[PDF] Corrigé du D.M. 1 oct. 2015 Licence de

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Licence de mathematiques, 2eannee

Algebre Lineaire 2Corrige du D.M.

a rendre le jeudi1eroctobre 2015Aix-Montperrin

Luminy

Saint-Charles

Saint-Jer^ome

Ch^ateau-GombertEnseignants : M.H. Nicole, P. Mercat Vous porterez une attention particuliere sur la redaction. Exercice I.DansR4, on considere le plan vectorielP1d'equation x2yz+t=zt= 0:

1.Verier queP1est bien un plan (c'est-a-dire de dimension 2) et donner une base de

ce plan.

L'application lineaire

:R4!R20 B B@x y z t1 C

CA7!x2yz+t

zt a pour noyauP1par denition deP1. Or, c'est une application de rang 2 puisque son image estR2: en eet, les images des vecteurs (1;0;0;0) et (1;0;1;0) sont res- pectivement (1;0) et (0;1) qui engendrentR2puisque c'est la base canonique deR2. Le theoreme du rang nous donne alors que dim(P1) = dim(Ker()) = dim(R4) dim(Im()) = 42 = 2, et doncP1est bien un plan. On verie que les vecteurs (2;1;0;0) et (0;0;1;1) ne sont pas colineaires et sont tous

les deux dansP1. Ils forment donc une base deP1.2.Montrer que les vecteursu= (1;0;2;0) etv= (1;1;1;1) ne sont pas colineaires.

Il n'existe pas de scalaire2Rtel queu=vpuisque en regardant la premiere coordonnee on devrait avoir=1, mais l'egalite est fausse avec=1 en regardant par exemple la deuxieme coordonnee. De plus, le vecteuruest non nul, donc les vecteurs

uetvne sont pas proportionnels.3.Donner une equation cartesienne du plan vectorielP2engendre paruetv.

On montre de la m^eme facon qu'en 1 que le systeme d'equations

2xz+t=yt= 0

convient.4.Les plans vectorielsP1etP2sont-ils supplementaires? Montrons que l'on aP1+P2=R4. Pour cela verions que la famille de vecteurs B= ((2;1;0;0);(0;0;1;1);(1;0;2;0);(1;1;1;1)) est libre. Il sut de montrer que la matrice 0 B

B@1 0 1 0

0 13 0

0 21 1

0 0 1 11

C CA est inversible. Par des operations du pivot de Gauss on se ramene a la matrice suivante1 2 0 B

B@1 0 1 0

0 13 0

0 0 1 1

0 0 041

C CA qui a 4 pivot non nuls. Ainsi la matrice est bien inversible, et la famille de vecteursBest une base. On a donc bienP1+P2=R4. De plus, on a 4 = dim(R4) = dim(P1+P2) = dim(P1)+dim(P2)dim(P1\P2) = 2+2dim(P1\P2). On a donc dim(P1\P2) = 0 doncP1\P2=f(0;0;0;0)g, et donc la sommeP1+P2est directe. Ainsi, les plansP1

etP2sont supplementaires.Exercice II. 1.Dans le plan euclidien, tracer le vecteuru= (1;3) et la droiteD

d'equationx2y= 0.

2.Tracer l'imagep(u) du vecteurupar la projection orthogonalepsur la droiteD.

3.Tracer l'images(u) du vecteurupar la symetrie orthogonalepsur la droiteD.xy

Du p(u)s(u)4.Pour un vecteur quelconquev= (x;y), exprimer le vecteur (x0;y0) =v0=p(v) en fonction dexety.

5.M^eme question pour la symetrie orthogonale.

Le vecteur (2;1) est un vecteur directeur de la droiteDet le vecteur (1;2) est un vecteur orthogonal au vecteur (2;1). Un vecteur quelconque (x;y) peut s'ecrire dans la base ((2;1);(1;2)) de la facon suivante :x y =2x+y5 2 1 +x+ 2y5 1 2 puisque l'on a 1 0 =25 2 1 15 1 2 et0 1 =15 2 1 +25
1 2

Ainsi, on a

p(x y ) =2x+y5 2 1 ets(x y ) =2x+y5 2 1 x+ 2y5 1 2 =15

5x+ 4y

4x3yquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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