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Lesproblèm esouvertsduRallyeMathématique

del'Ac adémiedeLyon

2011-2020

GillesAldon

ClaudeTisseron

RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

àCla udeTisseronetMichel Mizony

2

Tabledesmatiè res

Introduction6

res13

1.1L'énon cé........................................15

1.2Quelqu esélémentsdemathématiq ues........................16

1.3Letr availdesél èves..................................20

1.4Util iserceproblèmeenclasse............................20

1.4.1Àl'écolep rim aire...............................20

1.4.2Aucollègeet aulycée.............................22

2Despolygonesquitournent25

2.1L'én oncé........................................27

2.2Quelqu esélémentsdemathématiq ues........................28

2.2.1Quelquesr emarquespréliminaires......................29

2.2.2Casparticul iers................................30

2.2.3Plusgénéra lement..............................33

2.2.4Triangles scalènes...............................33

2.3Letr availdesél èves..................................36

2.4Util iserceproblèmeenclasse............................37

2.4.1Àl'écolep rim aire...............................37

2.4.2Aucollègeet aulycée.............................37

3201339

3.1L'én oncé........................................40

3.2Unpeu demathém atiques..............................41

3.3Letr availdesél èves..................................44

3.4Util iserceproblèmeenclasse............................49

3.4.1Àl'écolep rim aire...............................49

3.4.2Aucollègeet aulycée.............................49

4Lesboîtesexplosives51

4.2Unp eudemath ématiques ..............................52

4.2.1Avecdeux boîtes...............................52

4.2.2Généralisati on.................................52

4.3Let ravaildes élèves..................................57

4.4Uti liserceproblèmeenclasse............................58

4.4.1Àl'écolep rim aireetaucollège.......................58

3 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

5Combiendemultiplications?61

5.1Enoncé .........................................63

5.2Unpeu demathém atiques..............................63

5.2.1Pourdeux facteurs..............................63

5.2.2Pourtroi sfacteurs..............................65

5.3Let ravaildes élèves..................................66

5.4Uti liserceproblèmeenclasse............................69

5.4.1Àl'écolep rim aire...............................69

5.4.2Aucollègeet aulycée.............................70

6Unproblèmequidéchire!71

6.2Unp eudemath ématiques ..............................72

6.2.1Premièrepar tie................................72

6.2.2Deuxièm epartie................................73

6.3Let ravaildes élèves..................................75

6.3.1Cequelesél ève speuventa border......................76

6.4Util iserceproblèmeenclasse............................78

6.4.1Del'école primair eaulycée.........................78

6.4.2Retourd'ex périence,EcoleduRocher....................79

6.4.3Retourd'ex périence,lycéeLaMartinièreMontplaisir............79

7Lesgrillesdiaboliques81

7.2Unp eudemath ématiques ..............................83

7.3Letr availdesél èves..................................89

7.4Util iserceproblèmeenclasse............................91

8Lescheminssurunquadrillage93

8.2Unp eudemath ématiques ..............................95

8.2.1Partie1 ....................................95

8.2.2Partie2 ....................................96

8.2.3Uneremar que.................................96

8.2.4Finalemen t..................................97

8.2.5Partie3 ....................................97

8.3Letr availdesél èves..................................98

8.4Util iserleproblèmeenclasse.............................99

8.4.1Àl'écolep rim aire...............................99

9Sangaku105

9.1L'énon céduproblème................................107

9.2Quelqu espremièresquestions............................108

9.3Etquelq ues premièresréponses...........................108

9.3.1Quelquesr emarques.............................108

9.3.2Calculdesra yons...............................109

4 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

9.3.3Tangentes ...................................110

9.4Prolon gement.....................................113

9.5Letr availdesél èves..................................113

9.6Util iserleproblèmeenclasse.............................116

9.6.1Àl'écolep rim aireouaucollège.......................117

9.6.2Aucollègeou aulycée............................117

10Unbilla rdferm é119

10.2Unpeu demathém atiques..............................122

10.3Dansl etriangle....................................122

10.4Dans lecarré.....................................122

10.5Dansl epentagonerégul ier..............................123

10.5.1Uneremar quegénéralesur lesangles....................123

10.5.2Unpeude géométriean alytiqu e.......................126

10.6Générali sation.....................................130

10.6.1Lecasdesp olygonesay antu nnombre pairdecôtés............130

10.6.2Lecasdesp olygonesay antu nnombr eimpairdecôtés..........132

10.6.3Trajets" croisés»..............................132

10.6.4Lecasdut riangleq uelcon que........................137

10.6.5Casduquadril atèreq uelco nque.......................137

10.7Letr availdes élèves..................................137

10.8Util iserleproblèmeenclasse.............................139

Conclusion141

5 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon 6

Introduction

J'aiconnul' IREMdeLyonalorsq uej'étaisencor eétudi antenmathéma tiques,etjen'a icessé, dansmacarrière deprofesseur puisdechercheuren didac tiquedesmathématiquesde fréquen- tercetendro itmag iqueoùlacolla borationentrema thématiciens,professeurs,didacticiens, formateurs,prod uitdepuisplusdequaranteannéesdesmo desdep enserl'enseignemen tdes

mathématiquesnovateurs,réfléchis,utili sablesetanalysés.C'estlelieuoù lesmathématiquesse

personnalisentetpourmoi,encoreétudiant, j'éco utaisavecatt entionlespro fesseursdecollège ,

delycé e,d'universitéseq uerellersurunrésultatoùlafaçondele présen ter.C'estégalement

lelieuo ùlesrenco ntreshumaineso ntd onnédelachairà desidéessurl'enseignementencore vagues,naïvesoutrops imples.C'estlelieu oùj'ai découvertqu efairedesmathématiques n'étaitpasseulemen tcomprendreetappliquer desthéorèmesmaisa ussiimaginer etcréer une petitepartdemathém atiques.Par mitout eslesdécouvertesmagnifiquesquel'IREMdeLyon m'apermis defaire,les" problèmeso uverts»sont certainement l'unde smomentslesplus déterminantsdemonévol utionpro fessionnelle. Lesp roblèmesouverts,définisparGilbert Arsac[Arsacetal.,1991]puis[ArsacetMante,200 7], MichelMante,Gille sGermainontapp ortédanslepaysaged el'enseignementdesma théma- tiquesenF ranceun regardnouveau.Lesélèv espassa ientainsid'unrôlepa ssifd'apprentissagede

résultatsapportésparleprof esseuràunrôleactifdecré ateursdem athéma tiques.C'estlaphi-

losophiemêmedelaperception desmaths quiétait chang ée,bouleverséeparl'in troduction dans

laclasse demathématiquesdudro itàcréer, àimaginer,àsetromper, àco njectureretàprou-

ver.Bref, lesélèvesdevenaie nt,àtraversc etteactivité,d esmathématiciensenherbe,ca pab les

d'imaginationaucoeurdelarigueurdesraiso nnemen tsmathémati ques.Mê mesile sauteursont toujoursprésentéles"problèmes ouverts»comme unepratique pédag ogique,lefo ndementde cettepratiquea mod ifiédurablement laperceptiondecequesont lesmathématiquespourles élèvesmaisaussip ourlesprofesseurs quiont acceptédeselancerdanscet exercicepérilleux : donnerauxélèv esunénoncé,do ntonsaitqu'ilestcréateu rdema thématiquesmaisdo ntonne saitpas apriorioùl'im aginationdesélèvesvamener.Commeprofesse urdemath ématiques,

j'ailongtempspratiqué cetexerciceet éprouvéune grandesatisfactionde voir mesélèves entrer

dansunevéri tabledéma rchederechercheettrouverle tempsducourstropcourt!Ce quicom - penselargeme ntladi cultédegestion delacl asseetlesmomentsince rtains oùjene savaispas

silap isteim aginéeparungrou pepouvaitêtrefécondeoua ucontrai revoué eàl'échec.Cesont

aussilesrencon tresavecCl audeTisseron,alorsdirecteurde l'IREM,etMichel Mizonyquilui desconcep tsmathématiques.AvecClau deTisseronnousavonsexpérimentédes"problème s longs»danslaclasse dema ths[Aldon,1995,Tisseronetal.,1996,TisseronetAldon,1998]qui étaientconstruitspour servirdefilrougeàl'enseignemen tdurantune annéescolaire.L'univ er-

sitéd'étéorg aniséeparl'IREM deLyonen1996[Aldonetal.,1996]aétél'occasiondedébattre

dela placedes problèmesdansl'enseign ement maisaussidans larecherchema thématique,en particulieravecMichelMizonyquiapro poséàcetteoc casionuneréflex ionsur"lecalcu lfor- meldans mapratiqued'enseignan tetde chercheur»,rep osantsurlesproblèmescruciauxqui 7 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon dirigeaientsontravail. Commecherche urendidactiquedesmathémati ques,j 'aicontinuéàétudierlesapports dela recherchedeproblèmesdansl'enseig nementet l'apprentissagedes mathématiques.Le groupe EXPRIME,fondéen2 006entrel'IREMd eLyone tl'INRPàl'i nitiativedeVivi aneDurand- Guerrieretmoi-même,puis legro upeDREAMquiaprislarelèveenc ollaboration avecl' IFÉ etl'IN SPÉ(originairement l'IUFM,puisl'ESPÉ)ontétudiécesapports,misenplac edesexpé- rimentationsdansdesclassesetproduit desmémoiresdema sterset desthèses[Gardes,2013, desmathé matiques.LesiteDREAMaths 1 estunevitrine importante decestra vaux. Cen' estdoncpasunhas ardsinousav ons(Michel Mizony, alorsdirecteurdel 'IREMde Lyonet moi-même,directeuradjoint) propo sél'organisationd'unrallyema thématiqueànospartenaires del'APMEP etduRectorat del'A cadémi edeLyon.Cen'esttoujoursp asparh asardsiquelques annéesplustard,j' aiproposéune épreuvedeprobl èmeouvertdan scerallye.C'estcetteh istoire quejera conte danscetouvrageàtravers lesdixproblèmesproposés cesdixdernières années auxélèvesd el'Académiede Lyon. Lespro blèmessontau coeurdel'enseignementdesmathéma tiquesdepuisbienlongte mpscomme entémoignent, parexemple,lesparagraphes queFerdin andBuissony consacredans sondic- tionnaireàlarubriqueMathéma tiq ues[Buisson,1929].Plust ardetdans latradition deJohn Dewey[Dewey,1938],il estdi!ciledepa rlerde problèmesetderésolutio ndeproblèmessa ns faireréférenceà Polya [Polya,1945].Ilpro pose danssonouvrage"Howto solveit» desheuris- tiquesdeva ntfaciliterlarechercheetlarésolutio ndeproblèmes,heuristiques qu'ilaco nstruites surl'observation desonactivitéproprede mathématicien: Studyingthemetho dsof solvingproblems,we perceiveano therfaceofma thematics. Yes,mathemat icshastwofaces;itistherigoroussc ienceofEu clid,buti tisalsoso- methingelse.Mathematic spresentedinth eEuclideanwayappearsasasystema tic, deductivescience;butma thematicsinthemaking appea rstobeanexperimen tal, inductivescience.»(Id.p.VI I) Cetteautrefac edesmathématiq uesnécessite quelquesr éflexionsetladimensionexpérimentale citéeparPolyase doitd'êt repréciséecequi seral' objetdupara graphesuivant.Cetr avail

fondamentalaétéàla basededév eloppements importants pour mettreenrelation, àtrav ersles

problèmes,le"faire des mathématiques »au"faire fairedesmathématiques ».Lesévolutionset

lesdévelo ppementssesontfaitsenintégrantles critiquesqui peuventêtreapportées auxthèses

défenduespar Polya,la plupartdesauteursquiontévoquésla résolution deproblèmesdans l'enseignementdesmathématiquessep ositionna ntparrapport àson travail.Jerelèverai,parmi d'autresdeuxobjectio nsquime semblentfaireavancerlacom préhensio ndurô ledesproblème dansl'enseignement. Lapremièreportesurlacon textualisatio ndela recherched'unproblème etlesliens avec lesnotionset lesconceptsmathématiquesenjeu.Ellepoin tela di cultéà

relierlaréso lutiond'un problèmeparticulieravecdes règlesgén éralesdé-con textualisées:

"Te achinggeneralproblemsol vingdoesnotleadtomat hematicalskillsorkno w- ledge»[Swelleretal.,2011] Lasecond eobjection,relevésdéjàpa r[Schoenfeld,1994],estl'inclusio ndespro blèmesdansle curriculum: motivateaunit,andthenone wo uldgetdowntothe" realmath, "astraditio nally organized.Buthere,thesol utionst otheproblem s,incontext,ar ethelargepart ofthem athematic sstudied.Thatis,themathematicsoft enappearsinaparticular context,andaspectsof itarew orkedoutinthatcon text;the moreextended, formal presentationanddecontextualization ofthemathematics isnotundertaken.»(Page 73)

1.http ://dreamaths.univ-ly on1.fr

8 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon Bienque dessituati ons derecherchedeproblèmescontinuentàvivreenclasse, etbienq uede nombreuxtravauxmo ntrentlesapportsdespro blèmespourl'enseignementetl'a pprentissa ge

desmathéma tiques,cessituationsnese sontpasg énéralisées.Lesdeuxobjections précédentes

constituentdesfreinsimportan tspour cetteintégration etl'accentmisprincipalementdans l'approchedesproblèmesderecherchesur ledévelo ppementdecomp étencesméta mathéma- tiquesesten oppo sitiona veclescontraintesinstitutionnellesquipèsent surlesprofesseurs. Paraill eurs,lesproblèmesréelsdans latradit iondes"realisticmathematic s»[Freudenthal,1973] contextualisentlesnotionsmathématiquespo urleur donnerdusens. Laquestiondu transfert enliena vecla constructionoularéinven tionduconcept dansuncontexteparticulierpointela tensiond'unpoin tde vuedidactiqueentrecetteréinventionet lené cessaireg uidagepar lepro- fesseurcommelemettai tenévidencePau lDrijv ersdanssaconférencel orsdel aCIEAEM66à Lyon 2 .Com mentetpourquoi,te llenot ionperçuecommepertinenteda nsuncontextepar ticu- lierpo urraatteindreunstatutdenotio nmathématiqueuniverselle ?P ourprendrel'exemplede

l'algèbre,dansquellesconditions didactiques,larésolution d'unproblème réalistemenantàla

résolutiond'uneoudeplusieurséqua tionsp ourrameneràlaco nstruction duconcept d'équation

etàson car actèreuni versel?Cesquestionsconduise ntàconsidérerlerôledesproblè mesdan s

l'enseignementdesmathématiquescomme unlieud'exp ériencesurlesobjetsma thématiques àen seigner.Et,avantdedévelopperde srépon sespossibles,j evoudr aisapprofondirunpeula placedel'expérienced ansla créationdesmathéma tiquesetles relations existantesentreles perceptionssensiblesdesobjetse tleurthéorisation. Lanotio nd'expériencepeutêtrerega rdéeàlafoisda nsledomainede laphiloso phiedessciences

etdanscelui delaphilosophie delaconnaissance. Lasubjectivité del'expérience aété largement

miseené viden cedansl'histoiredessciencesetl'immédiatetédesperceptions sensiblesnepeut impliquerunca ractèrescien tifiqueauxrésultatsdel'expérience.De nombreuxexemplesp euvent êtredévelopp ésdanslessciencesexpérimentalesmaisaussi enmathématiquescomme jep eux l'illustrerpa rlesdeuxsituation ssuivan tes:

1.Construireuncarréinscritdan suncer clederayon1.Su rchacundesescôtéscons truire

letrian gleisocèledontleso mmetappartient aucercle:onobtient alors unoctogone régulierinscrit danslecercle.Recommencer.Alanieme étape,lepo lygone obtenu est unpo lygonerégulierà2n+2côtésqui serapproc heducerc leetdontlepérimètreest uneappro ximationdupérimètreducercle,onendéduitainsiune appro ximationde!?

2.Construireundemi-cercledera yon1.Co nstruiresurlediamètredeuxdemi-c ercles

deray on1/2.Recommencerleprocessus.Achaqueétape,lalongueurdelaligneest invariante,ene et,onremp laceun demicerclederayonRparde uxdemi -cerclesde rayonR/2.Eni té rantleprocessusonobti entun elignequiserapprochedudiam ètre; onend édui talorsquelalongueurd elaligneesté galeàlalongueu rdudiam ètre,c'est

àdire!=2?(Figure1)

Cepa radoxe(apparent)montreb iencettesubjectivitéetlanéce ssitédedépasserlas eule expériencepourlarelier àlathéorie:l'exp ériencedansles deuxcassem blelamême maisle faitquel' "écart »entre lalignebrisée etlesegmen t(au sensdedistancemaximum ouau sensd'aire)ne su tpas àfaireconvergerles longueurs.Lecalcul delalongueur d'unecourbe faitinterv enirdesdérivées;dansladeuxième construction,lesp entesinfiniesdelaligneaux pointsdecontact avecle segmentlèventleparad oxe. L'empirismeclassique conduitausce pticisme[Hume,19 46]parcequelajustificationobjective d'unfait parl'expériencene peutêtredéduited'une expériencesubjective.Sa nsvo uloirentrer dansunedescription exhaustivedurôle del'expériencedans lessciences,lesliensentrela

2.https://youtu.be/EbavxxoF_Z8

9 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

Figure1-!=2?

théorieetl'expérienceo ntto ujoursamenéàco nsidérerlesrelationsentre ledomainesensibleet

saformalisationthéorique dansun langageparticulier.T outeexpérienceestdirectement reliée enelle lesinterprétations destermesqu'elle emploiesibienqu'unemêmeexp érienceetses résultatspourrontconduireà desinterprétationsdi

érentessuivantleshypo thèsesthéoriques

sous-jacentes. "Myr ema rksonincommensurabil ityand itsconsequencesforscientistsdebatingquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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