[PDF] Mathématiques pour lingénieur. Exercices et problèmes

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SCIENCES SUPExercices&Problèmes

MATHÉMATIQUES

POURL"INGÉNIEUR

Yves Leroyer

PatriceTessonLicence•Écoles d"ingénieursRappels de cours

Méthodes

Exercices et problèmes

avec corrigés détaillés r»TpÉr»T.uUmx tOUv "".soÉs.mUv v appels de cours r

éthodes

m xercices et problèmes avec corrigés détaillés r»TpÉr»T.uUmx tOUv "".soÉs.mUv v appels de cours r

éthodes

m xercices et problèmes avec corrigés détaillés

Yves Leroyer

Professeur à l"École Nationale Supérieure d"Électroniq uer d"Informatique et de Radiocommunications de Bordeaux eENSEIRBi

Patrice Tesson

Professeur agrégé à l"École Nationale Supérieure d"

Électroniquer d"Informatique

et de Radiocommunications de Bordeaux eENSEIRBi © Dunod, Paris, 2009Illustration de couverture : .xhs •àbOTOSRORYU•UàOa

T»h"m lmx r»T.Èvmx

sVsNTQPROPOSviii

NOTsTIONSix

CHAPITRE i€OUTILS MsTHÉMsTIQU3S D3 7sS3..................................... 1

1.1 Rappels d"analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique 1.3 Les Séries de

Fourier 1.4 Les fonctions dénies par des intégrales Énoncés des exercices.............................................................s Énoncés des problèmes...........................................................im Corrigés des problèmes ...........................................................mn CHAPITRE l€TRsNS2ORMsTION D3 2OURI3R........................................ 41 Énoncés des exercices.............................................................nm Énoncés des problèmes...........................................................no Corrigés des problèmes ...........................................................or CHAPITRE m€TRsNS2ORMsTION D3 LsPLs63........................................ 66 Énoncés des exercices.............................................................pr Énoncés des problèmes..........................................................."h Corrigés des problèmes ...........................................................rn ?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit

Table des matières

6HsPITR3 c€INTÉGRALES COMPLEXESu THÉORÈME DES RÉSIDUSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS ec

Énoncés des problèmes...........................................................48 Corrigés des problèmes ...........................................................UTb

6HsPITR3 e€DISTRIBUTIONSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS aà•

Énoncés des exercices.............................................................U&è Énoncés des problèmes...........................................................U&5 Corrigés des problèmes ...........................................................Ub4

6HsPITR3 è€FILTRES ET CAUSALITÉSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS a•d

Énoncés des problèmes...........................................................Uc4 Corrigés des problèmes ...........................................................Uec

6HsPITR3 8€FONCTIONS DE BESSELSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS a:c

Énoncés des exercices.............................................................Uèè Énoncés des problèmes...........................................................Uè4 Corrigés des problèmes ...........................................................U5e

6HsPITR3 5€FONCTIONS ORTHOGONALESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS ae:

Énoncés des problèmes...........................................................U48 vi

Table des matières

6orrigés des problèmes RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR2v5

CHAPITRE 9€ÉvUîT)tsy m)ooÉxnsT)n""ny nT ÉvUîT)tsy îUX mÉx)VÉny uîxT)n""ny.... 221

4RU Les équations différentielles linéaires 4R& Équations aux dérivées partielles

Énoncés des problèmesRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR224

6orrigés des problèmes RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR23v

j)j")tpxîu()n&c5 )smnX&c4 vii

»V»sTOtvOtOx

6e livre est un recueil d"exercices et de problèmes dans les grands secteurs des mathématiques

pour l"ingénieurR Il s"adresse aux étudiants de troisième année de Licence de physique et d"33s

ainsi qu"aux élèves des écoles d"ingénieursR Il est le fruit d"un enseignement de mathématiques

pour l"ingénieur dispensé en première année de l"École Nationale Supérieur d"ÉlectroniqueP d"InQ

formatique et de Radiocommunication de 7ordeaux L3NS3IR7MR Nous avons pris le parti de privilégier l"exposé des méthodes de calcul et de recherche des

solutions en laissant parfois le soin au lecteur d"établir par luiQmême la justication mathématique

detelleoutelle étapeLconvergenceuniformed"intégralesoudesériesPpermutationd"intégralesRRRMR

Dans la plupart des chapitresP des exercices permettent de se familiariser avec les méthodes de

en physique de l"ingénieurR 6ertains peuvent constituer des " miniQprojets » et être poursuivis par

des calculs sur ordinateur Lil est fait référence dans quelques problèmes à des prolongements sous

MapleMR

Le chapitre U rappelle et présente des notions qui seront utilisées dans la suite de l"ouvrageR La

distribution de Dirac y est exposée selon l"approche " phénoménologique » usuelle pour les phyQ

siciens qui permet une utilisation simple et extensiveR L"étude plus rigoureuse des distributions fait

l"objet du chapitre e LDistributionsMR Les chapitres & et b sont consacrés aux transformations intéQ

grales de 2ourier et de Laplace et à leurs applications en physique pour l"ingénieurP avec notamQ

ment au chapitre b plusieurs problèmes sur l"étude des lignes de transmissionR Le chapitre c est

consacré à l"étude des fonctions d"une variable complexe avec une orientation particulière vers le

calculd"intégralesR6esnotionssurlesfonctionsanalytiquesintroduitesauchapitre cetsurlesdisQ

tributions étudiées au chapitre e trouvent un prolongement au chapitre è où elles sont appliquées

à la description du principe de causalité en physique et à la modélisation des ltres linéaires i

relations de KramersQ KronigP ltres à phase minimaleP relations de 7ayardQ7odeP théorème de PaleyQWienerR Les fonctions de 7esselP chapitre 8P et les polynômes orthogonauxP chapitre 5P sont

étudiés en vue de leur application à la résolution d"équations différentielles et d"équations aux

dérivées partielles Lchapitre 4MR

6et ouvrage ne prétend pas à l"exhaustivité et certains domaines des mathématiques pour la

physique n"y sont pas traités i la théorie des groupes dont les applications sont d"un niveau techQ

nique plus avancéP le calcul matriciel qui pour l"ingénieur ressort maintenant davantage du calcul

sur ordinateur avec des outils comme MatlabP le calcul variationnelP dont le champ d"application est plus restreintR La plupart des exercices et problèmes originaux de cet ouvrage sont l"œuvre d"une longue

collaboration au sein de laquelle nous tenons à remercier plus particulièrement 7ernard MorandP

Michel DaumensP Michel Hontebeyrie et Pierre MinnaertR sOT»T.Osx

3spacespage

NPZEntiers naturelsr entiers relatifs

RPCNombres réelsr nombres complexes

L y PL 2

Fonctions sommablesr de carré sommable 5

L yloc

Fonctions localement sommables5

SFonctions à décroissance rapidey24

S

Distributions tempéréesy24

2onctions

uFonction échelon de Heaviside4 lnr logLogarithme népérienr logarithme complexe P T

Fonction " porte »6

L T

Fonction " triangle »6

signFonction " signe »6 sincFonction sinus cardinal6

GPBFonctions eulériennes8

J n PN n PH n

Fonctions de Besselr Neumannr Hankely65

I n PK n

Fonctions de Bessel modiéesy65

Distributions

TPfAction d"une distributionTsur une fonction testfy24 dDirac edistribution der impulsion dei6r y24

Peigne de Diracy24

Pf y xPseudosfonctionyxy24 f]Distribution régulière associée à la fonctionfy24

Transformations

FPF Šy

Transformation de Fourier directer inverse 4y

L PL Šy

Transformation de Laplace directer inverse 66

Divers

zConjugué complexe dez fonction de classeC k

Fonctionkfois continuement dérivable4

fonction de classeLFonction localement sommable66 et de classe exponentielle g=lim n?? n k=y y kŠlnn?

Constante d"Euler=vP577SSS

C pn =n! p!enŠpi!Coefcient du binôme

OUT."x r»TpÉr»T.uUmx

lm h»xm S v»ttm"x lm iOUvx SPS v

»ttm"x l»s»"Yxm

aI .ntégrales généralisées lé“nitions a fIxLdx=lim R R a fIxLdx b a fIxLdx=lim eY b aNe fIxLdxsifnon bornée enx=a yi ces limites existentP on dit que l"intégrale correspondante converge Iou est convergenteLP sinon elle diverge Iou est divergenteLS

Exemple

lintégrale de Riemann(dans les deux cas ci-dessous on aa>0):

€à lin“ni

a 1 x a dxconverge sia>1et diverge sinon

€en zéro

a 0 1 x a dxconverge sia<1et diverge sinon. On en déduit uncritèredeconvergencetrès utile :

€si pourx??on a:f(x)?1

x a alors lintégrale a f(x)dxconverge sia>1et diverge sinon;

€si pourx?0on a:f(x)?1

x a alors lintégrale a 0 f(x)dxconverge sia<1et diverge sinon. uar extension on dénit Idénition au sens standardL fIxLdx=lim R c ŠR fIxLdxN lim R R c fIxLdxpourcborné quelconqueS b a fIxLdx=lim eY cŠe a fIxLdxNlim e Y b cNe fIxLdxsifnon bornée enx=c]a,b[ ihapitre S

Outils mathématiques de base

On utilise souvent une dénition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de lapartie

principaleeou valeur principalei de Cauchy PP fexidx=lim R R ŠR fexidx PP b a fexidx=lim ev cŠe a fexidxo b coe fexidx sifnon bornée enx=c?]a,b[

Si l"intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux dés

nitions donnent la même valeur de l"intégrale. Une intégrale peut converger en PP sans converger

au sens standard. bI xéries

Séries numériques

On appelle somme partielle de rangNd"une série numérique de terme généralu n la somme : S N Nquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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