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Mathematiques pour l'ingenieur
Thomas Cluzeau
Ma^tre de Conferences
Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.ensil.unilim.fr/ ~cluzeauThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurMaths a l'ENSIL en TC1
Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyseAlgebre lineaire
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Maths pour l'ingenieur : organisation et evaluationOrganisation7 seances d'1h30 de cours
8 seances d'1h30 de TD
Evaluation: 1 examen intermediaire de 30 min. sans documents en S91/4 note nale Tutorat en S131 examen nal de 1h30 avec documents en S15
3/4 note nale
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Plan du cours
1Introduction aux distributions
2La convolution
3La transformation de Fourier
4La transformation de Laplace
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Chapitre 1
Introduction aux distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IPourquoi introduire les
distributions ?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Historique
Distributions : utilisees depuis tres longtemps par lesphysiciens Theoriemath ematiquerigoureuse plus r ecente: Sob olev(1936),L. Schwartz (1950)
, Gelfand (1964) Theorie la mieux adaptee al' etudede nom breuxsyst emes physiques (systemes lineaires continus) Convolution et Transformee de Fourieroutils tr espuissants gr ^ace aux distributionsDenition intuitive d'une distribution :
outil math ematiqueutilis e pour representer des phenomenes physiques que les fonctions classiques s'averent incapables de transcrireThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif (1)
Exemple : choc elastique & choc dur entre deux objetsPartie de squash : vitessev0avant puisv0apres tLoi de la mecanique Newtonnienne)F=m_vThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif 1
Partie de petanque : on passe dev0av0sans tOn a encoreF=m_vdoncF(t) = 0;8t6= 0De plus
1m R +11F(t)dt=v(+1)v(1) =2v0
ce qui est absurde p ourdes fonctions )Probleme ne pouvant ^etre traite au sens des fonctions )On a besoin d'objets plus generaux :les distributions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples
Distributions de charges en
electrostatique (cf. p olycopie) En m ecanique , dans le cadre de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, comment ecrire l'equation du mouvement d'un solide lorsque le systeme est soumis a une force intense appliquee pendant un intervalle de temps tres court a partir de l'instantt=t0?En electricite, comment va se comporter un circuit dont l'entree varie brusquement ; par exemple par fermeture d'uninterrupteur sur une source de tension continue ?Enhydraulique , comment va se comporter un systeme dont
on ouvre brusquement une vanne a l'instantt=t0?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IIFonctionnelles et espaceDdes
fonctions testsThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Fonctionnelles
Denition
On dit que l'on a
u nefonctionnelle sur un ensemble de f onctions appelees fonctions tests , si a chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe.FonctionnelleTsur un espace de fonctionsF:T:F !C; '7!
Plus les conditions de regularite imposees aux fonctions tests sont severes, plus les fonctionnelles denies sont generales Les distributions seront denies comme fonctionnelles sur un certain espace, noteD, que nous allons presenter maintenantThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
L'espace des fonctions testsDRESTRICTION POUR CE COURS: fonctions aune seule va riableDenition
Soit f une fonction a valeurs complexes denie surR. Lesupp ort de f , not eSupp(f), est l'adherence des x2Rtels que f(x)6= 0.Supp(f) =fx2R;f(x)6= 0g:Denition
On denit l'ensembleDcomme l'espace des fonctions a valeurs complexes denies surRindeniment derivables et a support borne (compact).Remarques: C'est un espace vectoriel de dimension innie. Les fonctions deDont deslimites nulles e n1Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDDes exemples ne viennent pas immediatement a l'espritExemple fondamental:
a(x) =0pourjxj 1=a; exp(11a2x2)pourjxj<1=a;
aveca>0.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDPlus generalement, toute fonctionabdenie par ab(x) =0pourx=2]a;b[; exp( 12 [1xb1xa])pourx2]a;b[:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples et theoreme d'approximation
Autre famille de fonctions deD:
k(x) =1(k x)R1(k x)dxTheoreme
Si'2 Det si f est une fonction sommable (integrable) a support borne, alors (x) =Rf(t)'(xt)dt est une fonction deD.Soit k(x) =Rf(t) k(xt)dt fcontinue)( k)kconverge uniformement versfTheoreme (Theoreme d'approximation) Toute fonction continue a support borne peut ^etre approchee uniformement par une suite('n)n>0de fonctions deD.8 >0;9N2N;tel que;8nN;8x;jf(x)'n(x)j:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Topologie deDDenie par un critere de convergence pour les suitesDenition Une suite('n)n>0de fonctions deDconverge vers une fonction' lorsque n tend vers l'inni si :1Il existe un ensemble borne B (independant de n) deRtel que pour tout n>0,Supp('n)B ;2Pour tout entier k0, la suite des derivees('(k)n)nconvergeuniformement surRvers'(k).On peut montrer que la limite'appartient alors aDThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IIIL'espaceD0des distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (1)
Denition
On appelle
distribution toute fonctionnelle lin eairecontinue sur l'espace vectorielD.DistributionT:T:D !C; '7!=T(')1Linearite
8 >0;9N2Ntel que;8k>N;jjThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (2)
Ensemble des distributions =espace vecto rielnot eD0 La somme de deux distributions et le produit d'une distributionpar un scalaire sont denis comme suit :=+
Exemples : distributions regulieres (1)
Denition
Une fonction f:R!Cest ditelo calementsommable si elle est integrable sur tout intervalle borne.A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution T fdenie par8'2 D; =Z
f(x)'(x)dx:Une telle distribution est diter eguliereLemme Deux fonctions localement sommables denissent la m^eme distribution ssi elle sont egales presque partout. Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemples : distributions regulieres (2)
Valeur principale de Cauchy de 1=xnoteevp1x
Distribution de HeavisideFonctionHde Heavside :
H(x) =1pourx0
0pourx<0DistributionW=THde Heaviside :
H(x)'(x)dx=Z
+1 0 '(x)dxThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurExemples : distributions singulieres (1)
Les distributions qui ne s'ecrivent pasTfpourflocalement sommable sont dites singuli eresDistributionde Dirac(exemple le p lususuel)
8'2 D; < ;' >='(0)
Plus generalement,
la distribution ade Dirac au pointa8'2 D; < a;' >='(a):
Attention: en physique, on ecrit souvent(x) ou(xa) au lieu deeta. Cette ecriture laisse croire queest une fonction ce qui est faux !Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemples : distributions singulieres (2)
Distribution de Diracasouvent interpretee comme representant la masse (ou la cha rge)+1 au p ointa CL de distributions de Dirac = distribution singuliereEn particulier,
distribution p eignede Dirac aa =+1X n=1 n (proprietes interessantes, joue un r^ole important en physique)Remarque: generalisations a 3 dimensions desa
representation mathematique correcte des charges ponctuelles et supercielles en electrostatiqueThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Support d'une distribution (1)
Denition
On dit que deux distributions S et T sont
egales siRsi=quelque soit
'2 Dayant son support dans .Exemples:T 1etWsont egales sur ]0;+1[. SiSupp(')]0;+1[
11(x)'(x)dx=R+1
01'(x)dx=et``sont egales sur ]12
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