[PDF] FICHE DE RÉVISION DU BAC MATHÉMATIQUES – TOUTES SÉRIES. É

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FICHE DE RÉVISION DU BAC

MATHÉMATIQUES - TOUTES SÉRIES

ÉTUDES DE FONCTIONS

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 1

Note liminaire

Programme selon les sections :

- fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes

sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D, STL, S

Prérequis

Notion de fonction - Signe et ǀariations d'une fonction

Plan du cours

1. Fonctions de référence

2. Fonctions dérivées

3. Tableau de variation

4. Limites et asymptotes

1. Fonctions de référence

Les fonctions de référence sont les fonctions qui permettent de construire par combinaison toutes les

autres fonctions.

Fonctions affines :

définie sur R ( et Une fonction linéaire est une fonction affine avec f est croissante si , décroissante si Si f est négative sur et positive sur Si f est positive sur et négative sur

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 2 La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Exemples :

et

Droite représentative de f

Droite représentative de g

Fonction carrée :

définie sur R f est décroissante sur et croissante sur f est positive sur R.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 3 La représentation graphique de la fonction carrée est une parabole.

Fonction cube :

définie sur R f est croissante sur R. f est négative sur et positive sur

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 4

Représentation graphique :

Fonctions trinômes (ou polynômes du second degré) : définie sur R ( et réels) discriminant : La fonction carrée est une fonction trinôme avec et Si f est décroissante sur et croissante sur Si f est croissante sur et décroissante sur Si (deux racines) : - Si

f est positiǀe ă l'edžtĠrieur des racines et nĠgatiǀe ă l'intĠrieur des racines.

- Si

f est nĠgatiǀe ă l'edžtĠrieur des racines et positiǀe ă l'intĠrieur des racines.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 5 Si (racine double) : - Si f est positive sur R et - Si f est négative sur R et Si (pas de racine) : - Si f est strictement positive sur R. - Si f est strictement négative sur R.

Exemple :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 6

Fonction inverse :

définie sur R* f est décroissante sur et sur f est négative sur et positive sur La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 7

Fonctions homographiques :

définie sur (a, b, c et d réels) La fonction inverse est une fonction homographique avec et Si alors f est croissante sur et sur Si alors f est décroissante sur et sur

Exemple :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 8

Fonction racine carrée :

définie sur f est croissante sur f est positive sur

Remarque :

et On dit que la fonction racine est la fonction réciproque de la fonction carrée.

Représentation graphique :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 9

2. Fonctions dérivées

Récapitulatif des dérivées des fonctions de référence : f domaine de définition f' domaine de dérivabilité k (k réel constant) R 0 R R 1 R R R R R R R R* R* ) R ou R*

R ou R*

R\ R\

Dérivées de fonctions composées :

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. f f' (k réel)

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 10

Tangentes :

Soit f une fonction définie et dérivable sur I, et Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse a est le

3. Tableau de variation

Signe de la dérivée et sens de variation :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si sur I alors f est croissante sur I. Si sur I alors f est décroissante sur I. Si est un extremum de la fonction (minimum ou maximum), alors

Contre-exemple :

et pourtant n'est pas un edžtremum de la fonction f.

Pour dresser le tableau de variation d'une fonction, il est donc nĠcessaire, le plus souǀent, de passer

Edžemple d'Ġtude de fonction :

définie sur R*.

1) Calcul de la dérivée

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 11

2) Etude du signe de la dérivée

On a donc :

sur et sur sur et sur

3) Tableau de variation

sur et sur donc f est croissante sur et sur sur et sur donc f est décroissante sur et sur

Calcul des extrema :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 12

4) Représentation graphique de f

Tracer la courbe sur la calculatrice ou par le biais d'un logiciel permet de ǀĠrifier ses rĠsultats.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 13

4. Limites et asymptotes

Les définitions exactes des limites d'une fonction ne sont pas strictement au programme. Les voici

néanmoins :

Définitions :

- Limite finie en Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que tend vers en quand :

Pour tout réel

, il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

- Limite finie en

Soit une fonction f définie sur un intervalle

. On dit que tend vers en quand :

Pour tout réel

, il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

- Limite finie en

Soit une fonction f définie sur un intervalle

. On dit que tend vers en quand :

Pour tout réel

, il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

- Limite infinie en

Soit une fonction f définie sur un intervalle

. On dit que tend vers (ou ) en quand :

Pour tout réel

(pour tout réel ), il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

(ou - Limite infinie en

Soit une fonction f définie sur un intervalle

. On dit que tend (ou ) en quand :

Pour tout réel

(pour tout réel ), il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

(ou

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 14 - Limite à gauche Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que admet une limite à gauche en quand :

Pour tout réel

, il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

- Limite à droite Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que admet une limite à droite en quand :

Pour tout réel

, il existe un réel tel que, pour tout implique

On note :

Ces définitions de limites à gauche et à droite sont données pour des limites finies. On peut les

étendre à partir de ce qui précède à des limites infinies.

Remarques :

en valeurs de se rapprochent de , plus celles de vont se rapprocher de tend vers en se rapprochent de , plus les valeurs de seront grandes. sur N.

Limites usuelles :

si pair si impair (a réel)

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 15

Opérations sur les limites :

Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle, admettant une limite finie ou infinie en peut être un réel, ou - Limite de - Limite de - Limite de - Limite de

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 16

Limite de fonction composée :

Soit f la fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout (on dit que f est une fonction composée de u et ǀ, et on peut l'Ġcrire aussi : Si et que alors et peuvent être un réel, ou Ex : sur et donc

Comparaison de limites :

-Soient deux fonctions u et v définies sur un intervalle I de limites respectives et en peut être un réel, ou

Si pour tout

alors -Soient deux fonctions u et v définies sur un intervalle I telles que pour tout Si alors peut être un réel, ou Si alors

Théorème des gendarmes :

Soient un réel

et trois fonctions u, v et w définies sur un intervalle I telles que pour tout Si et alors peut être un réel, ou

définition des fonctions. Il peut être judicieusement choisi en fonction des inégalités nécessaires.

Asymptote horizontale :

Soient un réel

, et une fonction f définie sur un intervalle ( ou ), tels que (ou est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Plus les valeurs de

sont grandes (ou plus elles sont petites, dans le cas d'une asymptote en plus la courbe se rapproche de la droite (sans jamais cependant se confondre avec elle).

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 17

Exemple :

est asymptote horizontale de la courbe représentative de

Asymptote verticale :

Soient une fonction f définie sur un intervalle I, et a un réel appartenant à I, tels que (ou est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Plus les valeurs de

se rapprochent de a, plus la courbe se rapproche de la droite (sans jamais cependant se confondre avec elle).

S'il s'agit d'une limite ă gauche (

), la courbe s'approchera de la droite par la gauche, s'il s'agit d'une limite ă droite ( ou ), la courbe s'approchera de la droite par la droite.

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