EXERCICES – ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un
EXERCICES – ALGORITHME SECONDE. Exercice 5.1. Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur un nombre compris entre 1 et 3 jusqu'à ce.
Exercices de mathématiques - Exo7
177 223.06 Différentielle seconde. 764. 178 223.07 Extremums locaux. 766. 179 223.08 Fonctions implicites. 771. 180 223.99 Autre.
Mathématiques
7 juil. 2021 Livret de travail de la 3e à la 2nde ... d'exercices couvrant une large partie du programme de troisième en mathématiques et a pour but.
82 exercices de mathématiques pour 2nde
4 oct. 2015 XI.6 Chez les profs de math . ... pas-exos.sty disponible gratuitement sur la ... On pourrait écrire la seconde équation sous la forme :.
Exercices de mathématiques - Exo7
La négation de la première partie est : “(il existe un couple de réels. (x1x2))" et la négation de la deuxième partie est : “(x1 ? x2 et f(x1) > f(x2))". Donc
Révisions de Mathématiques : entrée en classe de seconde
Ce livret vous est proposé pour vous remettre au travail avant votre entrée en seconde. Il s'agit d'exercices divers (QCM exercices de base
Exercices de mathématiques - Exo7
Correction de l'exercice 1 ?. 1. (a) Par substitution. La première équation s'écrit aussi y = 1?2x. On remplace maintenant y dans la deuxième équation.
Cours de mathématiques - Exo7
La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. C'est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche qui recouvre la notion de
Exercices de mathématiques - Exo7
en utilisant la deuxième équation. (x+1)6 = x6. ??. { x6 = a. (x+1)3 = ±x3 en prenant la racine carrée. ??. { x6 = a x+1 = ±x.
Exercices de mathématiques - Exo7
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants
Systèmes d"équations linéaires
Corrections d"Arnaud Bodin
Exercice 11.Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde
Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :2x+y=1
3x+7y=2
2.Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes
suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1Résoudre les systèmes suivants
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=08 :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=38 :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=cTrouver les solutions de
8>>< >:3x+2z=03y+z+3t=0
x+y+z+t=02xy+zt=0
Étudier l"existence de solutions du système : 8< :ax+by+z=1 x+aby+z=b x+by+az=1: 1 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réelsl,a,b,c,dle système : (S)8 >:(1+l)x+y+z+t=a x+(1+l)y+z+t=b x+y+(1+l)z+t=c x+y+z+(1+l)t=d Z 42P(x)dx=aP(2)+bP(3)+gP(4):
Indication pourl"exer cice6 NÉcrire les polynômes sous la formeP(x) =ax3+bx2+cx+d. CalculerR42P(x)dxd"une part etaP(2)+
bP(3)+gP(4)d"autre part. L"identification conduit à un système linéaire à quatre équations, d"inconnues
a;b;g.3Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la
deuxième équation3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911
Onendéduity:y=12x=12911
=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:2x+y=1
3x+7y=2()2x+y=1
11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écritAX=YavecA=2 1
3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :X=A1Y:
L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi
siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.Ici on trouve
A 1=111 713 2 etX=A11 2 =111 9 7
(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les
suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c f a b c dCe qui donne ici :
x= 1 1 2 7 2 1 3 7 911ety= 2 1 32
2 1 3 7 =711 2. (a)
A vanttout on re gardes"il e xisteune solution unique, c"est le cas si et seulement si le déterminant
est non nul. Pour le premier système le déterminant esta1 a2+1 2a
=a21 donc il y a une unique solution si et seulement sia6=1.Biensûrtouteslesméthodesconduisentaumêmerésultat! Parexempleparsubstitution, enécrivant
la première ligney=2ax, la deuxième ligne devient(a2+1)x+2a(2ax) =1. On en déduit que sia6=1 alorsx=4a1a21puisy=2a2+a2a
21.4 Traitons maintenant les cas particuliers. Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x+2y=1
Mais on ne peut avoir en même tempsx+y=2 etx+y=12 . Donc il n"y a pas de solution.Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x2y=1et il n"y a pas de solution.
(b)Ici le déterminant est
a+1a1 a1a+1 = (a+1)2(a1)2=4a. Sia6=0 alors on trouve la solution unique(x;y). Par exemple avec la formule de Cramer x= 1a1 1a+14a=12aety=
a+1 1 a1 14a=12a:
Sia=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice2 N1.Remarquons que comme le système est homogène (c"est-à-dire les coef ficientsdu second membre sont
nuls) alors(0;0;0)est une solution du système. Voyons s"il y en a d"autres. Nous faisons semblantde ne pas voir que la seconde ligne impliquex=yet que le système est en fait très simple à résoudre.
Nous allons appliquer le pivot de Gauss en faisant les opérations suivantes sur les lignesL2 L2L1et
L3 L3L1:
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=0()8 :x+yz=02y+z=0
3y+2z=0
On fait maintenantL3 2L3+3L2pour obtenir :
8< :x+yz=02y+z=0
7z=0 En partant de la dernière ligne on trouvez=0, puis en remontanty=0, puisx=0. Conclusion l"unique solution de ce système est(0;0;0). 2.On applique le pi votde Gauss L2 L2L1etL3 L3L1:
8< :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=3()8 :x+y+2z=52y3z=4
yz=2PuisL3 2L3L2pour obtenir un système équivalent qui est triangulaire donc facile à résoudre :
8< :x+y+2z=52y3z=4
z=0()8 :x=3 y=2 z=0 On n"oublie pas de vérifier que c"est une solution du système initial. 3. On f aitles opérations L2 3L2+L1etL3 3L3L1pour obtenir : 8< :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=c()8 :3xy+2z=a5y7z=3b+a
7y+z=3ca
5 Puis on faitL3 5L37L2, ce qui donne un système triangulaire : 8< :3xy+2z=a5y7z=3b+a
54z=5(3ca)7(3b+a)
En partant de la fin on en déduit :z=154
(12a21b+15c)puis en remontant cela donne 8< :x=118 (8a+5bc) y=118 (2a+b+7c) z=118 (4a7b+5c)Correction del"exer cice3 NOn commence par simplifier le système : on place la ligne L3en première position pour le pivot de Gauss ; on réordonne les v ariablesdans l"ordre : y;t;x;zpour profiter des lignes déjà simples. 8>>[PDF] Mathématiques seconde pro
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