[PDF] Equations aux dérivées partielles et aléas

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NNT :2016SACLS171

Université Paris-Saclay

École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574) Établissement d"inscription :Université Paris-Sud Laboratoire d"accueil :Laboratoire de mathématiques d"Orsay, UMR 8628 CNRS

THÈSE DE DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES

Spécialité :

Mathématiques appliquées

Bo Xia

Équations aux dérivées partielles et aléas

Date de soutenance :8 Juillet 2016

Après avis des rapporteurs :

Tadahiro OH(University of Edinburgh)

Nicola VISCIGLIA(Università Degli Studi di Pisa)

Jury de soutenance :

Nicolas BURQ(Université Paris-Sud)Directeur de thèse Isabelle GALLAGHER(Université Paris-Diderot)Présidente Jacques SMULEVICI(Université de Paris-Sud)Examinateur Laurent THOMANN(Université de Lorraine)Examinateur

Thèse préparée au

Département de Mathématiques d"Orsay

Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425

Université Paris-Sud 11

91 405 Orsay CEDEX

Résumé

Dans cette thèse, on a d"abord considéré l"équation @2tu+jujp1u= 0;3p <5 (u(0);@tu(0)) = (u0;u1)2HsHs1=:Hs:(0.0.1)

On a premièrement montré que (

0.0.1 ) est bien-posée presque sûrement par la méthode

de décomposition de fréquence de Bourgain sous l"hypothèse de régularité ques >2(p3)p1.

Ensuite, nous avons baissé cette hypothèse de régularité à p3p1en appelant une estimation probabilistea priori. Nous considérons également l"approximation des solutions obtenus ci- dessus par des solutions lisses et la stabilité de cette procédure d"approximation. Et nous avons conclu que l"équation ( 0.0.1 ) est partout mal-posée dans le régime sur-critique. Nous avons considéré ensuite l"équation des poutres quintique sur le tore 3D. Et nous

avons montré que cette équation est presque sûr bien-posée globalement dans certain ré-

gimes sur-critiques. Enfin, nous avons prouvé que la mesure de l"image de la mesure gaussienne sous l"ap-

plication de flot de l"équation BBM généralisé satisfait une inégalité de type log-Sobolev

avec une petite perte d"intégrabilité. Mots-clefs: Equation Hamiltonienne, Sur-critique, données initiales aléatoire, bien-posée au sens de Hadamard, bien-posée au sens de Hadamard probabiliste, mesure de Gibbs, inégalité de Log-Sobolev.

Randomness and PDEs

Abstract

In this thesis, we consider the equation

@2tu+jujp1u= 0;3p <5 (u(0);@tu(0)) = (u0;u1)2HsHs1=:Hs:(0.0.2)

We first showed that (

0.0.2 ) is almost sure global well-posed via Bourgain"s high-low fre- quency decomposition under the regularity assumptions >2(p3)p1. Then we lowered down this regularity requirement to be p3p1by invoking a probabilistica prioriestimate. We also consider approximation of the above achieved solutions by smooth solutions and the stability of this approximating procedure. And we concluded that the equation ( 0.0.2 ) is everywhere ill-posed in the super-critical regime. Next, we considered the quintic beam equation on 3D torus. And we showed that this equation is almost sure global well-posed in certain super-critical regime. Lastly, we proved that the image measure of the Gaussian measure under the gen- eralized BBM flow map satisfies a log-Sobolev type inequality with a little bit loss of integrability. Keywords: Hamiltonian equation, super-critical, random initial data, well-posedness in the sense of Hadamard, probabilistic well-posedness in the sense of Hadamard, Gibbs measure, Log-Sobolev inequality.

Remerciements

Tout d"abord, je tiens à exprimer ma plus profonde gratitude à mon directeur de thèse, le professeur Nicolas Burq. Avec sa gentillesse et sa expérience, il m"a bien guidé et apporté son soutien tout au long de la préparation de la thèse. Je le remercie vivement pour tout le temps qu"il m"a consacré, pour ses encouragements et ses conseils activés, et aussi pour m"avoir appris le métier et la manière de chercheur. Je remercie vivement les professeurs Tadahiro Oh et Nicola Visciglia d"avoir accepté de rapporter sur ma thèse. Je remercie également les professeurs Isabelle Gallagher, Jacques Smulevici et Laurent Thomann d"avoir accepté d"être membres du jury. Je remercie les professeurs Thomas Duyckaerts, Patrick Gérard et Nicolay Tz- vetkov, de qui j"ai reçu beaucoup d"encouragement et même des conseils tandis que je préparais ma thèse. Je souhaite exprimer ma reconnaissance aux professeurs Xinan Ma et Xiaonan Ma, qui m"ont suggéré de venir à Paris dans l"année 2012. Mes vifs remerciements vont également au professeur Filippo Santambrogio, qui m"a accepté comme un étudiant de M2 à Orsay dans la même année. Ensuite, je dois remercier Nicolas Burq à nouveau pour lui m"accepter comme son étudiant de doctorant immédiatement après mon étude de master. Je remercie mon collaborateur Chenmin Sun, avec qui je fini le troisième papier pendant ma carrière de doctorant. Je remercie Junyong Zhang et Jiqiang Zheng, d"après qui j"appris beaucoup sur l"équation du faisceau. Je remercie Jiqiang Zheng à nouveau pour ses précieuses suggestions quand j"imprimais ma thèse. Je remercie Haiyan Xu et Quang Huy Ngugyen et Hui Zhu pour des discussions sur des problèmes mathématiques et non-mathématiques. Je remercie également Xiaoqi Xu, qui m"a aidé à traduire la partie d"introduction de ma thèse en français. Je remercie le groupe de travail de probabilité de Paris-Sud dans l"année 2014-

2015, composé de Linxiao Chen, Henri Elad-Altman, Menglin Wang, Yilin Wang et

Guangqu Zheng,etc., d"où j"appris non seulement la théorie de base de la probabilité, mais aussi quelques sujets avancés comme SLE et SPDE. Je voudrais adresser mes chaleureux remerciements à tous les membres du La- boratoire de Mathématique d"Orsay, parmi lesquels je citerai les professeurs Raugel Geneviève, Jean-Claude Saut, Claude Zuily, Frédéric Lagoutière, Frédéric Rousset. 5 Mes remerciements à Valérie Blandin Lavigne, Rey Florence, Catherine Poupon, Marie-Christine Myoupo pour l"aide qu"elles m"ont apportée. Merci à mes collègues dans mon bureau : Preux Anthony, Courtes Clémentine et Al Reda Fatima, qui m"ont donné un envirionnement agréable de travail. Merci également à mes amies pour m"avoir accompagné : Yang Cao, Zheng Chen et Xiaohua Guo, Yiwen Ding et Shu Xu, Xianglong Duan, Yangqin Fang, Wei-Guo Foo, Weichen Gao, Yueyuan Gao, Yi Huang et Qingyun Gui, Dinh-Tuan Huynh, Zhi Jiang, Yang Lan, Bingxiao Liu, Guokuan Shao et Ruiyun Liu, Shu Shen, Xiaodong Wang et Hongshu Gao, Songyan Xie et Tongnuo Wei, Cong Xue, Yeping Zhang,

Kefu Zhu, et des autres.

Enfin, je tiens à remercier vivement China Scholarship Council, qui m"a financé au cours des quatre dernières années et qui m"a donnée la chance d"apprendre les mathématiques à Orsay. Et je remercie l"environnement autour d"Orsay comme IHP, IHES et CMLSetc., qui me permet d"assister à ces activités mathématiques libre- ment.

Des conseils avant la lecture

As this thesis is composed of several articles written by the author and his colla- borator, I decide to write this short paragraph to indicate origins of these chapters. -Chapter 1is based on the work "ALMOST SURE GLOBAL WELL- POSEDNESS FOR SEMILINEAR WAVE EQUATION ON 3D TORUS : VIA BURQ-TZVETKOV"S APPROACH" by the author in 2013, with a slight mo- dification suggested by professor N. Visciglia in 2016. -Chapter 2is based on the work "PROBABILISTIC WELL-POSEDNESS FOR SUPERCRITICAL WAVE EQUATIONS ONT3" by Chenmin Sun and the author in 2015. The method here is quite different from these inChapter

1, mainly based on the method introduced by Oh-Pocovnicu.

-Chapter 3is based on the work "INVARIANT MEASURES FOR QUINTIC BEAM EQUATION ONT3" by the author in 2016. Although the title is about 'invariant measure", it was only used in the proof of the main result 'almost sure well-posedness". -Chapter 4is based on the work "GENERIC ILL-POSEDNESS FOR WAVE EQUATION OF POWER TYPE ON 3D TORUS" by the author in 2014. -Chapter 5is based on the work "PRESERVATION OF LOG-SOBOLEV INEQUALITIES UNDER SOME HAMILTONIAN FLOWS" by the author in 2015.
7

Table des matières

Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Des conseils avant la lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Introduction

13

0.1 Problème bien posé probabiliste pour les équations d"ondes supercri-

tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

0.1.1 Paramètres probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

0.1.2 Paramètres déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

0.1.3 Construction des solutions : via l"approche de Burq-Tzvetkov .

19

0.1.4 Construction des solutions : via l"approche de Oh-Pocovnicu .

21

0.2 Mesures invariantes pour l"équation de faisceau . . . . . . . . . . . .

22

0.3 L"équation d"onde semilinéaire est génériquement mal posé . . . . . .

23

0.4 Préservation des inégalités de type log-Sobolev par le flot de BBM . .

25
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

IEstablishment of Probabilistic Dynamics29

1 Almost sure global well-posedness for semilinear wave equation on

3D torus: Via Burq-Tzvetkov"s approach

3 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.2 Deterministic and Probabilistic Preliminaries . . . . . . . . . . . . . .

34

1.2.1 Deterministic Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.2.2 Probabilistic preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.3 Local and Global well-posedness for3p <5. . . . . . . . . . . . .38

9

1.4 Local and Global well-posedness for2p <3. . . . . . . . . . . . .45

1.5 Conditional dependence on the initial data . . . . . . . . . . . . . . .

50
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Probabilistic well-posedness for supercritical wave equations onT355

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2.1 Deterministic Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2.2 Probabilistic preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.3 Probabilistic Analysis of NLW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.4 Deterministic analysis of NLW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5 Almost sure global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Invariant measures for quintic Beam equation onT377

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.3 Hamiltonian formulation of the beam equation . . . . . . . . . . . . .

80

3.4 The Approximating ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.5 Probabilistic estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.6 Local well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.7 Global well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

IIApproximation of the Probabilistic Dynamics

and Its Instability95

4 Generic ill-posedness for wave equation of power type on 3D torus

97

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2 The series case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.3 The case of linear wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.4 The case of cubic wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.5 Nonlinear wave equation of power3p <5. . . . . . . . . . . . . .107

4.6 Instantaneous ill-posedness for the wave equation . . . . . . . . . . .

112
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

IIIFurther Properties of Probabilistic Flows115

5 Preservation of Log-Sobolev inequalities under some Hamiltonian

flows 117

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

5.2 The flow generated by vector fields in finite dimensional case . . . . .

119

5.3 The flow generated by vector fields in infinite dimensional case . . . .

120

5.4 The flow generated by BBM model equation . . . . . . . . . . . . . .

123

5.4.1 Existence of the global transformation . . . . . . . . . . . . .

123

5.4.2 Some kind of LSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Introduction

0.1 Problème bien posé probabiliste pour les équa-

tions d"ondes supercritiques Dans cette section, nous considérons l"équation d"onde surT3=R3=(2Z)3 ((@2t)u+jujp1u= 0; p2[2;5)u;@tujt=0=u0;u1;(0.1.1) dans les espaces de SobolevHsHs1=:Hs;s2Rà base deL2. Ici l"espaceHs est la collection des distributionsu u(x) :=X n2Z3u neinx; un2C telle que la quantité ci-dessous est finie (2)3X n2Z3

1 +jnj2sun2<1:

Et dans ce cas, pour l"élementudeHs, la racine carrée de cette quantité est notée kukHs, ce qui est la normeHsdeu. Avec ces notions à portée de main, nous aurions remarqué la relation suivante u n=1(2)3ueinx; qui est juste la valeur de la distributionutestée contre la fonction lisseeinx. A l"aide de cette expression ci-dessus, nous disons que la distributionuest réelle si u n=u n; ou de manière équivalente u '=u ';8'2C1(T3): Dans le cas oùuest une distribution réelle, nous pouvons exprimerucomme la somme u(x) =a0+X n2Z3+[ancos(nx) +bnsin(nx)]; a02R; an;bn2R;8n2Z3+; 13 et nous pouvons exprimer le carré de saHs-norme comme kuk2Hs= (2)3 a 20+12 X n2Z3+(1 +jnj2)sa2n+b2n oùZ3+est défini comme Z 3+:=n (n1;n2;n3)2Z3jn10o n(0;n2;n3)2Z3jn2<0[(0;0;n3)2Z3jn30 Nous pouvons aussi définir ces espacesHspour touts2Rde manière similaire via des fonctions sin-cos. Nous omettons ces lignes ici. Ensuite, remplaçons l"espace sous-jacentT3par l"espaceR3pour un moment. Dans le cas deR3, siu(t;x)est une solution de l"équation (0.1.1), alors pour tout >0la fonctionu(t;x)d"espace-temps u (t;x) :=1 2p1ut ;x résout également cette équation ( 0.1.1 ). Par un calcul simple, nous avons u (0;);@tu(0;)

HsHs1=32

2p1s u(0;);@tu(0;)

HsHs1:

En particulier, si l"on notes=s(p) :=32

2p1forp2(3;5), nous avons

u (0;);@tu(0;)

HsHs1=

u(0;);@tu(0;)

HsHs1:

Intuitivement, le terme non-linéaire indique l"interaction des états et cette inter-

action est forte lorsque la fréquence est élevée. En général, plus fine l"échelle spatiale

est, plus élevée la fréquence est. Dans notre cas, si 1 est de plus en plus petit et donc est de plus en plus grand, alors l"interaction non-linéairejujp1uest de plus en plus faible. Ainsi, nous prévoyons que le comportement linéaire domine le comportement non linéaire lorsqueest grand. En outre, grâce à la relation de mise à l"echelle (uniquement pourp2[3;5)) u(0);@tu(0)

HsHs1=ss(p)

u();@tu()

HsHs1;

on peut contrôler la quantité, dans le cas de grandes fréquences, u();@tu() HsHs1 par la quantité donnée u(0);@tu(0)

HsHs1sous la condition que

s > s(p): D"après la discussion intuitive ci-dessus, pour le cas particulierp= 3et donc s(3) =12 , l"équation ( 0.1.1 ) avec l"espace sous-jacentR3a été conjecturé être bien posée globalement dans _H12 _H12 pendant une longue période. Seulement récem- ment, il y a quelques progrès sur ce problème, voir Roy [ 17 ] pour le cas non-radial et voir Dodson [ 7 ] et Dodson-Lawrie [ 8 ] pour le cas radial. Analogue à cette conjecture, on peut aussi demander au bien posé du problème 0.1.1 ) pour la puissance généralep. Afin de procéder de cette partie d"introduction pratiquement, nous allons re-définirs(p)pour toutp2[2;5)comme s(p) =8 >:11p1;2p3; 32

2p1;3< p <5;

qui est la même que la définition précédente pourp2[3;5). Dans le travail de

Lindblad-Sogge [

13 ], les auteurs ont montré que pours > s(p), (0.1.1) est locale- ment bien posé (au sens de Hadamard, l"existence, l"unicité et la dépendence continue sur les données initiales) en_Hs_Hs1en invoquant les estimations de Strichartz. Dans le même ouvrage, ils ont aussi prouvé un résultat opposé en disant, pour p2[2;3), losrsques < s(p), un phénomène de concentration se produit, ce qui empêche l"équation ( 0.1.1 ) être bien-posé (localement). Pour des résultats plus gé- néraux comme mal-posé en l"équation d"onde dans l"espace euclidien, on peut se référer au Christ-Colliander-Tao [ 6

Maintenant, revenons au problème (

0.1.1 ) sur le toreT3. Bien queT3n"a pas une structure de mise à l"échelle commex7!x , l"argument de la mise à l"échelle ci- dessus peut aussi nous donner quelques conseils sur la façon d"obtenir le bien posé de 0.1.1 ). Rigoureusement, en invoquant les estimations de Strichartz sur les variétés compactes par Kapitanski [ 11 ] et l"argument par Lindblad-Sogge [ 13 ] pour obtenir le bien posé de ( 0.1.1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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