[PDF] Mathématiques Tout-en-un ECS 2e année

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PRÉPAS COMMERCIALES

Sous la direction de

Christian Gautier

André Warusfel

Bruno Caminade

Gonzague de Monicault

Serge Nicolas

MATHÉMATIQUES

TOUT-EN-UN • ECS2

e année ?Un cours complet ?De nombreux exercices et problèmes ?Toutes les solutions détaillées en fin d"ouvrage

Mathématiques

TOUT-EN-UN € ECS 2

e

ANNÉE

Cours et exercices

Mathématiques

Tout-en-un € ECS 2

e année

Cours et exercices corrigés

Christian GautierAndré Warusfel

Serge Nicolas

Professeur au lycée HENRI IV à Paris

Bruno Caminade

Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-lÉcoleSous la direction de

Prépas commerciales

et

© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053975-8

Table des matières

Préfacevii

Chapitre 1Compléments d"algèbre linéaire1

1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables1

2 Réduction des endomorphismes7

3 Réduction d"une matrice11

Chapitre 2Algèbre bilinéaire24

1 Produit scalaire24

2 Espaces euclidiens35

3 Endomorphismes symétriques43

Chapitre 3Intégration sur un intervalle quelconque59

1 Dénitions59

2 Propriétés des intégrales convergentes64

3 Cas des fonctions positives71

4 Cas des fonctions de signe quelconque77

Chapitre 4Éléments de topologie deR

n 88

1 Rappels surR

n 88

2 Distance euclidienne91

3 Ouverts et fermés94

4 Parties convexes98

Chapitre 5Fonctions denvariables - Continuité104

1 Graphe d"une fonction104

Table des matières

2 Continuité d"une fonction deR

n dansR108

3 Opérations sur les fonctions continues111

4 Propriétés des fonctions continues116

Chapitre 6Fonctions denvariables : calcul différentiel125

1 Calcul différentiel d"ordre1125

2 Calcul différentiel d"ordre2135

Chapitre 7Extremums148

1 Extremums sur un ouvert148

2 Extremums sous contrainte d"égalités linéaires161

Chapitre 8Variables aléatoires réelles discrètes171

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles171

2 Séries doubles convergentes179

3 Indépendance de variables aléatoires réelles discrètes185

4 Espérance et conditionnement des variables discrètes186

Chapitre 9Vecteurs aléatoires discrets202

1 Couples de variables aléatoires réelles discrètes202

2 Variable aléatoire fonction d"un vecteur discret211

3 Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dansR

n 221
Chapitre 10Variables aléatoires réelles à densité238

1 Dénition des variables aléatoires réelles à densité238

2 Moments d"une variable aléatoire à densité246

3 Les lois usuelles255

Chapitre 11Convergences284

1 Convergence en probabilité285

2 Lois des grands nombres295

3 Convergence en loi298

4 Convergence en loi et approximations classiques308

Chapitre 12Estimation318

1 Échantillons d"une loi de probabilité319

2Estimateurs327

3 Suites d"estimateurs333

4 Estimation par intervalles de conance337

5 Statistiques bivariées347

iv

Table des matières

Chapitre 13Interventions informatiques364

1 Récursivité364

2 Gestion de listes à une dimension380

3 Simulations de lois réelles discrètes390

4 Simulations de lois réelles à densité401

5 Estimation412

AnnexesTables des lois usuelles420

Solution des exercices428

Chapitre 1429

Chapitre 2446

Chapitre 3464

Chapitre 4486

Chapitre 5496

Chapitre 6511

Chapitre 7524

Chapitre 8539

Chapitre 9564

Chapitre 10575

Chapitre 11595

Chapitre 12604

Index620

v

Préface

Cet ouvrage est le deuxième de la série " Tout-en-un » consacré aux classes prépara- toires au haut enseignement commercial. Il est destiné aux étudiants de seconde année de la lière scientique. Couvrant la totalité des résultats au programme, il contient tout ce qui est nécessaire pour la série " économique », au prix de certaines coupes évidentes; cela dit, un autre volume couvrant les deux années de celle-ci est en cours de rédaction, et sera publié en juin 2006.

Rappelons dans quel esprit notre cours a été conçu et réalisé. Le rôle d"un professeur

est, tout particulièrement en classes préparatoires, de construire son propre cours à partir de ses connaissances, de ses expériences et de ses lectures. Par suite ce livre n"est en aucun cas un modèle qui fournirait un cours prêt à l"emploi. En direction des enseignants, justement exigeants quant à leur liberté pédagogique, notre but a donc été humble : fournir à nos collègues quelques points de réexion, quelques suggestions quant aux choix des propositions à invoquer et de leurs démonstrations. S"il n"est pas un cours à l"usage des enseignants, il n"est pas davantage un texte dans lequel un élève découvrirait seul la partie mathématique des programmes de seconde

année (à quelques exceptions près, dues à des cas d"isolement imparable). Il s"agit avant

tout de donner aux étudiants unouvrage de référence. Ce livre est à consulter de manière essentiellement ponctuelle, par exemple à la sortie d"un cours, pour trouver

une vision autre permettant peut-être d"éclairer, par ses différences, l"exposé de parties

plus délicates que d"autres, et aussi pour préparer une interrogation orale, la rédaction d"un devoir libre ou un contrôle. Il servira à vérier, avec la plus grande précision possible, une dénition, l"énoncé d"une proposition, une formule, et à se servir des nombreuses remarques mises au détour des points un peu subtils. L"introduction de nouveaux concepts concernant le calcul des probabilités, introduits de façon plutôt abstraite, a ses avantages scientiques évidents; mais répétons qu"il serait stupide de penser que cela n"implique pas de réelles difcultés pédagogiques et techniques qu"on peut difcilement cacher sous le tapis.

Préface

Comme dans l"ouvrage de première année, a été préparée une copieuse liste d"exer- cices. Leurs énoncés sont classés par chapitre (à l"exception du dernier, qui n"en com- porte pas). Comme précédemment, pour des raisons pédagogiques - ne pas laisser le lecteur devant la trop grande facilité de lire tout de suite une solution dès la première

difculté rencontrée -, les corrigés ont été regroupés sur le site de Dunod, où ils

seront disponibles pour nos lecteurs dès la rentrée scolaire Rappelons la technique très simple : une fois parvenu sur le site internet www.dunod.com, il suft de cliquer successivement sur les items " sciences et

techniques », " mathématiques », " classes préparatoires », l"icône de ce livre et enn

les " compléments en ligne ». Dès lors, le lecteur est prié d"entrer un mot de passe, à

partir du livre qu"il a en main, et enn de cliquer sur " corrigés ». Ceux-ci sont au format Pdf d"Adobe; on peut s"y diriger par exemple à l"aide de la commande CTL-F pour retrouver un mot clé ou une expression (exemple : exercice 6.15) gurant avec certitude dans la solution cherchée. Toute partie sélectionnée à la souris peut être enregistrée séparément ou imprimée selon les techniques usuelles de Windows ou d"Apple. Pour ce livre comme pour le précédent, nous redisons que nous serons toujours très intéressés par toutes les réactions des lecteurs de ce livre, étudiants ou enseignants : c"est par un travail commun, où les éléments extérieurs ont toute leur place, que des ouvrages comme celui-ci peuvent rapidement trouver une forme dénitive répon- dant aux attentes légitimes fortes des étudiants et aux grandes ambitions des auteurs cherchant à mettre entre les mains de tous un outil scientique et pédagogique de qualité.

Christian GAUTIER et André WARUSFEL

viii 1

Compléments

d"algèbre linéaire Tous les espaces vectoriels mentionnés sont de dimension nie.

1.Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables

1.1 Somme directe de deux sous-espaces

Conformément à ce qu"exige le programme, commençons par quelques rappels de première année.

Dénition 1

SoientF

1 ,F 2 ,...,F n des sous-espaces vectoriels d"un espaceE. On appelle somme des sous-espacesF 1 ,F 2 ,...,F n l"ensemble des vecteurs de la forme x 1 +x 2 +···+x n oùx 1 F 1 ,x 2 F 2 ,...,x n F n

Cet ensemble se noteF

1 +F 2 +···+F n ou encore n k=1 F k

Dénition 2

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE. La sommeF+Gest dite directe si pour tout élémentxdeF+G,ilexisteunetunseulcouple(x 1 ,x 2 )F×G tel quex=x 1 +x 2

Proposition 1

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE. La sommeF+Gest directesi, et seulement si,FG={0}.

Dénition 3

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE.FetGsont dits supplémentaires siE=FG.

Chapitre1-Compléments d"algèbre linéaire

Dénition 4

SoientF

1 ,F 2 deux sous-espaces supplémentaires d"un espace vectorielE. On appellepro- jectionsurF 1 parallèlement àF 2 l"applicationpqui à tout vecteurxdeEs"écrivant sous la formex=x 1 +x 2 oùx 1 F 1 etx 2 F 2 associelevecteur p (x)=x 1

Exemples

1. Si l"on noteqla projection surF

2 parallèlement àF 1 , on vérie facilement quep+q=Id E etpq=qp=0. Les projectionspetqs"appellent des projections associées.

2. Traçons la gure dans le cas oùF

1 etF 2 sont deux droites vectorielles du plan etxun vecteur xé. F 1 F 2 Ox x 1 =p(x)x 2 =q(x)

Proposition 2

Toute projectionpest linéaire et vériepp=p.

Preuve

Soitpune projection surF1parallèlement àF2.

Montrons quepest linéaire. Soientx?ydeux éléments de?avec x =x1+x2ety=y1+y2 oùx1?y1sont deux vecteurs deF1etx2?y2deux vecteurs deF2.Soientl?mdeux scalaires, on a alors lx+my=l(x1+x2)+m(y1+y2) =(lx1+my1)+(lx2+my2). CommeF1etF2sont des sous-espaces,lx1+my1F1etlx2+my2F2. On a donc p( lx+my)=lx1+my1 =lp(x)+mp(y) c"est-à-dire quepest linéaire. 2 © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables Vérions maintenant quepp=p.Soitxun vecteur deEavec x =x1 F1 +x2 F2

On ap(x)=x1. Comme

x 1=x1 F1 +0 F2 on a (pp)(x)=p(x1)=x1.D"oùpp=p.⎷

Dénition 5

On appelleprojecteurtoute applicationp⎷L?E? telle quep→p=p? Nous avons donc prouvé que toute projection était un projecteur? Prouvons mainte? nant la réciproque?

Proposition 3

Tout projecteurpréalise une projection sur?m?p? parallèlement à Ker?p??

Preuve

Montrons d"abord quem(p)etKer(p) sont supplémentaires. Nous allons prouver que pour tout vecteurxde

E, il existe un unique couple (x

1,x2)m(p)×Ker(p) tel quex=x1+x2.

Soitx E. Supposons avoirx1m(p)etx2Ker(p) tels quex=x1+x2. FixonsyEtel quex1=p(y). On aalorsx =p(y)+x2. En appliquantpon trouve p(x) =p p(y) +p(x2) =(pp)(y)+0 =p(y) =x1.

On en déduit que nécessairementx1=p(x)etx2=xŠp(x). Autrement dit l"écriture, si elle existe, est unique.

Réciproquement pour toutx

E,levecteurp(x)m(p)etlevecteurxŠp(x)Ker(p) puisque p xŠp(x) p(x)Šp p(x) p(x)Šp(x)=0. La décompositionx=p(x)+xŠp(x) est donc une solution qui convient. D"après ce qui précède, pour tout vecteurxdeE,ona x =p(x) m(p) +xŠp(x)

Ker(p)

etp(x) est bien la projection dexsurm(p) parallèlement à Ker(p).⎷ ?n résumé nous pouvons af?rmer

Proposition 4

Soitp⎷E

E ?pest un projecteur si? et seulement si?pest une projection? 3

Chapitre1-Compléments d"algèbre linéaire

1.2 Somme directe densous-espaces

Dénition 6

SoientF

1 ,F 2 ,...,F n des sous-espaces vectoriels d"un espaceEetF= n k=1 F k .Ondit queF 1 ,F 2 ,...,F n sont en somme directe si, et seulement si, pour tout vecteurx?F,il existe une unique façon d"écrire x=x 1 +x 2 +···+x n avecx 1 ?F 1 ,x 2 ?F 2 ,...,x n ?F n

On note alorsF=F

1 ?F 2 ?···?F n ou encoreF= n k=1 F k ?Remarque

On note que si líon a deux sous-espaces, on retrouve la dÈnition de la somme directe de deux sous-espaces.

Proposition 5

SoientF

1 ,F 2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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