les commentaires et corrections des auxiliaires d'enseignement Jean-Francis Roy, Gildas Syla Deogratias Kouko et Catherine Bedard furent aussi d'une aide considerable. iiTable des matieres
0 Un peu de motivation
11 Theorie des ensembles
51.1 Algebre booleenne
61.1.1 Expressions booleennes
61.1.2 Operateurs booleens et tables de verite
71.1.3 Proprietes des operateurs et demonstrations par cas
121.1.4 Demonstrations par succession d'equivalences
191.1.5 Le probleme de satisabilite d'une equation booleenne
241.1.6 Exercices sur l'algebre booleenne
281.2 Ensembles
321.2.1 Egalite entre deux ensembles (Axiome d'extensionnalite). . . . . . . 32
1.2.2 Denition d'un ensemble et operateur d'appartenance
331.2.3 Diagramme de Venn et ensemble universel
361.2.4 Quanticateur universel et quanticateur existentiel
371.2.5 Operateurs ensemblistes
411.2.6 Proprietes des operateurs et demonstrations
441.2.7 Exercices sur la logique du premier ordre
511.2.8 Exercices sur les ensembles
531.3 Techniques de demonstration
551.3.1 Structure des demonstrations d'un quanticateur universel \8". . . . 56
1.3.2 Structure des demonstrations d'un quanticateur existentiel \9".. . . 57
1.3.3 Demonstrations utilisant les proprietes de l'arithmetique
591.3.4 Demonstrations avec un \:9" ou un \:8". . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3.5 Une demonstration avec une implication \)". . . . . . . . . . . . . 62
1.3.6 Une demonstration avec un ssi \," et en passant, un \^". . . . . . 62
1.3.7 Demonstration par cas, dont le \_". . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3.8 Demonstrations par contradiction
661.3.9 Autres facons d'attaquer une demonstration!
69iii ivTABLE DES MATIERES
1.3.10 Exercices sur les techniques de demonstration
731.4 Relations et fonctions
751.4.1n-uplet et produit cartesien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4.2 Denitions et representations des relations
791.4.3 Operateurs sur les relations
831.4.4 Familles de relations
881.4.5 Fonctions (totales) et fonctions partielles
961.4.6 Exercices sur les relations et fonctions
1 021.5 Ensembles innis
1071.5.1 \Avoir autant d'elements"
1 091.5.2 \Autant" d'elements queN: Les ensembles innis denombrables. . . 111
1.5.3 \Avoir au moins autant d'elements"
1141.5.4jNjest la plus petite cardinalite innie. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.5.5 Donnons-nous des outils
1191.5.6 \Plus d'elements" queN: Les ensembles non denombrables. . . . . . 123
1.5.7 Exercices sur les ensembles innis
1271.6 Ensembles de fonctions
1291.6.1 Fonctions a valeur de sortie binaire
1301.6.2 Denombrabilite des ensembles de fonctions
1351.6.3 Exercices sur les ensembles de fonctions
1 381.7 Relations d'equivalences et ordres
1401.7.1 Relations d'equivalences
1401.7.2 \Autant d'elements" est une relation d'equivalence
1421.7.3 Relations d'ordres
1441.7.4 \Au moins autant d'elements" est un ordre complet
1 471.7.5 Exercices sur les relations d'equivalences et ordres
1492 Relations denies par recurrence
1502.1 Suites
1502.1.1 Denition par terme general et par recurrence
1512.1.2 Notation sigma \"
1522.1.3 Temps d'execution d'un algorithme
1532.1.4 Exercices sur les suites
1572.2 Methode des substitutions a rebours
1592.2.1 Description de la methode
1592.2.2 Quelques exemples
1602.2.3 Exercices sur la methode des substitutions a rebours
1672.3 Induction mathematique
168TABLE DES MATI
ERESv2.3.1 Induction mathematique faible
1682.3.2 Principe d'induction mathematique a deux cas de base
1 732.3.3 Induction mathematique forte
1 762.3.4 Induction structurelle
1792.3.5 Exercices sur l'induction mathematique
1 822.4 Cas particuliers de recurrences
1842.4.1 Les suites arithmetiques
1842.4.2 Les suites geometriques
1852.4.3 La suite des sommes de premiers termes d'une suite
1862.4.4 Exercices sur les cas particuliers de recurrences
1922.5 Methode des series generatrices
1942.5.1 L'idee de la methode
1 942.5.2 Methode de resolution et modeles de series de puissances
1972.5.3 Quelques exemples de resolution de recurrences
2 002.5.4 Application aux relations de recurrence lineaires et homogenes
2072.5.5 Exercices sur la methode des series generatrices
2122.6 Approximation par une integrale
2142.6.1 Description de la methode
2142.6.2 Bref rappel sur le calcul integral
2 162.6.3 Quelques exemples
2162.6.4 Exercices sur l'approximation par une integrale
2 203 Theorie des graphes
2213.1 Elements de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.1.1 Graphes et digraphes
2223.1.2 Voisins et degre d'un sommet
2233.1.3 Sous-graphes et decompositions
2243.1.4 Cha^nes, chemins et cycles
2 253.1.5 Connexite d'un graphe
2263.1.6 Arbres
2 273.1.7 Representation matricielle
2283.1.8 Exercices sur les elements de base
2303.2 Les graphes en tant que relations
2323.2.1 Operateurs sur les graphes
2323.2.2 Isomorphisme de graphes
2343.2.3 Exercices sur les graphes en tant que relations
2353.3 Degres des sommets et nombre d'ar^etes
2363.4 Arbres
239viTABLE DES MATIERES
3.4.1 Sommets et ar^etes d'un arbre
2393.4.2 Proprietes des arbres binaires
2413.4.3 Exercices sur les arbres
2433.5 Graphes planaires
2443.6 Cha^nes et chemins
2493.6.1 Proprietes d'un graphe connexe
2493.6.2 Cycles d'un graphe
2493.6.3 Algorithmes de recherche du plus court chemin
2 513.6.4 Exercices sur les cha^nes et chemins
254A Alphabet grec
255B Documents L
ATEX256
References et suggestions de lecture
261Index262
Solutions aux exercices
266Solutions des exercices section
1.1.6 266Solutions des exercices section
1.2.7 281Solutions des exercices section
1.2.8 284Solutions des exercices section
1.3.10
291Solutions des exercices section
1.4.6 298Solutions des exercices section
1.5.7 313Solutions des exercices section
1.6.3 326Solutions des exercices section
1.7.5 332Solutions des exercices section
2.1.4 333Solutions des exercices section
2.2.3 338Solutions des exercices section
2.3.5 340Solutions des exercices section
2.4.4 347Solutions des exercices section
2.5.5 350Solutions des exercices section
2.6.4 359Solutions des exercices section
3.1.8 364Solutions des exercices section
3.2.3 367Solutions des exercices section
3.4.3 369Solutions des exercices section
3.6.4 372Aide memoire chapitre 1
376TABLE DES MATI
ERESvii
Synthese denitions et theoremes, annexee aux examens 380viiiTABLE DES MATIERES
Chapitre 0
Un peu de motivation
Computer science is no more about computers
than astronomy is about telescopes.Edsger W. Dijkstra (1930 { 2002) A l'epoque ou vous entreprenez un programme d'etudes en informatique, il serait super- u de commencer ce cours en faisant l'eloge de l'utilite de l'informatique, tellement l'usage des ordinateurs est desormais repandu dans toutes les spheres de l'activite humaine. Ce- pendant, il nous parait important d'expliquer que les mathematiques sont d'une utilite cru- ciale pour quelqu'un qui s'interesse a l'informatique en tant que science. En eet, il subsiste chez plusieurs etudiants l'impression que l'informatique et les mathematiques sont deux do- maines d'etudes independants, et qu'il n'est pas necessaire de posseder des connaissances mathematiques pour ^etre un bon informaticien1. Cela s'explique possiblement par le fait que
la plupart des utilisations que nous faisons d'un ordinateur ne requierent pas, ou peu, de connaissances mathematiques. En eet, tant que nous utilisons des programmes crees par d'autres (que ce soit des outils destines a tous, tels les traitements de textes, ou des outils plus specialises, telles les librairies hauts niveaux de certains langages de programmation), les connaissances mathematiques sont souvent facultatives. Cela dit, quiconque s'interesse a comprendre le fonctionnement de l'ordinateur, a analyser le comportement des algorithmes ou a concevoir des programmes pour resoudre des nouvelles t^aches a besoin d'outils pour guider son raisonnement logique. Les prochains paragraphes ont comme ambition de vous convaincre que, dans chacune de ces circonstances, les mathematiques s'imposent comme la\bo^te a outils" de predilection.1. Curieusement, il n'existe pas de telles remises en question dans les diverses branches de l'ingenierie.
12CHAPITRE 0. UN PEU DE MOTIVATION
Les mathematiques et les fondements de l'informatique Les ordinateurs sont, d'abord et avant tout, des calculatrices tres sophistiquees. Les pre- miers ordinateurs ont d'ailleurs ete imagines par des mathematiciens desireux d'automatiser leurs calculs. De m^eme, le langage binaire a la base des ordinateurs est issu de la logique booleenne, que nous presenterons des le debut du premier chapitre. Le langage mathematique fut donc a la base du developpement de l'informatique. Les mathematiques ne sont donc pas qu'unoutilen informatique. Bien s^ur, les mathema- tiques se retrouvent dans toutes les branches de la conception d'outils par les humains (toutes les branches du genie, en particulier). Elles fournissent la plupart du temps un langage et des regles de manipulation des donnees qui sont desapproximationsdu langage et des regles de la nature. On etudie le mouvement d'un objet a l'aide d'une fonction mathematique, mais pour cela, on suppose souvent l'absence de friction. Les exemples sont nombreux : en economie, on dessine une courbe d'ore et de la demande en utilisant une fonction continue m^eme si une foule de valeurs n'ont pas de sens dans cette fonction. L'approximation est necessaire, on ne peut faire mieux sans compliquer trop les choses (ou on ne peut faire mieux, point). Pour l'informatique, c'est dierent. L'informatique est nee des mathematiques, les programmes sont des langages entierement crees par l'Homme, ilssontmathematiques! Quand on \utilise" des outils mathematiques pour raisonner sur un programme informatique, on utilise le m^eme langage! L'informatique est uneapplication exactedes mathematiques, et peut-^etre la seule a ^etre vraiment exacte!Les mathematiques et l'analyse d'algorithmes
Dans certaines circonstances, peu de connaissances mathematiques sont requises pour concevoir un programme informatique. Par exemple, les actions de trier un tableau de nombres, acceder a une base de donnees, appliquer un ltre a une image, compresser un video ou crypter un texte font appel a des techniques deja existantes. Un programmeur peut implementer ces techniques sans trop se creuser la t^ete. Parfois, il peut aussi trouver une strategie pour accomplir la t^ache desiree sans necessairement re echir dans un formalisme mathematique. Cependant, un informaticien serieux souhaitera analyser le comportement de son nouveau programme, pour repondre a l'une ou l'autre des questions suivantes : Est-ce que le temps d'ex ecutionrequis par mon programme est raisonnable, m ^eme quand le nombre de donnees a traiter est tres grand? Q uelest l'espace m emoirerequis par mon programme ? 3 Pui s-jefournir la garan tieque mon programme accomplira la t^ achedemand eedans tous les cas? Est-ce que mon programme comp ortedes failles de s ecurite? Dependamment du contexte, il est tres dicile d'obtenir des reponses completes a ces ques-quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] mathématiques pour l'ingénieur dunod pdf
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