FONCTION INVERSE PDF Yvan Monka

VARIATIONS DUNE FONCTION

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_Extrem.pdf. 3. Tableau de variations. Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant

DÉRIVATION (Partie 3)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :.

FONCTION EXPONENTIELLE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle :.

Tableau de variation :

2) Cas d'une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x ? x². Tableau de variation :.

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : ...

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Dresser le tableau de variation de f. 7. Tracer (Cf ). Dresser le tableau de variations de f sur [0; ?]. ... (Menu math sur TI Optn puis Num sur Casio).

Monotonie

Tableau de variation. Le tableau de variation d'une fonction met en évidence ses intervalles de stricte monotonie maximaux.

FONCTION DERIVÉE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION DERIVÉE 1) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation.

FONCTION INVERSE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION INVERSE 3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :.

FONCTION INVERSE

Partie 1 : Définition et allure de la courbe

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

1) Définition

Définition : La fonction inverse �� est définie sur ℝ\ 0 par ��

2) Représentation graphique

Remarque : La courbe d'équation ��=

de la fonction inverse, appelée hyperbole de centre

O, est symétrique par rapport à l'origine.

Partie 2 : Dérivée et sens de variation

1) Dérivée

Propriété : La dérivée de la fonction inverse �� est définie sur ℝ\ 0 par �� -2 -1 0,25 1 2 3 -0,5 -1 4 1 0,5 1 3 2

Démonstration (pour les experts) :

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Or : lim

= lim 1 Pour tout nombre ��, on associe le nombre dérivé de la fonction �� égal à - Ainsi, pour tout �� de ℝ\{0}, on a : �� 1 2

2) Variations

Propriété : La fonction inverse est décroissante sur -∞;0 et sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout �� de ℝ\

0 < 0.

Donc �� est décroissante sur

-∞;0 et sur

0;+∞

Partie 3 : Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition

1) En +∞

On s'intéresse aux valeurs de ��

lorsque x devient de plus en plus grand. x 5 10 100 10000 ...

0,2 0,1 0,01 0,0001 ?

On constate que ��

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus grand. On dit que la limite de f lorsque x tend vers +∞ est

égale à 0 et on note :

lim =0.

Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus

grandes, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. 3

2) En -∞

On s'intéresse aux valeurs de ��

lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs » x ... -10000 -100 -10 -5 ? -0,0001 -0,01 -0,1 -0,2

On constate que ��

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers -∞ est égale à 0 et on note : lim =0. Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus " grandes dans les négatifs », la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en -∞ et en +∞.

3) Au voisinage de 0

L'image de 0 par la fonction �� n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de �� lorsque x se rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 ... 0,001 0,01 0,1 0,5 -2 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 2

A l'aide de la calculatrice, on constate que :

- Pour ��>0 : �� devient de plus en plus grand lorsque �� se rapproche de 0. On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers 0 pour ��>

0 est égale à +∞ et on note :

lim Graphiquement, pour des valeurs positives, de plus en plus en proches de 0, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. 4 - Pour ��<0 : �� devient de plus en plus " grand dans les négatifs » lorsque �� se rapproche de 0. On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers 0 pour ��<0 est égale à -∞ et on note : lim

Graphiquement, pour des valeurs négatives, de

plus en plus en proches de 0, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse. - Si ��′(��)≥0, alors �� est croissante. Méthode : Étudier une fonction obtenue par combinaisons linéaires de la fonction inverse et d'une fonction polynomiale

Vidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8

Soit la fonction �� définie sur ℝ∖ 0 par�� =1-2��-

1) Calculer la fonction dérivée de ��.

2) Déterminer le signe de ��′ en fonction de ��.

3) Dresser le tableau de variations de ��.

4) Représenter la fonction �� dans un repère.

Correction

1) On a : ��

=1-2��-2×

Rappels sur les formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f '

=0 =2�� 0 =3�� 5

Donc : ��

=-2- 2× "- =-2+ -2�� 2 2

2) On commence par résoudre l'équation ��

(��)=0.

Soit : 2-2��

Donc : 2=2��

Soit : ��

Et donc : ��=1 ou ��=-1.

��′ est du signe du numérateur car le dénominateur est positif. Le numérateur est une fonction du second degré représentée par une parabole sont les branches sont tournées vers le bas (��=-2 est négatif). Elle est donc d'abord négative (avant ��=-1) puis positive (entre ��=-1 et ��=1) et à nouveau négative (après ��=1).

3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :

En effet : ��

-1 =1-2× -1 =5 1 =1-2×1- =-3

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ��

devient de plus en plus grand. Pour des valeurs positives, �� devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction ��. 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] FONCTION INVERSE Yvan Monka – Académie de

FONCTION INVERSE

Partie 1 : Définition et allure de la courbe

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

1) Définition

2) Représentation graphique

Remarque : La courbe d'équation ���=

O, est symétrique par rapport à l'origine.

Partie 2 : Dérivée et sens de variation

1) Dérivée

Démonstration (pour les experts) :

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Or : lim

2) Variations

0;+∞

Démonstration :

Pour tout ��� de ℝ\

Donc ��� est décroissante sur

0;+∞

1) En +∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

0,2 0,1 0,01 0,0001 ?

On constate que ���

égale à 0 et on note :

Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus

2) En -∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

On constate que ���

3) Au voisinage de 0

A l'aide de la calculatrice, on constate que :

0 est égale à +∞ et on note :

Graphiquement, pour des valeurs négatives, de

Vidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8

1) Calculer la fonction dérivée de ���.

2) Déterminer le signe de ���′ en fonction de ���.

3) Dresser le tableau de variations de ���.

4) Représenter la fonction ��� dans un repère.

Correction

1) On a : ���

Rappels sur les formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f '

Donc : ���

2) On commence par résoudre l'équation ���

Soit : 2-2���

Donc : 2=2���

Soit : ���

Et donc : ���=1 ou ���=-1.

3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :

En effet : ���

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ���

Remarque : La courbe d'équation ��=

Pour tout �� de ℝ\

Donc �� est décroissante sur

On s'intéresse aux valeurs de ��

On constate que ��

On s'intéresse aux valeurs de ��

On constate que ��

1) Calculer la fonction dérivée de ��.

2) Déterminer le signe de ��′ en fonction de ��.

3) Dresser le tableau de variations de ��.

4) Représenter la fonction �� dans un repère.

1) On a : ��

Donc : ��

2) On commence par résoudre l'équation ��

Soit : 2-2��

Donc : 2=2��

Soit : ��

Et donc : ��=1 ou ��=-1.

En effet : ��

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ��